有限群自動(dòng)機(jī)的研究及其推廣.pdf

1、自動(dòng)機(jī)理論是研究離散數(shù)字系統(tǒng)的功能、結(jié)構(gòu)及其兩者關(guān)系的數(shù)學(xué)理論.它旨在研究自動(dòng)機(jī)的分析與綜合問題.隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,尤其是計(jì)算機(jī)科學(xué)對(duì)基礎(chǔ)理論的要求,自動(dòng)機(jī)理論已成為許多學(xué)科的重要理論和應(yīng)用基礎(chǔ). 本文簡(jiǎn)單介紹了國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用數(shù)學(xué)工具對(duì)群自動(dòng)機(jī)理論進(jìn)行研究得到的一些結(jié)果,對(duì)有限群自動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)、代數(shù)性質(zhì)和狀態(tài)進(jìn)行了研究,同時(shí)也對(duì)有限群自動(dòng)機(jī)的構(gòu)造和分解進(jìn)行討論,并且對(duì)廣義狀態(tài)機(jī)、有限半群自動(dòng)機(jī)和雙有限群自動(dòng)機(jī)作了簡(jiǎn)單的介紹.

2、 本文采用了環(huán)論、模論和圖論中的方法來研究有限群自動(dòng)機(jī),得到了一些結(jié)果.從整體上來看,本文提供了進(jìn)一步研究有限群自動(dòng)機(jī)的一些思路. 本文內(nèi)容分為三個(gè)部分,每個(gè)部分為一章. 第一章是引言.這部分簡(jiǎn)單介紹了國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用數(shù)學(xué)工具對(duì)群自動(dòng)機(jī)進(jìn)行研究的一些內(nèi)容,并給出了有限群自動(dòng)機(jī)的基本概念和記號(hào). 第二章是關(guān)于有限群自動(dòng)機(jī)的構(gòu)造和分解的研究,同時(shí)給出了有限群自動(dòng)機(jī)極小性和忠實(shí)性的判別法則.主要結(jié)果： 定

3、理2.2.2設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), 且是映射,滿足 ,其中 ,定義如下: ,則是有限群自動(dòng)機(jī),稱是的串積. 定理2.3.1設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī),則是極小的充分必要條件為若 , , 為的單位元,則 . 定理2.3.3 設(shè)是雙有限群自動(dòng)機(jī),則是極小的充分必要條件為對(duì)于若分別為的單位元,則 . 定理2.3.5 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), 是的單位元,則是忠實(shí)的充分必要條件為對(duì)于 ,若 ,則 . 定理2.3.9 設(shè)是雙有

4、限群自動(dòng)機(jī),則是忠實(shí)的充分必要條件為若 ,對(duì)于分別為的單位元,則 , . 定理2.4.1設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī),且 ,則下列條件彼此等價(jià): (1) 是不可約的. (2) . (3) 是連接的. (4) 不存在真穩(wěn)定子集. 定理2.4.2 設(shè)是幺式有限群自動(dòng)機(jī),且 ,則是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)都是不可約的. 定理2.4.3 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), ,則是不可分的充分必要條件為是弱連通的. 定

5、理2.4.4 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī),且 ,則可以分解為一些不可分的有限群自動(dòng)機(jī)的并. 定理2.4.5 設(shè)是幺式有限群自動(dòng)機(jī),則下列條件彼此等價(jià): (1) 是連通的. (2) 是連接的. (3) 是弱連通的. 第三章是關(guān)聯(lián)環(huán)和群的單位元在有限群自動(dòng)機(jī)研究中的應(yīng)用. 主要結(jié)果： 定理3.2.1 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), 是的單位元,則的充分必要條件為 . 定理3.2.2 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), 是的

6、單位元,則的充分必要條件為使得 ,且 . 定理3.2.3 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), 是的單位元,若 ,則定理3.2.4設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), 是的單位元,若則存在使得 . 定理3.2.5設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), 是單位元群,若 ,則或或 ,其中 . 定理3.2.6 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), , 是的單位元,若 ,則 , . 定理3.2.7 設(shè)是有限群自動(dòng)機(jī), ,若 ,則或或或或或 ,其中 ,且互不相同. 定理3.2.8