橢圓之十宗“最”

1、橢圓的十個(gè)“最”橢圓的十個(gè)“最”◎李遠(yuǎn)敬（遼寧省本溪市機(jī)電工程學(xué)校117022）【摘要】在長(zhǎng)期的教學(xué)中，筆者經(jīng)常會(huì)遇到或想到橢圓的一些“最”值問(wèn)題，學(xué)生們也需要教師給予解答和總結(jié)，筆者精選了橢圓十個(gè)“最”值問(wèn)題，供師生們參考?！娟P(guān)鍵詞】橢圓；焦點(diǎn)；最大值；最小值1橢圓弦長(zhǎng)的最大值、最小值橢圓弦長(zhǎng)的最大值、最小值（1）橢圓的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)是橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)。橢圓上的最大弦長(zhǎng)是否是橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)？看起來(lái)似乎是顯然的。但證明起來(lái)也挺繁瑣，具體見(jiàn)參考文

2、獻(xiàn)[1]。（2）橢圓過(guò)原點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)是橢圓的短軸的長(zhǎng)。在橢圓（）內(nèi)構(gòu)造內(nèi)接圓，由圖形結(jié)合易證。12222??byax0??ba222byx??（3）橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦通徑最短。abl2min2?教學(xué)參考書(shū)上有證明。2橢圓的一焦點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的距離最大值、最小值橢圓的一焦點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的距離最大值、最小值已知P()是橢圓（）上的點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，0x0y12222??byax0??ba)0(2cF則的最大值是，最小值是。2PFca?ca?證明：

3、證明：由焦半徑公式得=。當(dāng)=時(shí)，=，當(dāng)=2PF0exa?0xa?max2PFca?0xa時(shí)，=。min2PFca?3軸正半軸上的點(diǎn)到橢圓的最短距離軸正半軸上的點(diǎn)到橢圓的最短距離x已知橢圓（），為半焦距長(zhǎng)，則點(diǎn)（，0）＞0到橢圓的最12222??byax0??bactt短距離為?????????????actatactcatbt22222220證明：證明：設(shè)點(diǎn)A（，0）＞0點(diǎn)P()為橢圓上任意一點(diǎn)，則有ttyx，由得的對(duì)稱(chēng)軸22)(yxt

4、AP???12222??byax)(222222xfbttxxacAP?????為，由于，結(jié)合圖像可得：22ctax?axa???=＋－=－＋?！摺唷?x)1(222axb?2c2b2c222xacax?220ax??當(dāng)=時(shí)，取得最大值是－＋=，當(dāng)=0時(shí)，取得xa21PFPF?2b2c222aac2bx21PFPF?最小值是－。2b2c7.橢圓上的點(diǎn)為頂點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)所成的最大角橢圓上的點(diǎn)為頂點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)所成的最大角已知已知點(diǎn)P()是

5、橢圓（）上的動(dòng)點(diǎn)，、yx12222??byax0??ba)0(1cF?分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。則當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠最大，最大值為)0(2cF21PFFarccos。222acb?證明：∵證明：∵≤==，∴當(dāng)且僅當(dāng)=21PFPF?221)2(PFPF?222??????a2a21PFPF?a時(shí)，即P點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)成立。在△中，由余弦定理得21PFF∠==cos21PFF2122122212PFPFFFPFPF??212212212)2(

6、2)(PFPFcPFPFPFPF???==。當(dāng)取最大值時(shí)，21212222)2()2(PFPFPFPFca??1222122??PFPFca21PFPF?2a∠最小，∵在[]是減函數(shù)，∴∠最大，∠cos21PFFxycos??021PFFcos最小值為==。得∠最大，最大值為21PFF122222??aca222222aaca??222acb?21PFFarccos。222acb?8.橢圓的點(diǎn)到一條直線(xiàn)距離的最大值、最小值橢圓的點(diǎn)到一條