03第三節(jié)微積分基本公式共5頁文檔

1、第三節(jié)微積分基本公式積分學(xué)中要解決兩個(gè)問題：第一個(gè)問題是原函數(shù)的求法問題，我們在第四章中已經(jīng)對它 做了討論；第二個(gè)問題就是定積分的計(jì)算問題.如果我們要按定積分的定義來計(jì)算定積分, 那將是十分困難的.因此尋求一種計(jì)算定積分的有效方法便成為積分學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵.我們知 道，不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個(gè)概念 但是，牛頓和萊布尼茨不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個(gè)概念之間存在著的深刻的內(nèi)在聯(lián)系.即所 謂的“微積分基

2、本定理”，并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑一一牛頓-萊布尼茨公式. 從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科一一微積分學(xué).牛頓和萊布尼茨也因 此作為微積分學(xué)的奠基人而載入史冊. 分布圖示 分布圖示★★講解注意： 講解注意：一、 引例 引例變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系.二、 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：①⑴ Jxf(t)dta定理 定理2若函數(shù)f (x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則函數(shù)①(x) = j

3、xf (t )dta就是f (x)在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù).三、牛頓一萊布尼茲公式 三、牛頓一萊布尼茲公式定理 定理3若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)，則 j bff (x)dx = F(b) 一 F (a).公式(3.4)稱為牛頓一萊布尼茨公式 牛頓一萊布尼茨公式.例題選講： 例題選講：積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例1 (E01)求右圖中陰影區(qū)域的面積解由題意，得到★ 引言 ★引例

4、★ 積分上限函數(shù)★ 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ★ 例1★例 2-3 ★ 例4 ★例5★例6 ★ 例7★ 原函數(shù)存在定理 ★ 牛頓一萊布尼茨公式★ 牛頓一萊布尼茨公式的幾何解釋★例8 9 ★例10 ★例11 ★例12★例13 ★例14 ★例15 ★例16內(nèi)容小結(jié) 習(xí)題5-3(3.6)=jo 2dx - j0 sec2 xdx + j1dx + j1x 2 dxy= sec2x課堂練習(xí) ★1復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有例4設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，試求以下

5、函數(shù)的導(dǎo)數(shù).F(x) = J s'11 “efGdt ； (2) F(x) = Jx xf (t)dt ； (3) F(x) = Jx f (x -1)dt. cosx 00(1) F'(x) = ef(sinx)cos x + ef(cosx)sin x.et 2 dt +—[\°sin tdt = 0 dx[ x于是 d[Jy2 et2dt] dy + dfJ0sintdt^ = 0，dy“ 0 ) dx

6、dx— x J即 ey4 ? (2 y).空 + (- sin x) = 0dx故 dy = sin xdx 2 yey4.J1 e-t 2dt例 6(E04)求 lim- cos x --------.x T0 x 2分析:這是0型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.0d例 2 (E02)求— dx解d「 』 dx兀 —-tan x 2「“ J cos2 tdt -0xcos2t d^ = c o Sx.例 3 (E03)求ddxJ x 3 et

7、2 dt 1X 3 0 +1 + — 1 耳4解這里J x3 et2dt是x3的函數(shù)， 因而是x的復(fù)合函數(shù)，令x3 = u,則①(u) = Juet2dt，根據(jù)—「卜 et2dtdx du「“ 2dt ?業(yè)=Or(u) - 3x2 = eu2 - 3x2 = 3x2ex6 - dx(2)因?yàn)?F(x) = xJxf (t)dt,所以 F，(x) = xf (x) + Jxf (t)dt.因?yàn)镕(x) = Jxf(x一t)dt u =