2001年全國考研數(shù)學一真題

1、2001 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷,,,,,,一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題中橫線上)設 y ? ex (a sin x ? b cos x)(a,b 為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則該 方程為 .r ?x 2 ? y 2 ? z 2 ,則div(grad r)= .(1,?2,2),(3)交換二次積分的積分次序:,?,?,?1,2,

2、01? y,dyf (x, y)dx ＝ .,,,(4)設 A2 ? A ? 4E ? O ,則(A ? 2E)?1 = .(5) D( X ) ? 2 ,則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計 P{ X ? E( X ) ? 2} ???.二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目 要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1) 設函數(shù) f (x) 在定義域內(nèi)可導, y

3、 ? f (x) 的圖形如右圖所示, 則 y ? f ?(x) 的圖形為(),,(A),,(B),,,,(C)(D)(2)設 f (x, y) 在點(0, 0) 的附近有定義,且 f x?(0,0) ? 3, f y?(0,0) ? 1 則(,第 1 頁 共 12 頁,),(A) dz |(0,0) ? 3dx ? dy(B)曲面 z ? f (x, y) 在(0, 0, f (0, 0)) 處的法向量為{3,1,1},(C

4、)曲線,z ? f (x, y) y ? 0,在(0, 0, f (0, 0)) 處的切向量為{1, 0, 3},(D)曲線,z ? f (x, y) y ? 0,在(0, 0, f (0, 0)) 處的切向量為{3, 0,1},(3)設 f (0) ? 0 則 f (x) 在 x =0 處可導?,(,),,2,(A) lim,h,h?0,f (1? cos h),存在,,(B) lim,h,h?0,f (1? eh ),存在,,2

5、,(C) lim,h,h?0,f (h ? sin h),存在,,h,(D) lim,f (2h) ? f (h),h?0,存在,(4)設,1 1,00,? 1,1 ?,? 0,0 ?,?,?,?,?,A ?,,則 A 與B,(,),(A)合同且相似,(B)合同但不相似,(C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復擲 n 次,以 X 和Y 分別表示正面向上和反面向上的次數(shù), 則 X 和Y 相關(guān)系,數(shù)為 (,),(A

6、) -1,(B)0,,(C) 12,(D)1,三、(本題滿分 6 分),,arctan ex,e2 x,求?,dx .,,,第 2 頁 共 12 頁,四、(本題滿分 6 分)設函數(shù) z ? f (x, y) 在點(1,1) 可微,且 f (1,1) ? 1, f x?(1,1) ? 2, f y?(1,1) ? 3 ,?(x) ? f (x, f (x, x)) ,,,,x?1,d求?3 (x).dx,五、(本題滿分 8

7、分),設 f (x) ?,,x,1? x2arctan x x ?,1x ? 0,,0 ,將 f (x) 展開成 x 的冪級數(shù),并求?,?,(?1)n,n?1 1 ? 4n 2,的和.,,,,,六、(本題滿分 7 分)計算 I ? ??L ( y ? z )dx ? (2z ? x )dy ? (3x ? y )dz , 其中 L 是平面 x ? y ? z ? 2 與柱面222222x ? y ?

8、 1 的交線,從 Z 軸正向看去, L 為逆時針方向.,,第 3 頁 共 12 頁,x?0,七、(本題滿分 7 分)設 f (x) 在(?1,1) 內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)且 f ? (x) ? 0 .證明:(1)對于?x ? (?1,0) ? (0,1) ,存在惟一的?(x) ? (0,1) ,使 f (x) = f (0) + xf ?(?(x)x) 成立. (2) lim?(x) ? 0.5 .,八、(本題滿分 8 分),,h(t

9、),第 4 頁 共 12 頁,2(x 2 ? y 2 ),設有一高度為 h(t)(t 為時間)的雪堆在融化過程,其側(cè)面滿足方程 z ? h(t) ?,(設長,度單位為厘米,時間單位為小時),已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(系數(shù)為 0.9),問高度為 130 厘 米的雪堆全部融化需多少時間?,九、(本題滿分 6 分)設α1, α2 ,?, αs 為線性方程組 AX ? O 的一個基礎解系,β1 ? t1α1 ? t2 α2 , β

10、2 ? t1α2 ? t2 α3 ,?, βs ? t1 αs ? t2 α1 ,其中t1 , t2 為實常數(shù),試問t1 , t2 滿足什么條件時β1 , β2 ,?, βs 也為 AX ? O 的一個基礎解系?,,,十、(本題滿分 8 分)已知三階矩陣 A 和三維向量 x ,使得 x, Ax, A2 x 線性無關(guān),且滿足 A3 x ? 3Ax ? 2A2 x .(1)記P ? ( x, Ax, A 2 x), 求B 使 A ?

11、 PBP?1 . (2)計算行列式 A ? E .,第 5 頁 共 12 頁,十一、(本題滿分 7 分)設某班車起點站上客人數(shù) X 服從參數(shù)為?(?? 0) 的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為p(0 ? p ? 1), 且中途下車與否相互獨立. Y 為中途下車的人數(shù),求: (1)在發(fā)車時有n 個乘客的條件下,中途有m 人下車的概率. (2)二維隨機變量( X ,Y ) 的概率分布.,十二、(本題滿分 7 分)設 X ~

12、N (?,?2 ) 抽取簡單隨機樣本 X , X ,?, X(n ? 2),122n,,,?i,第 6 頁 共 12 頁,樣本均值 X ?,2n,i?1,12n,n,?in?i,i?1,2,X , Y ?( X ? X,? 2 X ) ,求 E(Y ).,,2001 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學(一)試卷答案與解析,一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的兩個根是 r1 , r2 ? 1? i ,從

13、而得知特征方程為(r ? r )(r ? r ) ? r 2 ? (r ? r )r ? r r ? r 2 ? 2r ? 2 ? 0 .由此,所求微分方程為 y'' ? 2 y' ? 2 y ? 0 .12121 2,(2)【分析】,,,,,,,r r r,?,??,?,?x ?y ?z,?,???,,,,,,,??r ?r ?r ?? x y z ??,x?y?

14、z,( ) ?( ) ?( ),gradr=,,?,,.再求 divgradr= ?,x r?y,r?z r,,,,,,,,,,2,x2y2z2,r3,1113x2 ? y2 ? z2,= ( ?) ? ( ?) ? ( ?) ??rr3rr3rr3r,?.于是r,,,22divgradr| (1,?2,2) = r |(1,?2,2) ? 3 .,(3

15、)【分析】 這個二次積分不是二重積分的累次積分,因為?1 ? y ? 0 時,02,?1,1? y,?,?,1? y ? 2 .由此看出二次積分dyf (x, y)dx 是二重積分的一個累次,0,2,積分,它與原式只差一個符號.先把此累次積分表為dy,?1,1? y,?,?,??,f (x, y)dx ?f (x, y)dxdy .由累次積分D,的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域 D : ?1 ? y ? 0,1? y ? x ?

16、 2 .見圖.現(xiàn)可交換積分次序,02,2,0,2,1,0,1 ? x,?1,1? y1,1? x,原式= ?dy,f (x, y)dx ? ?dx,?,??,?,?,?,f (x, y)dy ?dxf (x, y)dy .,,,(4)【分析】 矩陣 A 的元素沒有給出,因此用伴隨矩陣、用初等行變換求逆的路均堵塞.應當考慮用定義 法.因為 ( A ? E)( A ? 2E) ? 2E ? A2 ? A ? 4E ? 0

17、,故( A ? E)( A ? 2E) ? 2E ,即( A ? E) ? A ? 2E ? E .按定義知( A ? E)?1 ? 1 ( A ? 2E) .22,,,,?2,(5)【分析】 根據(jù)切比雪夫不等式 P{ X ? E( X ) ? ?} ? D(x) , 于是,,,,,22,2,P{ X ? E( X ) ? 2} ? D(x) ? 1 .,,二、(1)【分析】 當 x ? 0 時, f (x) 單調(diào)增? f &#

18、39; (x) ? 0 ,(A),(C)不對;當 x ? 0 時, f (x) :增——減——增? f ' (x) :正——負——正,(B)不對,(D)對.應選(D).(2)關(guān)于(A),涉及可微與可偏導的關(guān)系.由 f (x, y) 在(0,0)存在兩個偏導數(shù) ? f (x, y) 在(0,0)處可微.因,此(A)不一定成立.關(guān)于(B)只能假設 f (x, y) 在(0,0)存在偏導數(shù),,,,,第 7 頁 共 12 頁,?

19、f (0, 0) ?f (0, 0),?x?y,,不保證曲面,,,?,??f (0, 0) ?f (0, 0),z ? f (x, y) 在(0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在時,法向量 n= ?,?,?,?,，?x?y,，? 1? ? ? {3,1,-1},與{3,1,1}不共線,因而(B)不成立.? x ? t ,,關(guān)于(C),該曲線的參數(shù)方程為? y ? 0,,?,? z ? f (t , 0),,?,它

20、在點(0, 0, f (0, 0)) 處的切向量為,,x,{t ', 0, d f (t, 0)}|,dt,t ?0,?{1, 0, f '(0, 0)} ?{1, 0, 3} .因此,(C)成立.,,x?0,,,xxx,x?0?x?0?,(3)【分析】 當 f (0) ? 0 時, f ' (0) ? lim f (x) ? ? lim f (x) ? lim f (x) ? .,,,,,,,22,1,

21、cos hlim,h?0 h,h?0,2 t ?0?,關(guān)于(A): lim 1 f (1 ?cos h) ? lim f (1 ?cos h) ?1 ?cos h t ?1 ?,1? coshht,f (t),,由此可知,,h?0 h2,?,lim 1 f (1 ?cos h) ? ?f ' (0)? .若 f (x) 在 x ? 0 可導? (A)成立,反之若,?,,(A)成立? f ' (0) ?

22、? f ' (0)?.如 f (x) ?| x | 滿足(A),但 f ' (0) 不? .關(guān)于(D):若 f (x) 在 x ? 0 可,,,,導, ?1,f (2 h),f ( h),2hh,h?0 h,h?0,lim[ f (2h) ? f (h)] ? lim[2,?] ? 2 f '(0) ? f '(0) .,h?0,,,? (D)成立.反之(D)成立? lim( f (2h) ? f

23、 (h)) ? 0 ? f (x) 在 x ? 0 連續(xù), ? f (x) 在 x ? 0 可導.,?2x ?1, x ? 0,如 f (x) ?,?,0,x ? 0,?,滿足(D),但 f (x) 在 x ? 0 處不連續(xù),因而 f ' (0) 也不? .再看(C):,,,,,,lim 1,h2h2,h?0 h2,h?0,h?0,h ? sinht,f (h ?sin h) ? lim h ?sin h ? f ( h

24、?sin h) ? lim h ?sin h ? f (t) (當它們都? 時).,,h2,,,t,h?0t ?0,注意,易求得lim h ? sin h ? 0 .因而,若 f ' (0) ? ? (C)成立.反之若(C)成立 ? lim f (t) (即,,f ' (0) ? ).因為只要 f (t) 有界,任有(C)成立,如 f (x) ?| x | 滿足(C),但 f ' (0) 不? .因此,只能選(

25、B).,第 8 頁 共 12 頁,t(4)【分析】 由 | ?E ? A |? ?4 ? 4?3 ? 0 ,知矩陣 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是實對稱矩陣, A 必 能相似對角化,所以 A 與對角矩陣 B 相似.作為實對稱矩陣,當 A ? B 時,知 A 與 B 有相同的特征值,從而 二次型 xT Ax 與 xT Bx 有相同的正負慣性指數(shù),因此 A 與 B 合同.所以本題應當選(A).注意,實對稱矩陣,合同時,它們

26、不一定相似,但相似時一定合同.例如 A ?,??,0 20 3,?1 0??1 0?,??,????,與 B ?,它們的特征值不同,故 A,與 B 不相似,但它們的正慣性指數(shù)均為 2,負慣性指數(shù)均為 0.所以 A 與 B 合同.(5)【分析】 解本題的關(guān)鍵是明確 X 和Y 的關(guān)系: X ? Y ? n ,即 Y ? n ? X ,在此基礎上利用性質(zhì):相關(guān)系數(shù)?XY 的絕對值等于 1 的充要條件是隨機變量

27、 X 與Y 之間存在線性關(guān)系,即Y ? aX ? b (其中 a, b,是常數(shù)),且當 a ? 0 時, ?XY ? 1 ;當 a ? 0 時, ?XY ? ?1 ,由此便知?XY ? ?1 ,應選(A).事實上,Cov( X ,Y ) ? Cov( X , n ? X ) ? ?DX , DY ? D(n ? X ) ? DX ,由此由相關(guān)系數(shù)的定義式有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,DXDY,DXDY,Cov( X ,

28、Y )?DX,?XY ? ? ? ? 1.,,,,11,x,dex,x?2x?2x,三、【解】原式= ?arctan e d (e) ? ?[earctan e22,?,? ? e2 x(1 ? e2 x) ],,,,,xx1dede1,?2 xx?2 xx? xx,=(earctan e ? ? 2 x ? ?2 x ) = ?(earctan e ?

29、 e? arctan e ) ? C .2e1 ? e2,,dx,x?1,四、【解】先求?(1) ? f (1, f (1,1)) ? f (1,1) ? 1 .求d ?3 (x) |? 3?2 (1)?' (1) ? 3?' (1) ,歸結(jié)為求,?' (1) .由復合函數(shù)求導法,,12,dx,1212,?' (x) ? f ' (x, f (x, x)) ?

30、 f ' (x, f (x, x)) d f (x, x) ,?' (1) ? f ' (1,1) ? f ' (1,1)[ f ' (1,1) ? f ' (1,1)] .,,',1,?f (1,1),注 意 f (1,1) ?,,',2,? 2 , f,?f (1,1),(1,1) ?,?x?y,? 3 .因此,,dx,x?1,?' (1) ?

31、 2 ? 3(2 ? 3) ? 17 , d ?3 (x) |? 3?17 ? 51 .,五、【分析與求解】關(guān)鍵是將arctan x 展成冪級數(shù),然后約去因子 x ,再乘上1? x2 并化簡即可.,,2,1,n 2 n,?,直接將arctan x 展開辦不到,但(arctan x)' 易展開,即(arctan x)' ?,?(?n?0,1? x,?,1) x, | x |? 1 ,,①,,

32、9;,0,0,x,n x 2 n,?,?,2 n ?1,n?0n?0,(?1)n,積分得arctan x ?(arctan t) dt ?(?,1)t dt ?,2n ?1,?,?,?,?,x, x ?[?1,1] . ②,因為右端積分在 x ? ?1 時均收斂,又arctan x 在 x ? ?1 連續(xù),所以展開式在收斂區(qū)間端點 x ? ?1 成立.,現(xiàn)將②式兩邊同乘以,,x,1? x2,得,,,,,2,2 n,2 n,x

33、,1? x2,? (?1) n,? (?1) n,? (?1) n x2 n ?2,arctan x ? (1 ? x ),2n ?1,n?0 2n ?1,2n ?1,?n?0,x? ?x,? ?n?0,,,2n,?,(?1)n,? (?1)n ?1 2n,n?0 2n ?1n?0 2n ?1,= ?x? ?,,,11,1) (,n,2n,?,n?1,x=1?(?,2n ?12n ?1,?,,2n,第 9 頁 共

34、12 頁,2 x,? (?1)n 2,n?1 1? 4n,?) x? 1? ?,, x ?[?1,1] , x ? 0上式右端當 x ? 0 時取值為 1,于是,,,2,2n,? (?1)n 2,f (x) ? 1?,1? 4n,?n?1,x, x ?[?1,1] .上式中令,,,,,,,2,1?,? 1,?,(?1)n1,x ? 1 ?,1? 4n22442,?n?1,?[ f (1) ? 1] ?(2?

35、? 1) ??.,,13,n ? (cos?, cos ?, cos?) ?,六、【解】用斯托克斯公式來計算.記 S 為平面 x ? y ? z ? 2 上 L 所為圍部分.由 L 的定向,按右手法則 S 取上側(cè), S 的單位法向量?,(1,1,1) .于是由斯托克斯公式得,,,,,,S,cos?,?,y2 ? z2,cos ?cos????y?z2z2 ? x23x2 ? y2,I ? ?? ?x,dS =

36、,,,,333,S,??[(?2 y ? 4z) 1 ? (?2z ? 6x) 1 ? (?2x ? 2 y) 1 ]dS,,,,,23,23,= ?,??S,??S,(4x ? 2 y ? 3z)dS (利用x ? y ? z ? 2) ?,(6 ? x ? y)dS .于是,,,,,,,,,,xy,1? Z '2 ? Z '2 ? 1?1?1 ?3 .,,,3 D,D,按第一類曲面積分化為二重積分

37、得 I ? ? 2 ?? (6 ? x ? y) 3dxdy ? ?2?? (6 ? x ? y)dxdy ,其中 D 圍,,S 在 xy 平面上的投影區(qū)域 | x | ? | y |? 1 (圖）.由 D 關(guān)于 x, y 軸的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得?? (x ? y)dxdy ? 0 ? I ? ?12?? dxdy ? ?12( 2) 2 ? ?24 .DD七、【證明】 (1)由拉格朗日中值定理, ?x ? (1, ?

38、1) , x ? 0 , ???(0,1) ,使 f (x) ? f (0) ? xf '(?x),,x,(?與 x 有關(guān));又由 f '' (x) 連續(xù)而 f '' (x) ? 0 , f '' (x) 在(1, ?1) 不變號, f ' (x) 在(1, ?1) 嚴格單調(diào),?唯一.(2)對 f ' (?x) 使用 f '' (0) 的定義.由

39、題(1)中的式子先解出 f ' (?x) ,則有 f ' (?x) ? f (x) ? f (0) .再改,,寫成 f ' (?x)? f ' (0)?,.,,,x 2,x?x,f (x) ? f (0) ? xf '(0)f ' (?x)? f ' (0)f (x) ? f (0) ? xf ' (0),???,,,解出?,令 x ? 0 取極限得,,,,,,&#

40、39;'',第 10 頁 共 12 頁,1 f '' (0),x2,f '' (0)2,?x,x?0x?0x?0,lim?? lim f (x) ? f (0) ? xf (0) / lim f (?x)? f (0) ? 2,? 1 .,八、【解】(1)設t 時刻雪堆的體積為V (t) ,側(cè)面積為 S (t) . t 時刻雪堆形狀如圖所示，先求 S (t) 與V (t)

41、.,,,22,2,h2 (t),h(t),2(x2 ? y2 ),側(cè)面方程是 z ? h(t) ?,((x, y) ? Dxy : x ? y ?,,,,,?z ? ? 4x?z4 y,) . ? ?x,,? ?h(t )?yh(t ),.,,,,,,,,,,,,Dxy,h (t ),?z 2?z 2,h 2 (t )? 16(x 2 ? y 2 ),dxdy ?,? S (t) ?1? ( ?x) ? ( ?

42、y),??,??Dxy,dxdy .,作極坐標變換: x ? r cos?, y ? r sin?,則,,1,2,Dxy : 0 ??? 2?, 0 ? r ?h(t) .,?,,,,,,,,,,,2,0,0,1,3,22,2,22,0,12,h(t ),1h(t),h(t) 48,2?1 h( t),d?,2?1,13?,S (t) ?,h 2(t) ?16r 2rdr,??[h (t) ? 16r ] |?

43、h (t).,?,?,用先二后一的積分順序求三重積分,0,h(t ),D ( x ),?,,V (t) ?dz ?? dxdy ,其中 D(z):,h(t),2(x2 ? y2 ),? h(t) ? z(t) ,,,即 x2 ? y2 ? 1 [h2 (t ) ? h(t )z ] . ?,2,33,0,2224,2h(t ),?,V (t) ?,?,[h (t) ? h(t)z]dz ? ? h (t) ? 1 h(t)3

44、 ] ? ?h (t) .[,,,dtdt,按題意列出微分方程與初始條件.體積減少的速度是? dV ,它與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9),即 dV ? ?0.9S 將V (t) 與 S (t),,,,,,?dh13?dh13的表達式代入得3h2 (t)? ?0.9h2 (t) ,即? ?. ①h(0) ? 130 .②,,4dt12dt10(3)解①得 h(t) ? ? 13 t ? C .,

45、,1010,第 11 頁 共 12 頁,由②得 C ? 130 ,即 h(t) ? ? 13 t ?130 .,令 h(t) ? 0 ,得 t ? 100 .因此,高度為 130 厘米的雪堆全部融化所需時間為 100 小時.九、【解】由于?i (i ? 1, 2?s) 是?1 ,?2 ,??s 線性組合,又?1 ,?2 ,??s 是 Ax ? 0 的解,所以根據(jù) 齊次線性方程組解的性質(zhì)知?i (i ? 1, 2?s) 均為 Ax

46、? 0 的解.從?1 ,?2 ,??s 是 Ax ? 0 的基礎解系,知s ? n ? r (A) .下面來分析?1 ,?2 ,??s 線性無關(guān)的條件.設 k1?1 ? k2?2 ???ks?s ? 0 ,即(t1k1 ? t2ks )?1 ? (t2k1 ? t1k2 )?2 ? (t2k2 ? t1k3 )?3 ? ?? (t2ks ?1 ? t1ks )?s ? 0 .由于?1 ,?2 ,??s 線性無 關(guān),因此有

47、,?t1k1 ? t2ks,? 2 11 2,? 0,?t k ? t k? 0,? 0,,?t k ? t k,?,?,??t2ks?1 ? t1ks ? 0.,2 21 3?,,,t1 0 0? 0 t2,t2 t1 0? 0 0,(*) 因為系數(shù)行列式 0 t t ? 0 0,2 1???? ?,0 0 0? t2 t1,? t s ?(?1) s ?1t s ,12,所以當ts ? (?1)s

48、?1t s ? 0 時,方程組(*)只有零解 k ? k ? ? ? k ? 0 .從而?,? ,?? 線性無關(guān).1212s12s十、【解】(1)由于 AP ? PB,即 A(x, Ax, A2 x) ? ( Ax, A2 x, A3x) ? ( Ax, A2 x, 3Ax ? 2 A2 x),????0 1 ? 2 ??,?0 00 ??0 00 ?0,3 ?,? (x, Ax, A2

49、x) ?103 ? ,所以 B ? ?1,????0 1 ? 2 ??,.,,,1 0 0(2)由(1)知 A ? B ,那么 A ? E ? B ? E ,從而| A ? E |?| B ? E |? 1 1 3 ? ?4 .0 1 ?1,n,十一、【解】 (1) P{Y ? m | X ? n} ? C m pm (1? p) n ?m, 0 ? m ? n, n ? 0,1, 2, ?.,,n,(2) P{

50、X ? n,Y ? m} = P{X ? n}P{Y ? m | X ? n}?n,??m m,n? m,=e?C p (1? p), 0 ? m ? n, n ? 0,1, 2, ?.n!,十二、【解】 易見隨機變量( X1 ? Xn?1 ) , ( X 2 ? Xn?2 ) , ?,( Xn ? X 2n ) 相互獨立都服從正態(tài)分布N (2?, 2?2 ) .因此可以將它們看作是取自總體 N (2?, 2?2

51、) 的一個容量為 n 的簡單隨機樣本.其樣本,均值為,,,n,1 2n,,1n,n,( X ? X) ?,?in ?i?ii?1i?1,X ?2 X ,樣本方差為,,,1,1,n,2,i?1,( X ? X,? 2 X ) ?,n ?1,n ?1,?in ?i,Y .,,1,第 12 頁 共 12 頁,n ?1,因樣本方差是總體方差的無偏估計,故 E(Y ) ? 2?2 ,即. E(Y ) ? 2(n ?1)?2,