材料力學(xué) 第十一章壓桿穩(wěn)定

1、,材,料,壓桿穩(wěn)定,第十一章,,,一、壓桿穩(wěn)定的概念,壓桿失穩(wěn)試驗(yàn)圖,,,,,,,,,,,P1<PCr,,P2=PCr,,,,(1) 在桿端加P1小于某個臨界值Pcr,鋼條能保持直線位置平衡狀態(tài)。加干擾：用手指橫向推動桿端，這時鋼條彎了，但手指一離開，鋼條就來回?cái)[動，最后回到原來的直線位置保持平衡。我們說，桿件在P1的作用下處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，此時的平衡具有抗干擾性。,(2) 當(dāng)P2等于某個臨界值Pcr時，只要一加干擾，桿件將彎曲

2、，干擾去掉后，桿件保持在微彎狀態(tài)下的平衡，不再回到原來的直線平衡形式，我們說桿原來的直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。,由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)稱為失穩(wěn)。,壓桿失穩(wěn) ––– 直線平衡狀態(tài)改變?yōu)槲澠胶鉅顟B(tài)。,P < Pcr 壓桿處于穩(wěn)定平衡,P = Pcr 壓桿失穩(wěn),Pcr ––– 臨界壓力 臨界

3、力,工程實(shí)際中的壓桿不允許失穩(wěn)。,對于穩(wěn)定問題，關(guān)鍵是求出臨界壓力Pcr，這樣，只要工作壓力小于臨界壓力，就不會發(fā)生失穩(wěn)問題。,二、兩端簡支細(xì)長桿的臨界壓力,如前所述，臨界壓力Pcr是這樣一個值：,當(dāng)P < Pcr ，桿能保持直線平衡狀態(tài) ；,當(dāng)P = Pcr ，桿處于微彎平衡狀態(tài) ；,Pcr是桿件維持微彎平衡狀態(tài)的最小壓力。,,求臨界壓力的思路：,假設(shè)桿處于微彎的平衡狀態(tài)，求此時最小的軸向壓力。,假定：桿件已發(fā)生微小彎曲變形(如

4、圖示)，,,,,,,,,,,,,L,,y,P,,P,,x,P,,,代入撓曲線近似微分方程，,EIv? = ? M = ?Pv,? EIv? + Pv = 0,––– 二階常系數(shù)齊次線性微分方程,,,,,,,,,,,,L,,y,P,,P,,x,,P,,,,v,P,,,P,,x,M,,,,x,y,,由平衡條件，易得：,M(x) = Pv(x),,v? + k2v = 0,通解： v = c1sinkx + c2coskx,邊界條件：,x

5、 = l v( l ) = 0,v(0) = c1sin(k? 0) + c2cos(k? 0) = c2 = 0,? v = c1sinkx,v(l) = c1sinkl = 0,x = 0 v( 0 ) = 0,∵ c1 ? 0 否則 v ? 0 與假設(shè)矛盾,∴ sinkl = 0,有： kl = n? n = 0，1，2，……,臨界壓力為維持微彎平衡狀態(tài)的最小軸向壓力

6、,––– 歐拉公式,桿件失穩(wěn) ––– 由直線變成曲線,–––,(0?x?l) ––– 半個正弦波,三、不同桿端約束下細(xì)長桿的臨界壓力歐拉公式 ? 壓桿的長度系數(shù)。,,,例 求一端固定，一端自由細(xì)長桿的臨界壓力。,由平衡條件,M(x) = ?P(? ? v),代入撓曲線近似微分方程,EIv? = ? M(x)=P(? ? v),,,,,,,,,,v,,y,L,P,,,,x,x,,,,,,,,M,P,∴ EIv? + Pv = P

7、?,v? + k2v = k2?,通解為 v = c1sinkx + c2coskx + ?,邊界條件:,x = 0 v' (0) = 0,x = l v (l ) = ?,v(0) = c1sin(k ? 0) + c2cos(k ? 0) + ? = 0,x = 0 v (0) = 0,∴ c2 + ? = 0 c2 = ??,v '(0) = kc1cos(k

8、 ? 0) ? kc2sin(k ? 0) = 0,∴ kc1 = 0,v '(x) = kc1coskx ? kc2sinkx,∴ c1 = 0,v(x) = ?(1? coskx),v(l) = ? (1? coskl) = ?,n = 0，1，2，……,n = 0，1，2，……,( 0 ? x ? l ),∵v(l)=0,,,,,,,,,,,,A,,,,l,,B,,,A,A,,,,,,l,l,,,半個正弦波

9、,個正弦波,MA=MB=0,MA=MA? =0,相當(dāng)長為2l的兩端簡支桿,對比：,圖形比擬：失穩(wěn)時撓曲線上拐點(diǎn)處的彎矩為0，故可設(shè)想此處有一鉸，而將壓桿在撓曲線上兩個拐點(diǎn)間的一段看成為兩端鉸支的桿，利用兩端鉸支的臨界壓力公式，就可得到原支承條件下的臨界壓力公式。兩拐點(diǎn)間的長度 ?l 稱為原壓桿的相當(dāng)長度，即相當(dāng) ?l 這么長的兩端鉸支桿。,,,一端固定，一端鉸支,兩端固定,,,,,,,,l,,,,,,,,,0.7l,Pcr,,,,,,,

10、l,,,,,,,0.5l,Pcr,,,,,,,,,,,不同約束情況下，細(xì)長桿的臨界壓力歐拉公式可統(tǒng)一寫成：,?：長度系數(shù) ?l：相當(dāng)長度,兩端鉸支 ? = 1,一端固定，一端自由 ? = 2,一端固定，一端鉸支 ? = 0.7,兩端固定 ? = 0.5,,,問題：壓桿為空間實(shí)體，在軸向力作用下如果失穩(wěn)，它朝哪個方向彎？,,

11、,,,,,y=f (x),y,z,x,,,,,,,z=f (x),y,x,xz平面內(nèi)彎,,xy平面內(nèi)彎,,z,繞z軸轉(zhuǎn)動,截面繞y軸轉(zhuǎn)動,,臨界壓力公式中的I是對哪根軸的I？,Pcr維持微彎平衡狀態(tài)最小的壓力,各方向約束情況相同時：,?為常數(shù)，I＝Imin––– 最小形心主慣性矩,各方向約束情況不同時：,使Pcr最小的方向?yàn)閷?shí)際彎曲方向，I為撓曲時橫截面對其中性軸的慣性矩。,,,,,朝哪個方向彎,四、歐拉公式的應(yīng)用范圍 ? 臨界應(yīng)力總圖

12、,1.臨界應(yīng)力 ? 柔度,––– 歐拉公式,?：柔度，長細(xì)比,對細(xì)長桿,2.歐拉公式的適用范圍,?cr ? ?p,歐拉公式成立的條件：,歐拉公式適用范圍 ? ? ?p,Q235 鋼，E=206GPa ?p = 200MPa,,3.臨界應(yīng)力總圖,,,,,,,,,,B,C,A,?cr,D,?cr=a?b?,,?cr=?s,? s,?P,?s,?P,?,O,,0 < ? ? ?s 稱為小柔度桿，?cr = ?s,?s

13、< ? ? ?p 稱為中柔度桿，?cr = a ? b ?,a、 b與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù),曲線 A、B、C、D 稱為臨界應(yīng)力總圖， ? 越大， ?cr 越小，Pcr = ?cr A 越小，越容易失穩(wěn)。,例11?1 截面為 120mm?200mm 的矩形木柱，長l=7m，材料的彈性模量E = 10GPa， ?p = 8MPa。其支承情況是：在屏幕平面內(nèi)失穩(wěn)時柱的兩端可視為固定端(圖a)；若在垂直于屏幕平面內(nèi)失穩(wěn)時，柱的兩端可視

14、為鉸支端(圖b)，試求該木柱的臨界力。,,,,,,,,,,,l=7m,P,,,,,,P,,,,,,,,,,l=7m,y,,,,,,,,,b=120,h=200,z,(b),(a),,,,,,解：由于該柱在兩個形心主慣性平面內(nèi)的支承條件不相同，因此，首先必須判斷，如果木柱失穩(wěn)，朝哪個方向彎？從臨界應(yīng)力總圖，我們知道，? 越大，越容易失穩(wěn)。,∵ 兩端固定,∴ ?y = 0.5,? 計(jì)算 ?y ?z,在屏幕平面繞 y 軸失穩(wěn)時,在

15、垂直于屏幕平面內(nèi)繞 z 軸失穩(wěn)時,∵ 兩端鉸支,∴ ?z = 1,∵ ?z > ?y,∴ 如果木柱失穩(wěn)，將在垂直于屏幕平面內(nèi)繞 z 軸失穩(wěn)。,?z > ?p ∴ 應(yīng)采用歐拉公式計(jì)算,五、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算 ? 壓桿的合理截面,1.壓桿穩(wěn)定計(jì)算 ––– 穩(wěn)定安全系數(shù)法,考慮一定的安全儲備，穩(wěn)定條件為：,P：工作壓力,Pcr：臨界壓力,nst：額定安全系數(shù),nst： 額定安全系數(shù),穩(wěn)定

16、計(jì)算的一般步驟：,① 分別計(jì)算各個彎曲平面內(nèi)的柔度?y 、?z ，從而得到?max；,② 計(jì)算?s 、?p ，根據(jù)?max確定計(jì)算壓桿臨界壓力的公式，小柔度桿?cr= ?s，中柔度桿?cr= a?b?，大柔度桿,③ 計(jì)算Pcr= ?crA，利用穩(wěn)定條件,進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算。,,,,例11?2 圖示結(jié)構(gòu)，立柱CD為外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm的鋼管，其材料為Q235鋼，,,,,,,,,3m,C,F,B,3.5m,2m,A,,,,,,

17、,,D,,?P=200MPa， ?s=240MPa，E=206GPa，穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=3。試求容許荷截[F]。,解：① 由桿ACB的平衡條件易求得外力F與CD桿軸向壓力的關(guān)系為：,,,,,,,A,C,N,F,B,xA,yA,3m,2m,,,,,②,兩端鉸支 ?=1,? ? ?p,∴ 可用歐拉公式,由穩(wěn)定條件,2.壓桿穩(wěn)定計(jì)算 ––– 折減系數(shù)法,工程中為了簡便起見，對壓桿的穩(wěn)定計(jì)算還常采用折減系數(shù)法。即將材料的壓縮許用應(yīng)

18、力[?]乘上一個小于1的折減系數(shù)?作為壓桿的許用臨界應(yīng)力，即：,[?cr] = ?[?],? < 1，稱為折減系數(shù),P： 工作壓力,? ： 折減系數(shù),A： 橫截面面積,[?]：材料抗壓許用值,根據(jù)穩(wěn)定條件,例11?3 圖示千斤頂，已知絲桿長度l=0.375m，,,,,,,,,l,d,P,直徑為d=0.04m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[?]=160MPa，符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范(GBJ17－88) 中b類桿件要求，最大起