破解橢圓中最值問題的常見策略

1、破解橢圓中最值問題的常見策略破解橢圓中最值問題的常見策略第一第一類：求離心率的最：求離心率的最值問題值問題破解策略之一：建立破解策略之一：建立的不等式或方程的不等式或方程cba例1：若：若為橢圓為橢圓的長軸兩端點，的長軸兩端點，為橢圓上一點，使為橢圓上一點，使，求此橢圓，求此橢圓BA)0(12222????babyaxQ0120??AQB離心率的最小值。離心率的最小值。分析：建立之間的關系是解決離心率最值問題常規(guī)思路。此題也就要將角轉(zhuǎn)化

2、為邊的思想，但條件又不是與焦cba點有關，很難使用橢圓的定義。故考慮使用到角公式轉(zhuǎn)化為坐標形式運用橢圓中的取值進行求解離心率的最值。yx解：不妨設，則，利用到角公式及得：)()0()0(yxQaBaA?axykaxykBQAQ????0120??AQB（），又點在橢圓上，故，消去，化簡得又0120tan1???????axyaxyaxyaxyax??A22222ybaax???x2232caby?即則，從而轉(zhuǎn)化為關于的高次不等式解得。故

3、by?bcab?223242223)(4ccaa??e044324???ee136??e橢圓離心率的最小值為。（或，得：，由，故）36222233()abcab???303ba??21()bea??136??e（注：本題若是選擇或填空可利用數(shù)形結合求最值）點評：對于此類最值問題關鍵是如何建立之間的關系。常用橢圓上的點表示成，并利用橢圓中cba)(yxcba的取值來求解范圍問題或用數(shù)形結合進行求解。yx破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求

4、范圍破解策略之二：利用三角函數(shù)的有界性求范圍例2：已知橢圓：已知橢圓C：兩個焦點為兩個焦點為，如果曲線，如果曲線C上存在一點上存在一點Q，使，使，求橢圓離，求橢圓離22221(0)xyabab????12FF12FQFQ?心率的最小值。心率的最小值。分析分析：根據(jù)條件可采用多種方法求解，如例1中所提的方法均可。本題如借用三角函數(shù)的有界性求解，也會有不錯的效果。解：根據(jù)三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故橢圓離心率的最小??????c

5、ossin2cossinsinsin90sin221210???????aPFPFPFPFc22)45sin(210????e值為。22點評：對于此法求最值問題關鍵是掌握邊角的關系，并利用三角函數(shù)的有界性解題，真是柳暗花明又一村。第二第二類：求點點（點：求點點（點線）的最）的最值問題值問題破解策略之三：建立相關函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法）破解策略之三：建立相關函數(shù)并求函數(shù)的最值（下面第三類、第四類最值也常用此法

6、）例3：（：（05年上海）點年上海）點A、B分別是橢圓分別是橢圓長軸的左、右端點，點長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且在橢圓上，且1203622??yx位于位于軸上方，軸上方，。（1）求點）求點P的坐標；（的坐標；（2）設）設M是橢圓長軸是橢圓長軸AB上的一點，上的一點，M到直線到直線AP的距離等于的距離等于xPFPA?，求橢圓上的點到點，求橢圓上的點到點M的距離的距離的最小值。的最小值。||MBd

7、例8：如圖，在直線如圖，在直線上任意取一點上任意取一點，經(jīng)過，經(jīng)過點且以橢圓點且以橢圓的焦點作橢圓，問當?shù)慕裹c作橢圓，問當在09:???yxlMM131222??yxM何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？何處時，所作橢圓的長軸最短，并求出最短長軸為多少？分析：要使所作橢圓的長軸最短，當然想到橢圓的定義?；镜慕忸}思路如下：長軸最短三點一直線尋求對稱??對稱變換。在一系列的變化過程中巧妙的運用對稱，使我們找到一種簡明的解題方

8、法。通過此對稱性主要利用?解：橢圓的兩焦點分別為（－3，0）、（30），||||||1221FFNFNF??1F2F作關于直線的對稱點，則直線的方程為1Fl1F11FF3???yx由方程組得的坐標（－6，3），?????????93yxyxP由中點坐標公式得的坐標（－96）所以直線的方程。1F12FF32??yx解方程組得點坐標（－54）。由于，????????932yxyxM56218021???aFF點評：對于此類最值問題是將所求的