博解一類(lèi)矩陣最佳逼近問(wèn)題的理論和算法.pdf

1、線性矩陣方程的求解問(wèn)題及相應(yīng)的最小二乘問(wèn)題是近年來(lái)數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域中研究和討論的重要課題之一，它在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，系統(tǒng)識(shí)別，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，自動(dòng)控制理論，振動(dòng)理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．矩陣最佳逼近問(wèn)題來(lái)源于試驗(yàn)設(shè)計(jì)和有限元模型修正問(wèn)題等，它是在一類(lèi)特殊矩陣集合中求一個(gè)“距離”給定矩陣X*最接近的矩陣X的問(wèn)題，這里的“距離”由一個(gè)矩陣范數(shù)度量．本篇博士論文系統(tǒng)地研究了一類(lèi)來(lái)源于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正問(wèn)題的矩陣最佳逼近問(wèn)題：
　　 問(wèn)題I給定X*∈R

2、n×m，求X∈S使得‖(X)—X*‖=min/X∈S‖X—X*‖，其中‖·‖為Frobenius范數(shù)，S分別表示矩陣方程AXB=D，AXAT+ByBT=D，AXB+CyD=E和矩陣方程組[ATXA，BTXB]=[C，D]，[AXB，GXH]=[C，D]在一般矩陣集合或?qū)ΨQ矩陣集合上不相容時(shí)的最小二乘解集合．
　　 本文分別利用多種矩陣分解相結(jié)合的直接方法和具有短遞推格式的迭代方法得到了問(wèn)題I的解，其主要研究成果如下：
　　

3、 1．基于有限維內(nèi)積空間的正交投影定理，同時(shí)運(yùn)用矩陣對(duì)的廣義奇異值分解(GSVD)和標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD)，將上述不相容矩陣方程(組)在給定矩陣集合上的最小二乘問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為相容矩陣方程的求解問(wèn)題，并得到了相應(yīng)的最小二乘解的通解表達(dá)式．由該表達(dá)式并結(jié)合Frobenius范數(shù)的正交不變性，成功解決了矩陣整體逼近的關(guān)鍵性困難，得到了問(wèn)題I的解的解析表達(dá)式，進(jìn)而給出了求解問(wèn)題I的數(shù)值算法和數(shù)值例子．
　　 2．通過(guò)構(gòu)造具有短遞推格式

4、的迭代方法，成功地解決了關(guān)于上述不相容矩陣方程(組)的矩陣最佳逼近問(wèn)題．在不考慮舍入誤差的情況下，對(duì)任意的初始矩陣都可以在有限步計(jì)算出它們?cè)诮o定矩陣集合中的一個(gè)最小二乘解，若選取特殊的初始矩陣，則可以得到相應(yīng)的最小范數(shù)最小二乘解．而問(wèn)題I可等價(jià)轉(zhuǎn)化為求一個(gè)新的不相容矩陣方程(組)的最小范數(shù)最小二乘解的問(wèn)題．
　　 3．進(jìn)一步分析了這類(lèi)迭代方法的理論性質(zhì)．通過(guò)構(gòu)造一類(lèi)特殊的矩陣函數(shù)來(lái)刻畫(huà)該迭代方法的極小化性質(zhì)，并證明了由該迭代方法

5、計(jì)算出來(lái)的逼近解，可使得這類(lèi)矩陣函數(shù)在一個(gè)仿射子空間上達(dá)到極小，而且所得到的殘差序列的Frobenius范數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的．類(lèi)似于經(jīng)典的共軛梯度法，利用該迭代方法所具有的極小化性質(zhì)，給出了一個(gè)粗略的誤差估計(jì)．最后通過(guò)數(shù)值例子驗(yàn)證了所得到的理論結(jié)果．
　　 對(duì)于求上述不相容矩陣方程(組)在給定矩陣集合上的最小二乘解，很多文獻(xiàn)中利用傳統(tǒng)的矩陣分解方法得到了其通解表達(dá)式，但是利用該表達(dá)式很難得到問(wèn)題I的解，這是因?yàn)橐话愕姆瞧娈惥仃嚥?/p>