金融數(shù)學的研究與進展

1、學科簡介金融數(shù)學的研究與進展Ξ張友蘭1周愛民2(1河北省科學院應用數(shù)學研究所石家莊0500812南開大學國際經(jīng)濟研究所天津300071)摘要投資組合選擇理論、資本資產定價模型、期權定價理論是金融數(shù)學中的幾個主要理論改進和發(fā)展金融數(shù)學模型強調對數(shù)據(jù)的獲取、分析與實證研究針對具體問題探索有效的數(shù)學方法和工具是金融數(shù)學的基本發(fā)展趨勢。關鍵詞選擇理論期權定價理論金融衍生工具中圖分類號O2911引言金融數(shù)學是最近發(fā)展起來的新興邊緣學科是數(shù)學與金融

2、學的交叉。主要運用現(xiàn)代數(shù)學理論和方法(如:隨機分析、隨機最優(yōu)控制、組合分析、非線性分析、多元統(tǒng)計分析、數(shù)學規(guī)劃、現(xiàn)代計算方法等)對金融(除銀行功能之外還包括投資、債券、基金、股票、期貨、期權等金融工具和市場)的理論和實踐進行數(shù)量的分析研究。金融數(shù)學已成為發(fā)展最快的應用數(shù)學分支之一。金融數(shù)學(MathematicalFinance)這一學科名詞20世紀80年代末才出現(xiàn)。它是馬柯維茨(H.Markowitz1990年獲諾貝爾經(jīng)濟學獎)的證券

3、組合選擇理論和斯科爾斯默頓(M.Scholes2R.Merton1997年獲諾貝爾經(jīng)濟學獎)的期權定價理論這二次華爾街革命的直接產物。其核心問題是不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資策略的選擇理論、定價理論以及市場理論套利、最優(yōu)與均衡是其中的三個主要概念。為促進經(jīng)濟的迅速發(fā)展世界各國金融創(chuàng)新運動日益加快眾多新的金融產品和衍生工具(如期貨、權證、掉期等)不斷涌現(xiàn)新的金融服務也層出不窮。因此金融市場的運行規(guī)律、資產組合選擇、金融衍生工具的設計與定價、風險

4、分析與管理、以及相關的投資決策分析顯得空前重要這也正是金融數(shù)學研究和解決的核心問題。實踐說明金融理論和金融數(shù)學的發(fā)展極大地促進了世界各國的經(jīng)濟和社會發(fā)展。相反金融投機可以象原子彈一樣摧毀一個國家或地區(qū)的經(jīng)濟。因此金融數(shù)學的研究在國內外越來越成為熱門話題。本文簡要介紹金融數(shù)學的一些主要理論和方法展望。21金融數(shù)學的幾個主要理論211選擇理論(組合投資理論)金融學從定性分析到定量分析的轉變始于馬柯維茨的證券組合投資從而使得金融理論發(fā)生了一場

5、革命。他首先將概率論和數(shù)學規(guī)劃成功地結合在一起把組合投資中的股票價格作為隨機變量用其均值表示收益方差表示風險。當收益一定、使風險最小的組合投資問題可歸結為求下述二次規(guī)劃的最優(yōu)解。MinXTVXs.tXTI=1XTH≥rL≤X≤P。35Vol.7No.4Jul.2004高等數(shù)學研究STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSΞ收稿日期:20030220基金項目:河北省自然科學基金資助項目課題編號:695194。?19942007

6、ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.313金融數(shù)學的方法展望金融系統(tǒng)由于自身具有多因素、非線性、不確定性而成為復雜系統(tǒng)這便為金融數(shù)學提出了較高的要求。尤其是金融市場的特性:波動性、突發(fā)事件、市場不完全、信息不對稱等已成為金融數(shù)學當前面臨的重要課題。金融市場上的波動現(xiàn)象一般可歸結為隨機的問題例如我們常常假設股票價格的波動服從某一隨機過程象幾何布朗運

7、動然后進行隨機分析。但是金融市場多數(shù)情況下并不滿足穩(wěn)定的假設時常出現(xiàn)異常的波動。近些年來的最新研究成果自回歸條件異方差模型可以較好地派上用場。另外隨機最優(yōu)控制和隨機微分方程這些較晚發(fā)展起來的數(shù)學工具已在大多數(shù)金融領域得到應用。突發(fā)事件是小概率事件一般的隨機分析不能解釋重大的金融震蕩。例如1987年“黑色星期一”西方的金融崩潰。分形理論可以解釋股票如何瘋長和暴跌。起源于海岸線形狀和宇宙星系描述的分形理論是本世紀最杰出的數(shù)學成就之一。另外還

8、有突變理論和沖擊理論也在金融理論中得到應用。不完全市場是指市場受到各種限制而不完備如不允許賣空買空股票等。解決這類問題除了Duffie的不完全市場的一般均衡理論之外Karatzas等人引入的鞅理論能夠很好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題目前國外基于鞅方法的定價理論在金融理論中占主導地位。信息不對稱表現(xiàn)為經(jīng)濟人掌握的信息不一樣。信息不對稱條件下的相互對策在數(shù)學上處理是相當困難的。但是微分對策、重復對策、隨機對策、多人對策理論在金融

9、研究中得到深入的探索和發(fā)展有著較好的發(fā)展前程。另外智能優(yōu)化方法例如遺傳算法、模擬退火算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡等為金融領域提供了廣泛的研究工具應用前景廣闊。金融數(shù)學建立在金融學和數(shù)學之上而統(tǒng)計和計算機已是它須臾不可離開的主要工具。41結束語在現(xiàn)代金融理論和金融實踐中數(shù)學不是萬能的但是沒有數(shù)學是萬萬不能的。因而我國對金融數(shù)學的研究十分重視把“金融數(shù)學、金融工程、金融管理”列為國家自然科學基金重大項目中國人民銀行也把“金融數(shù)學研究”列為資助項目。我

10、們相信本世紀金融數(shù)學將會得到更深入的發(fā)展和更廣泛的應用。參考文獻[1]LambertonD.LaperyreB.IntroductiontoStochasticCalculusAppliedtoFinanceChapmen&Hall1996[2]KaratzasIShreveSEMethodsofMathematicalFinanceNewYk:SpringerVerlag1998[3]KnROptimalPtfolios:Stocha

11、sticModelsOptimalInvestmentRiskManagementinContinuousTime[M]WldScientificPublishing1997[4]張友蘭.風險證券組合投資分析[J]河北省科學院院報1998(3)[5]張友蘭.最優(yōu)證券組合選擇的一種線性解法[J].應用數(shù)學學報199810(3)[6]周愛民.股市泡沫與有效性的同一性檢驗[J].天津大學學報1999(1)更正本刊2004年第3期第63頁第10

12、行“關于該問題的可測函數(shù)”應為“關于一般二階線性橢圓型方程的Drichlet問題解的先驗估計由原先對于方程系數(shù)的較強限制條件改進為系數(shù)屬于有界可測函數(shù)建立了同一先驗估計式”。第11行“贊嘗”應為“贊賞”。第22行第3字“了”應為“可”。第24行第32、33字“算子”應為“性”。第25行“Hōrmer”應為“H?rmer”。第64頁倒數(shù)第9行“之處”應為“之點得到突破”。55第7卷第4期張友蘭周愛民:金融數(shù)學的研究與進展?19942007