高中數(shù)學(xué)圓的方程經(jīng)典例題與解析

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程經(jīng)典例題與解析高中數(shù)學(xué)圓的方程經(jīng)典例題與解析例1求過兩點(diǎn))41(A、)23(B且圓心在直線0?y上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn))42(P與圓的關(guān)系分析：分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為222)()(rbya

2、x????∵圓心在0?y上，故0?b∴圓的方程為222)(ryax???又∵該圓過)41(A、)23(B兩點(diǎn)∴???????????22224)3(16)1(rara解之得：1??a，202?r所以所求圓的方程為20)1(22???yx解法二：解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過)41(A、)23(B兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又因?yàn)?3124?????ABk，故l的斜率為1，又AB的中點(diǎn)為)32(，故AB的垂直

3、平分線l的方程為：23???xy即01???yx又知圓心在直線0?y上，故圓心坐標(biāo)為)01(?C∴半徑204)11(22?????ACr故所求圓的方程為20)1(22???yx又點(diǎn))42(P到圓心)01(?C的距離為rPCd??????254)12(22∴點(diǎn)P在圓外說明：說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何

4、來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？例2已知圓422??yxO：，求過點(diǎn)??42，P與圓O相切的切線解：解：∵點(diǎn)??42，P不在圓O上，∴切線PT的直線方程可設(shè)為??42???xky根據(jù)rd?∴21422????kk解得43?k所以??4243???xy即01043???yx設(shè)圓9)3()3(221????yxO：的圓心到直線1l、2l的距離為1d、2d，則34363433221???????d，143163433222???????d∴1l與

5、1O相切，與圓1O有一個公共點(diǎn)；2l與圓1O相交，與圓1O有兩個公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個說明：說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心1O到直線01143???yx的距離為d，則324311343322????????d∴圓1O到01143???yx距離為1的點(diǎn)有兩個顯然，上述誤解中的d是圓心到直線01143???yx的距離，rd?，只能說明此直線與圓有兩個交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值

6、的點(diǎn)，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)求直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷例5：圓和圓的公切線共有條。0222???xyx0422???yyx解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為1)1(22???yx)01(1O11?r4)2(22???yx，半徑，∴.∵)20(2?O22?r135122121?????rrrrOO，

7、∴兩圓相交.共有2條公切線。212112rrOOrr????例6自點(diǎn)??33，?A發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓074422?????yxyxC：相切（1）求光線l和反射光線所在的直線方程（2）光線自A到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程分析、略解：分析、略解：觀察動畫演示，分析思路根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A?的坐標(biāo)為??33??，，其次設(shè)過A?的圓C的切線方程為??33???xky根據(jù)rd?，即求出圓C的切線的斜率