具有吸引相互作用的量子系統(tǒng)的極小化問題研究.pdf

1、本文主要研究兩個(gè)具有吸引相互作用的量子系統(tǒng)：Bose—Einstein凝聚和玻色星體系統(tǒng)．前者為非相對(duì)論量子系統(tǒng)，在數(shù)學(xué)上可以用Gross-Pitaevskii能量泛函來描述；而后者為近似相對(duì)論量子系統(tǒng)，在數(shù)學(xué)上可以用近似相對(duì)論Hartree能量泛函來描述．分別考慮了R2中Gross-Pitaevskii能量的極小化問題和R3中近似相對(duì)論Hartree方程能量的極小化問題．
　　首先，將Guo和Seiringer在[28]中關(guān)于R

2、2上的吸引型Bose-Einstein凝聚在勢阱v(x)滿足條件lim∣x∣→∞V(X)=→∞時(shí)得到的Gross-Pitaevskii能量泛函的極小元的存在性和質(zhì)量集中性結(jié)論推廣到了兩類很重要的外勢：周期外勢和庫侖型外勢的情形．當(dāng)外勢為周期函數(shù)時(shí)，應(yīng)用集中緊原理證明了當(dāng)相互作用參數(shù)a滿足a*＜a＜a*=‖Q‖22時(shí)，Gross-Pitaevskii能量的極小元存在，其中a*≥0，Q是非線性方程-△u+u-u3=0的唯一徑向?qū)ΨQ正解．進(jìn)一

3、步，再次應(yīng)用集中緊原理得到了一個(gè)最佳的Gross—Pitaevskii能量上下界估計(jì)，在此能量估計(jì)下，研究了當(dāng)a趨向a*時(shí)極小元的質(zhì)量集中現(xiàn)象，證明了質(zhì)量集中在周期函數(shù)的一個(gè)周期阱的最小值點(diǎn)．當(dāng)外勢為形如-1/∣x∣1-β(0≤β<1)的庫侖型勢阱時(shí)，得到了Gross-Pitaevskii能量的一個(gè)較好的估計(jì)，此估計(jì)依賴參數(shù)β．然后給出了Gross-Pitaevskii能量的極小元的存在性定理．特別，當(dāng)0＜β＜1時(shí)，發(fā)現(xiàn)Gross-Pi

4、taevskii能量e(a)在臨界值點(diǎn)a*的取值不再是一個(gè)跳躍點(diǎn)，表現(xiàn)為：e(a)關(guān)于a是連續(xù)的，遞減的，且對(duì)所有a>a*都有e(a)=-∞．當(dāng)0＜β＜1時(shí)，還分析了當(dāng)a趨向于臨界值a*時(shí)Gross-Pitaevskii能量的極小元的漸近行為，證明了極小元函數(shù)在此極限下質(zhì)量會(huì)集中在庫侖勢阱的奇異點(diǎn)．
　　其次，研究了與玻色星體的近似相對(duì)論Hartree方程相關(guān)的一個(gè)極小化問題．對(duì)Frohlich，Jonsson和Lenzmann[