橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題

1、橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題 橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)、定值問(wèn)題 解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法 解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法 （1）利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理； （2）利用數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征進(jìn)而求解； （3）利用函數(shù)最值得探求方法， 將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次 函數(shù)的最值來(lái)處理， 此時(shí)應(yīng)注意橢圓中 x、y 的取值范圍； （4）利用三角替代（換元法）轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)的最值問(wèn)題處理。 一 、橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離

2、的最值問(wèn)題 、橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題 橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑， 橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)重合時(shí)， 動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)取得最大值 a+c（遠(yuǎn)日點(diǎn)） 、最小值 a-c（近日點(diǎn)） 。 推導(dǎo)：設(shè)點(diǎn) ) , ( 0 0 y x P 為橢圓 ) 0 (1 2222? ? ? ? b a byax 上的任意一點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 ) 0 , ( 1 c F ? ，2 020 1 ) ( | | y c x PF ? ? ? ，由1 22

3、022 0 ? ? byax 得 ) 1 ( 22 0 20 ax b y ? ? ，將其代入 2 020 1 ) ( | | y c x PF ? ? ? 并化簡(jiǎn)得 a x ac PF ? ? 0 1 | | 。所以，當(dāng)點(diǎn) ) , ( 0 0 y x P 為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)) 0 , ( 2 a A 重合時(shí)， a c a a ac PF ? ? ? ? ? max 1 | | ；當(dāng)點(diǎn) ) , ( 0 0 y x P 為長(zhǎng)軸的左端點(diǎn) ) 0

4、 , ( 1 a A ? 重合時(shí)。 c a a a ac PF ? ? ? ? ? ? ) ( | | min 1 。當(dāng)焦點(diǎn)為右焦點(diǎn) ) 0 , ( 2 c F 時(shí)，可類似推出。 1. （2015 浙江卷）如圖，已知橢圓1 222? ? y x 上兩個(gè) 不同的點(diǎn) A、B 關(guān)于直線 21 ? ? mx y 對(duì)稱。 （1）求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （2）求 AOB ? 面積的最大值（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 。 解： （1）由題意知 0 ? m ，

5、可設(shè)直線 AB 的方程為 b x m y ? ? ? 1 。 聯(lián)立? ?? ??? ? ?? ?b x m yy x11 222，消 y 去，得 0 1 2 ) 121 ( 2 22 ? ? ? ? ? b x mb x m。 因?yàn)橹本€ b x m y ? ? ? 1 與橢圓1 222? ? y x 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以 0 4 2 2 22 ? ? ? ? ? ? m b 。-------① 設(shè) ) , ( ), , ( 2 2

6、1 1 y x B y x A ，線段 AB 的中點(diǎn) ) , ( M M y x M ，則 242 2 1 ? ? ? mmb x x ， B A O x y 所以|AB|＝ ?x1－x2?2＋?y1－y2?2 ＝ 2?x1－x2?2＝ 2[?x1＋x2?2－4x1x2] ＝ ? ?? ??? ?? ? ? 1 54254 2 22m m ＝25 10－8m2. 所以當(dāng) m＝0 時(shí)，|AB|最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為

7、 y＝x. 反思與感悟 解析幾何中的綜合性問(wèn)題很多， 而且可與很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題， 例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問(wèn)題等.解決這類問(wèn)題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中應(yīng)用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來(lái)確定參數(shù)的限制條件. 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，點(diǎn) A 是橢圓 C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短軸位于 y 軸下方的端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

8、 A且斜率為 1 的直線交橢圓于點(diǎn) B，若 P 在 y 軸上，且 BP∥x 軸，AB →· AP →＝9. (1)若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0,1)，求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0，t)，求 t 的取值范圍. 解 ∵直線 AB 的斜率為 1，∴∠BAP＝45° ， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝ 2|AP →|. ∵AB →· AP →＝9， ∴|AB →||AP →|cos