初中數(shù)學(xué)《幾何最值問(wèn)題》典型例題

1、1初中數(shù)學(xué)《最值問(wèn)題》典型例題初中數(shù)學(xué)《最值問(wèn)題》典型例題一、解決幾何最值問(wèn)題的通常思路一、解決幾何最值問(wèn)題的通常思路兩點(diǎn)之間線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時(shí)取到最值）是解決幾何最值問(wèn)題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最

2、值問(wèn)題的關(guān)鍵通過(guò)轉(zhuǎn)化減少變量，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問(wèn)題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問(wèn)題的高效手段幾何最值問(wèn)題中的基本模型舉例圖形lPBANMlBAAPBl原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APBP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AMBN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|APBP|的最大值軸對(duì)稱最值轉(zhuǎn)

3、化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)圖形BNMCAB原理兩點(diǎn)之間線段最短特征在△ABC中，M，N兩點(diǎn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，連接AB，求AB的最小值折疊最值轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成求ABBNNC的最小值二、典型題型二、典型題型1如圖：點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=45

4、，OP=，則32△PMN的周長(zhǎng)的最小值為【分析】作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D連接OC，OD則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解【解答】解：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D連接OC，OD則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的長(zhǎng)∵PC關(guān)于OA對(duì)稱，3【題后思考】考查關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等

5、知識(shí)3如圖，A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，點(diǎn)A到直線的距離AM=4，點(diǎn)B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，|PA﹣PB|的最大值為DPB′NBMA【分析】作點(diǎn)B于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，則PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，則當(dāng)A，B′、P在一條直線上時(shí)，|PA﹣PB|的值最大根據(jù)平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據(jù)勾股定理求得PA、PB′的值，進(jìn)而求得|PA﹣PB|的最大值【解答】解：作點(diǎn)B于直線l的對(duì)

6、稱點(diǎn)B′，連AB′并延長(zhǎng)交直線l于P∴B′N=BN=1，過(guò)D點(diǎn)作B′D⊥AM，利用勾股定理求出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5【題后思考】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，勾股定理等，熟知“兩點(diǎn)之間線段最短”是解答此題的關(guān)鍵4動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在B