幾類特殊矩陣的冪與乘積.pdf

1、在第一章，我們給出全文涉及到的一些基本概念及結(jié)論．在第二章，我們給出邵嘉裕教授關(guān)于非負(fù)矩陣可以分解成不可約非負(fù)陣乘積的充要條件的結(jié)果的新證明，并且確定最少的因子個(gè)數(shù)．在第三章，我們研究了給定秩的0-1矩陣的正整數(shù)次冪中1的可能個(gè)數(shù)．在第四章，我們研究了冪仍為0-1矩陣的0-1矩陣中1的可能個(gè)數(shù)．在第五章，我們研究了Toeplitz矩陣和Hankel矩陣的冪，給出了Cauchy-Toeplitz矩陣和Cauchy—Hankel矩陣的Fro

2、benius范數(shù)和譜范數(shù)的下界．在第六章，我們給出了計(jì)算一種偶階反三對角矩陣的任意次冪的顯式表達(dá)式．本文討論如下五類問題．
　　1．非負(fù)矩陣的分解矩陣分解問題在矩陣論和矩陣計(jì)算中都十分重要，這類問題討論的是將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)特定類型矩陣的乘積或者和的問題．在1985年，邵嘉裕教授給出了一個(gè)非負(fù)方陣可以分解成不可約非負(fù)矩陣的乘積的充要條件([38])．本文用圖論方法重新證明了他的定理．并且證明了，若一個(gè)非負(fù)方陣可以分解成不可約非

3、負(fù)矩陣的乘積，則可以要求因子的個(gè)數(shù)至多為3．所用的證明方法是構(gòu)造性的，可以具體寫出各個(gè)因子矩陣．
　　2．給定秩的0-1矩陣的冪0-1矩陣是元素取值0或1的非負(fù)矩陣，這樣的矩陣經(jīng)常出現(xiàn)在組合學(xué)和圖論中．在2005年，胡奇、李婭琴和詹興致確定了給定秩的一般0-1矩陣和給定秩的對稱0-1矩陣中1的可能個(gè)數(shù)([24])．隨后詹興致教授又提出，在給定秩的0-1矩陣的某個(gè)正整數(shù)次冪中，1的可能個(gè)數(shù)又是哪些呢?本文部分地回答了此問題。

4、　　3．冪仍為0-1矩陣的0-1矩陣直覺上，如果一個(gè)0-1矩陣含有太多的元素等于1，那么它的冪不太可能仍是0-1矩陣．在2007年詹興致教授在討論班上提出下面的問題：給定正整數(shù)n和k，如果n階0-1矩陣A的k次冪仍為0-1矩陣，那么A中1的最多個(gè)數(shù)是多少呢?進(jìn)一步地，如何來刻畫這些1的個(gè)數(shù)取到最大值的0-1矩陣呢?本文解決了詹的問題中k=2的情況．具體來說，我們確定了平方仍是0-1矩陣的0-1矩陣中1的最大個(gè)數(shù)，同時(shí)刻畫了取到最大值的0

5、-1矩陣．并且，我們初步研究了k＞2的情況．
　　4．特殊矩陣的冪與范數(shù)在矩陣論中有一些結(jié)構(gòu)特殊并且在應(yīng)用中非常重要的矩陣．一方面，本文研究了Toeplitz矩陣和Hankel矩陣的冪．Tamir Shalom給出了使得Toeplitz矩陣的任意次冪仍為Toeplitz矩陣的充要條件([37])．我們給出了他的結(jié)論的一個(gè)新證明．另外，我們給出了使得Hankel矩陣的任意次冪仍是Hankel矩陣的一個(gè)充分條件．另一方面，本文利用多伽