初中數(shù)學(xué)“最值問題”-集錦

1、1LYR(20100923)LYR(20100923)“最值問題“最值問題”集錦集錦●平面幾何中的最值問題…………………平面幾何中的最值問題…………………0101●幾何的定值與最值………………………●幾何的定值與最值………………………0707●最短路線問題……………………………●最短路線問題……………………………1414●對稱問題…………………………………●對稱問題…………………………………1818●巧作“對稱點”妙解最值題……………●

2、巧作“對稱點”妙解最值題……………2222●數(shù)學(xué)最值題的常用解法…………………●數(shù)學(xué)最值題的常用解法…………………2626●求最值問題………………………………●求最值問題………………………………2929●有理數(shù)的一題多解………………………●有理數(shù)的一題多解………………………3434●4道經(jīng)典題………………………………道經(jīng)典題………………………………3737●平面幾何中的最值問題平面幾何中的最值問題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和

3、最小值的問題，有時它和不等式聯(lián)系在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟問題聯(lián)系起來，可以達到最經(jīng)在一起，統(tǒng)稱最值問題如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟問題聯(lián)系起來，可以達到最經(jīng)濟、最節(jié)約和最高效率下面介紹幾個簡例濟、最節(jié)約和最高效率下面介紹幾個簡例在平面幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長在平面幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時

4、，求某幾何量（如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。最值問題的解決方法通常有兩種：最值問題的解決方法通常有兩種：（1）應(yīng)用幾何性質(zhì)：應(yīng)用幾何性質(zhì)：①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點間線段最短；兩點間線段最短；③連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線

5、段最短；連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長。定圓中的所有弦中，直徑最長。⑵運用代數(shù)證法：⑵運用代數(shù)證法：①運用配方法求二次三項式的最值；運用配方法求二次三項式的最值；②運用一元二次方程根的判別式。運用一元二次方程根的判別式。例1、A、B兩點在直線兩點在直線l的同側(cè)，在直線的同側(cè)，在直線L上取一點上取一點P，使，使PAPBPAPB最小。最小。3所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個頂點所以把半圓三

6、等分，便可得到梯形兩個頂點C，D，這時，梯形的底角恰為這時，梯形的底角恰為6060和和1201202.如圖如圖3－9292是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長為是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8米(m)(m)，怎樣才能得，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？出最大面積，使得窗戶透光最好？分析與解分析與解設(shè)x表示半圓半徑，表示半圓半徑，y表示矩形邊長表示矩形邊長ADAD，則必有，則必有2x2y2x2yπx=8x=8，

7、若窗戶的最大面積為若窗戶的最大面積為S，則，則把①代入②有把①代入②有即當(dāng)窗戶周長一定時，窗戶下部矩形寬恰為半徑時，窗戶面積最大即當(dāng)窗戶周長一定時，窗戶下部矩形寬恰為半徑時，窗戶面積最大3.3.已知已知P點是半圓上一個動點，試問點是半圓上一個動點，試問P在什么位置時，在什么位置時，PAPBPAPB最大最大(圖3－93)93)？分析與解分析與解因為因為P點是半圓上的動點，當(dāng)點是半圓上的動點，當(dāng)P近于近于A或B時，顯然時，顯然PAPBPAP

8、B漸小，在極限漸小，在極限狀況狀況(P(P與A重合時重合時)等于等于ABAB因此，猜想因此，猜想P在半圓弧中點時，在半圓弧中點時，PAPBPAPB取最大值取最大值設(shè)P為半圓弧中點，連為半圓弧中點，連PBPB，PAPA，延長，延長APAP到C，使，使PC=PAPC=PA，連，連CBCB，則，則CBCB是切線是切線為了證為了證PAPBPAPB最大，我們在半圓弧上另取一點最大，我們在半圓弧上另取一點P′，連′，連P′A，P′B，延長，延長AP