橢圓及其相關的綜合問題-三年高考（2015-2017）數學（文）---精校解析word版

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橢圓及其相關的綜合問題-三年高考（2015-2017）數學（文）---精校解析word版_第1頁

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文檔簡介

1、　　1.【2017浙江，2】橢圓的離心率是　　A．B．C．D．　　【答案】B　　【考點】橢圓的簡單幾何性質　　【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程

2、或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等．　　2.【2017課標1，文12】設A、B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是　　A．B．<

3、;b>　　C．D．　　【答案】A　　【解析】　　試題分析：當，焦點在軸上，要使C上存在點M滿足，則，即，得；當，焦點在軸上，要使C上存在點M滿足，則，即，得，故的取值范圍為，選A．

4、　　【考點】橢圓　　【名師點睛】本題設置的是一道以橢圓的知識為背景的求參數范圍的問題．解答問題的關鍵是利用條件確定的關系，求解時充分借助題設條件轉化為，這是簡化本題求解過程的一個重要措施，同時本題需要對方程中的焦點位置進行逐一討論．　　3.【2017課標3，文11】已知橢圓C：，（a>b&g

5、t;0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（）　　A． B． C．D．　　【答案】A　　【考點】橢圓離心率　　【名師點睛

6、】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.　　4.【2016高考新課標1文數】直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為（）　?。ˋ）（B）

7、（C）（D）　　【答案】B　　【解析】　　試題分析：如圖,由題意得在橢圓中,　　在中,,且,代入解得　　,所以橢圓得離心率得,故選B.</

8、p>　　考點：橢圓的幾何性質　　【名師點睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考?？紗栴},求解此類問題的一般步驟是先列出等式,再轉化為關于a,c的齊次方程,方程兩邊同時除以a的最高次冪,轉化為關于e的方程,解方程求e .　　5.2016高考新課標Ⅲ文數]已知為坐標原點，是橢圓：的左焦點，分別為的左，右頂點.為上一點，且軸.過點的直線與線

9、段交于點，與軸交于點.若直線經過的中點，則的離心率為（）　?。ˋ）（B）（C）（D）　　【答案】A　　考點：橢圓方程與幾何性質．　　【思路點撥】求解橢圓的離心率問題主要有三種方法：（1）直接求得的值，進而求得的

10、值；（2）建立的齊次等式，求得或轉化為關于的等式求解；(3)通過特殊值或特殊位置，求出．　　6.【2015高考新課標1，文5】已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準線與E的兩個交點，則 ( )　?。ˋ）（B）（C）（D）<b&

11、gt;　　【答案】B　　【解析】∵拋物線的焦點為（2,0），準線方程為，∴橢圓E的右焦點為（2,0），　　∴橢圓E的焦點在x軸上，設方程為，c=2，　　∵，∴，∴，∴橢圓E方程為，　　將代入橢圓E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=

12、6，故選B.　　【考點定位】拋物線性質；橢圓標準方程與性質　　【名師點睛】本題是拋物線與橢圓結合的基礎題目，解此類問題的關鍵是要熟悉拋物線的定義、標準方程與性質、橢圓的定義、標準方程與性質，先由已知曲線與待確定曲線的關系結合已知曲線方程求出待確定曲線中的量，寫出待確定曲線的方程或求出其相關性質.　　7.【2015

13、高考福建，文11】已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）　　A． B． C． D．　　【答案】A　　【考點定位】1、橢圓的定義和簡單幾何性質；2、點到直線距離公式．

14、;　　【名師點睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質，將轉化為，進而確定的值，是本題關鍵所在，體現了橢圓的對稱性和橢圓概念的重要性，屬于難題．求離心率取值范圍就是利用代數方法或平面幾何知識尋找橢圓中基本量滿足的不等量關系，以確定的取值范圍．　　8.【2015高考廣東，文8】已知橢圓（）的左焦點為，則（）　　A．

15、 B． C． D． 　　【答案】C　　【考點定位】橢圓的簡單幾何性質．　　【名師點晴】本題主要考查的是橢圓的簡單幾何性質，屬于容易題．解題時要注意橢圓的焦點落在哪個軸上，否則很容易出現錯誤．解本題

16、需要掌握的知識點是橢圓的簡單幾何性質，即橢圓（）的左焦點，右焦點，其中．　　9.【2015高考浙江，文15】橢圓（）的右焦點關于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率是．　　【答案】　　【解析】設關于直線的對稱點為，則有，解得，所以在橢圓上，即有，解得，

17、所以離心率.　　【考點定位】1.點關于直線對稱；2.橢圓的離心率.　　【名師點睛】本題主要考查橢圓的離心率.利用點關于直線對稱的關系，計算得到右焦點的對稱點，通過該點在橢圓上，代入方程，轉化得到關于的方程，由此計算離心率.本題屬于中等題。主要考查學生基本的運算能力.　　10.【2017課標II，文20】設O為坐標

18、原點，動點M在橢圓C 上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足　　(1)求點P的軌跡方程；　　(2)設點在直線上，且.證明過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F. 　　【答案】（1）（2）見解析　　【解析】

19、　　試題解析：（1）設P（x，y），M（）,則N（）， 　　由得 .　　因為M（）在C上，所以 .　　因此點P的軌跡為 .　?。?）由題意知F（-1,0），設Q（-3，t），P（m，n），則

20、;　　，　　.　　由得，又由（1）知，故　　.　　所以，即 .又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的

21、左焦點F　　【考點】求軌跡方程，直線與橢圓位置關系　　【名師點睛】定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統(tǒng)消，定點、定值顯現.</p&

22、gt;　　11.【2017山東，文21】（本小題滿分14分）在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.　　(Ⅰ)求橢圓C的方程；　　(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點,圓N的半徑為|NO|. 設D為AB

23、的中點,DE,DF與圓N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.　　【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的最小值為.　　【解析】　　,確定,,　　所以,由此可得的最小值為的最小值為.<

24、;p>　　試題解析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，　　又當時，，得，　　所以，　　因此橢圓方程為.　?。á颍┰O，&l

25、t;/p>　　聯立方程　　得，　　由得（*）　　且，　　因此，</

26、p>　　所以，　　又，　　所以 　　整理得：，　　因為 </b

27、>　　所以 　　令 　　故 　　所以 .　　令，所以

28、 .　　當時，,　　從而在上單調遞增，　　因此，　　等號當且僅當時成立，此時，

29、;　　所以，　　由（*）得且，　　故，　　設，　　則，

30、;　　所以得最小值為.　　從而的最小值為，此時直線的斜率時.　　綜上所述：當，時，取得最小值為.　　【考點】圓與橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、　　【名師點睛】圓錐曲線中的兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關的一些問

31、題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關的一些問題．常見解法：①幾何法,若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質來解決；②代數法,若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系,則可先建立起目標函數,再求這個函數的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導數法求解．學！#　　12.【2017天津，文20】已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面

32、積為.　?。↖）求橢圓的離心率；　?。↖I）設點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.　?。╥）求直線的斜率；　　（ii）求橢圓的方程.　　【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（?。?（ⅱ）&l

33、t;/p>　　【解析】　　試題解析：（Ⅰ）解：設橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因為，解得.　　所以，橢圓的離心率為.　?。á颍á。┮李}意，設直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.　　由

34、（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯立，可解得，即點Q的坐標為.　　由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.　?。╥i）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.　　由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得點，進而可得，所以.由已知，線段的長即

35、為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.　　因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.　　所以，橢圓的方程為.　　【考點】1.橢圓方程；2.橢圓的幾何性質；3.直線與橢圓的位置關系.　　【名師點睛】本題對考生計算能力要求較

36、高，是一道難題重點考察了計算能力，以及轉化與化歸的能力，解答此類題目，利用的關系，確定橢圓離心率是基礎，通過聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據根與系數的關系解題，但本題需求解交點坐標，再求解過程逐步發(fā)現四邊形的幾何關系，從而求解面積，計算結果，本題計算量比較大。　　13.【2017北京，文19】已知橢圓C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為．

37、　　（Ⅰ）求橢圓C的方程；　　（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．　　【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.　　【解析】</p

38、>　　試題解析：（Ⅰ）設橢圓的方程為.　　由題意得解得.　　所以.　　所以橢圓的方程為.　?。á颍┰O，則.<

39、;/b>　　由題設知，且.　　直線的斜率，故直線的斜率.　　所以直線的方程為.　　直線的方程為.　　聯立解得點

40、的縱坐標.　　由點在橢圓上，得.　　所以.　　又，　　，　　所以與的面積之比為

41、.　　【考點】1.橢圓方程；2.直線與橢圓的位置關系.　　【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，重點考察了計算能力，以及轉化與化歸的能力，解答此類題目，利用的關系，確定橢圓方程是基礎，通過聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據根與系數的關系解題，但本題需求解交點坐標，再根據面積的幾何關系，從而求解面積比值，計算結果，本題易錯點是復雜式

42、子的變形能力不足，導致錯漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.　　14.【2017江蘇，17】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為, ,離心率為,兩準線之間的距離為8.點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線,過點作直線的垂線.　　（1）求橢圓的標準方程；<

43、p>　?。?）若直線的交點在橢圓上,求點的坐標.　　【答案】（1）（2）　　因此橢圓E的標準方程是.　?。?）由（1）知，，.　　設，因為點為第一象限的點，故.　　當時，與相交于，與題設不符.<

44、p>　　當時，直線的斜率為，直線的斜率為.　　因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，　　從而直線的方程：， ①　　直線的方程：. ②　　由①②，解得，所以.　　因為點在橢圓上，由對稱性

45、，得，即或.　　又在橢圓E上，故.　　由，解得；，無解.　　因此點P的坐標為.　　【考點】橢圓方程，直線與橢圓位置關系

46、;　　【名師點睛】直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達定理或求根公式進行轉化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點在曲線上則點的坐標滿足曲線方程.　　15.【2015高考北京，文20】（本小題滿分14分）已知橢圓，過點且不過點的直線與橢圓交于，　　兩點，直線與直線交于點．

47、;　　（I）求橢圓的離心率；　?。↖I）若垂直于軸，求直線的斜率；　?。↖II）試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．　　【答案】（I）；（II）1；（III）直線與直線平行.　　程，由于直線與相交于點，所以得到點坐標，利用點、點的坐標，求直線的斜率；（III）分直線的

48、斜率存在和不存在兩種情況進行討論，第一種情況，直接分析即可得出結論，第二種情況，先設出直線和直線的方程，將橢圓方程與直線的方程聯立，消參，得到和，代入到中，只需計算出等于即可證明，即兩直線平行.　　試題解析：（Ⅰ）橢圓的標準方程為.　　所以，，.　　所以橢圓

49、的離心率.　?。á颍┮驗檫^點且垂直于軸，所以可設，.　　直線的方程為.　　令，得.　　所以直線的斜率.<p&

50、gt;　?。á螅┲本€與直線平行.證明如下：　　當直線的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知.　　又因為直線的斜率，所以.　　當直線的斜率存在時，設其方程為.　　設，，則直線的方程為.　　令，得點.<

51、;/p>　　由，得.　　所以，.　　直線的斜率.　　因為　　，</b

52、>　　所以.　　所以.　　綜上可知，直線與直線平行.　　考點：橢圓的標準方程及其幾何性質、直線的斜率、兩直線的位置關系.　　【名師點晴】本題主要考查

53、的是橢圓的標準方程、橢圓的簡單幾何性質、直線的斜率和兩條直線的位置關系，屬于中檔題．解題時一定要注意直線的斜率是否存在，否則很容易出現錯誤．解本題需要掌握的知識點是橢圓的離心率，直線的兩點斜率公式和兩條直線的位置關系，即橢圓（）的離心率，過，的直線斜率（），若兩條直線，斜率都存在，則且.　　16.【2016高考新課標2文數】已知是橢圓：的左頂點，斜率為的直線交與，兩點，點在上，

54、;　　.　?。á瘢┊敃r，求的面積；　　（Ⅱ）當時，證明：.　　【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.　　【解析】　　試題解析：（Ⅰ）設，則由題意知

55、.　　由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為，　　又，因此直線的方程為.　　將代入得，　　解得或，所以.　　因此的面積.</b&g

56、t;　　將直線的方程代入得　　.　　由得，故.　　由題設，直線的方程為，故同理可得.　　由得，即.

57、　　設，則是的零點，，　　所以在單調遞增，又，　　因此在有唯一的零點，且零點在內，所以.　　考點：橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系. 　　【名師點睛】本題中，分離變量，得

58、，解不等式，即求得實數的取值范圍.　　17.【2016高考北京文數】（本小題14分）　　已知橢圓C：過點A（2,0），B（0,1）兩點.　?。↖）求橢圓C的方程及離心率；　　（Ⅱ）設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊

59、形ABNM的面積為定值.　　【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.　　所以橢圓的方程為．　　又，　　所以離心率．　?。↖I）

60、設（，），則．　　又，，所以，　　直線的方程為．　　令，得，從而．　　直線的方程為．<p&

61、gt;　　令，得，從而．　　所以四邊形的面積　?。?lt;/b>　　從而四邊形的面積為定值．　　考點：橢圓方程，直線和橢圓的關系，運算求解能力.&l

62、t;p>　　【名師點睛】解決定值定點方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.　　18. 【2015高考山東，文21】平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，且點（，

63、）在橢圓上.　?。á瘢┣髾E圓的方程；　?。á颍┰O橢圓：，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點.　　（i）求的值；　　(ii)求面積的最大值.　　【答案】（I）；（II）（i

64、）；（ii）　?。↖I）由（I）知橢圓的方程為.　　（i）設由題意知.　　因為又，即　　所以，即　?。╥i）設將代入

65、橢圓的方程，可得，由可得……………………①　　則有所以因為直線與軸交點的坐標為，所以的面積　　設將直線代入橢圓的方程，可得，由可得……………………②　　由①②可知故.　　當且僅當，即時取得最大值

66、;　　由（i）知，的面積為，所以面積的最大值為　　【考點定位】1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.直線與橢圓的位置關系；3.距離與三角形面積；4.轉化與化歸思想.　　【名師點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系、距離與三角形面積、二次函數的性質等，解答本題的主要困難是（II）中兩小題，首先是通過研究的坐標關系，使（i）得解，同時

67、為解答（ii）提供簡化基礎，即認識到與的面積關系，從而將問題轉化成研究面積的最大值.通過聯立直線方程、橢圓方程，并應用韋達定理確定“弦長”，進一步確定三角形面積表達式，對考生復雜式子的變形能力及邏輯思維能力要求較高.　　本題是一道能力題，屬于難題.在考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系、距離與三角形面積、二次函數的性質等基礎知識的同時，考查考生的計算能力及轉化與化歸思想.本題梯度

68、設計較好，層層把關，有較強的區(qū)分度，有利于優(yōu)生的選拔.　　19. 【2016高考山東文數】(本小題滿分14分)　　已知橢圓C: （a>b>0）的長軸長為4，焦距為2 .　?。↖）求橢圓C的方程；　　(Ⅱ)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交

69、C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B.　　(i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值.　　(ii)求直線AB的斜率的最小值.　　【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為 .

70、;　　(ii)設，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程　　聯立，　　應用一元二次方程根與系數的關系得到、及用表示的式子，進一步應用基本不等式即得.　　試題解析：(Ⅰ)設橢圓的半焦距為c，

71、;　　由題意知，　　所以，　　所以橢圓C的方程為.　　(Ⅱ)(i)設，　　由，可得 　　所以直

72、線PM的斜率，　　直線QM的斜率.　　此時，所以為定值.　　(ii)設，　　直線PA的方程為，

73、　　直線QB的方程為.　　聯立，　　整理得.　　由可得，　　所以，</b

74、>　　同理.　　所以，　　，　　所以 　　由，可知，&

75、lt;/b>　　所以，等號當且僅當時取得.　　此時，即，符號題意.　　所以直線AB 的斜率的最小值為 .　　考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.直線與橢圓的位置關系；3.基本不等式.　　【名師點睛】本題對考生計算能力

76、要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎，通過聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系，得到參數的解析式或方程是關鍵，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分析問題解決問題的能力等.　　20.【2015高考陜西，文20】如圖，橢圓經過點，且離心率為.</p&g

77、t;　　(I)求橢圓的方程；　　(II)經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為2.　　【答案】(I) ； (II)證明略，詳見解析.　　入，化簡得，則，，由已知，從而直線與的斜率之和　　化簡得，把式代入方程得

78、.　　試題解析：(I)由題意知，綜合，解得，所以，橢圓的方程為.　　(II)由題設知，直線的方程為，代入，得　　，　　由已知，設，　　則

79、，　　從而直線與的斜率之和　　.　　【考點定位】1.橢圓的標準方程；2.圓錐曲線的定值問題.　　【名師點睛】定值問題的處理常見的方法：（1）通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進行一般性的證明或計算，即將

80、該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角形形式，證明該式是恒定的，如果以客觀題形式出現，特殊方法往往比較快速奏效；（2）進行一般計算推理求出其結果.　　21.【2016高考天津文數】（設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率.　?。á瘢┣髾E圓的方程；　?。á颍┰O過點的直線與橢圓交于點（不在軸

81、上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率.　　【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）　　【解析】　　試題解析：（1）解：設，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.　?。?）設直線的斜率為，則直線的方程為，

82、;　　設，由方程組消去，　　整理得，解得或，　　由題意得，從而，　　由（1）知，設，有，，　　由，得，所以，&

83、lt;p>　　解得，因此直線的方程為，　　設，由方程組消去，得，　　在中，，　　即，化簡得，即，　　解得或，

84、　　所以直線的斜率為或.　　考點：橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程　　【名師點睛】解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．直線與圓錐曲線位置關系的判斷、有關圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數方程思想和數形結合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中

85、點弦等問題，涉及中點公式、根與系數的關系以及設而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數學思想方法的熱點題型．學…￥　　22.【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且＝－1　　(Ⅰ)求橢圓E的方程；　　(Ⅱ)設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交

86、于A、B兩點.是否存在常數λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.　　所以橢圓E方程為.　　(Ⅱ)當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋1　　A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)　　聯立，得(2

87、k2＋1)x2＋4kx－2＝0　　其判別式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0　　所以　　從而＝x1x2＋y1y2＋λx1x2＋(y1－1)(y2－1)]　?。?1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

88、　　＝　?。剑?lt;/b>　　所以，當λ＝1時，－＝－3　　此時，＝－3為定值　　當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD

89、　　此時＝－2－1＝－3　　故存在常數λ＝－1，使得為定值－3.　　【考點定位】本題主要考查橢圓的標準方程、直線方程、平面向量等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合、化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合等數學思想.　　【名師點睛】本題屬于解析幾何的基本題型，第(Ⅰ)問根據“離心率

90、是，且＝－1”建立方程組可以求出橢圓方程；第(Ⅱ)問設出直線方程后，代入橢圓方程，利用目標方程法，結合韋達定理，得到兩交點橫坐標的和與積，再代入中化簡整理.要得到定值，只需判斷有無合適的λ，使得結論與k無關即可，對考生代數式恒等變形能力要求較高.屬于較難題.@　　23.【2015高考重慶，文21】如題（21）圖，橢圓（>>0）的左右焦點分別為,,且過的直線交橢圓于P,Q兩點，且PQ.

91、　　(Ⅰ)若||=2+，||=2-，求橢圓的標準方程.　　(Ⅱ)若|PQ|=||，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.　　【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.　?。á颍┯?得　　由橢圓的定義，,進而</

92、p>　　于是.解得，故．　　再注意到從而,　　兩邊除以，得,若記，則上式變成.再由，并注意函數的單調性，即可求得離心率的取值范圍。　　試題解析：(1)由橢圓的定義，

93、設橢圓的半焦距為，由已知，因此　　即　　從而　　故所求橢圓的標準方程為.　　(2)如題(21)圖，由,得　　由橢圓的定義，,進而&

94、lt;p>　　于是.　　解得，故.　　由勾股定理得,　　從而,　　兩邊除以，得,</b&g

95、t;　　若記，則上式變成.　　由，并注意到關于的單調性，得，即，　　進而，即.　　【考點定位】1. 橢圓的標準方程，2. 橢圓的定義，3.函數與方程思想.

96、　　【名師點睛】本題橢圓的定義、標準方程、簡單幾何性質的應用，第一問題應用橢圓的定義及基本量間的關第易于求解，第二問應用條件、橢圓的定義及勾股定理建軍立離心率與的關系式，從而將離心率表示成為的函數，然后得用函數相關知識，求其值域，即是所求的范圍.本題屬于較難題，注意運算的準確性及函數思想方法的應用.　　24.【2016高考四川文科】（本小題滿分13分）

97、　已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.　　(Ⅰ)求橢圓E的方程；　　(Ⅱ)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．　　【答案】（1）；（2）證明詳見解析.<

98、;b>　　【解析】　　試題解析：（I）由已知，a=2b.　　又橢圓過點，故，解得.　　所以橢圓E的方程是.　?。↖I）設直線l的方程為，，　　由方程組得，①<

99、;/p>　　方程①的判別式為，由，即，解得.　　由①得.　　所以M點坐標為，直線OM方程為，　　由方程組得.　　所以.</p

100、>　　又　　.　　所以.　　考點：橢圓的標準方程及其幾何性質.　　【名師點睛】本題考查橢圓的標準方程及其幾何性質，考查學生的分析問

101、題解決問題的能力和數形結合的思想.在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點問題時，一般都設交點坐標為，同時把直線方程與橢圓方程聯立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設而不求”法．可減少計算量，簡化解題過程．　　25.【2015高考安徽，文20】設橢圓E的方程為點O為坐標原點，點A的坐標為,點B的坐標為（0，b）,點M在線段AB上，滿足直線OM的斜率為.</p

102、>　?。á瘢┣驟的離心率e;　?。á颍┰O點C的坐標為（0，-b）,N為線段AC的中點，證明：MNAB.　　【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.　　【解析】　?。á瘢┙猓河深}設條件知，點，又從而.</p&g

103、t;　　進而，故.　?。á颍┳C：由是的中點知，點的坐標為，可得.　　又，從而有　　由（Ⅰ）得計算結果可知所以，故.　　【考點定位】本題主要考查橢圓的離心率，直線與橢圓的位置關

104、系等基礎知識.　　【名師點睛】本題主要將橢圓的性質與求橢圓的離心率相結合，同時考查了中點坐標公式，以及解析幾何中直線與直線垂直的常用方法，本題考查了考生的基本運算能力和綜合分析能力.　　26.【2015高考天津，文19】（本小題滿分14分）已知橢圓的上頂點為B,左焦點為,離心率為, 　?。↖）求直線BF的斜率;

105、　?。↖I）設直線BF與橢圓交于點P（P異于點B）,過點B且垂直于BP的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與y軸交于點M,.　?。╥）求的值;　?。╥i）若,求橢圓的方程.　　【答案】（I）2;（II）（i） ;（ii）<

106、/p>　　得=,由此求出c=1,故橢圓方程為　　試題解析:（I）設 ,由已知及可得 ,又因為 , ,故直線BF的斜率 .　?。↖I）設點 ,（i）由（I）可得橢圓方程為直線BF的方程為 ,兩方程聯立消去y得解得 .因為,所以直線BQ方程為 ,與橢圓方程聯立消去y得 ,解得 .又因為 ,及得 &

107、lt;p>　?。╥i）由（i）得,所以,即 ,又因為,所以=.　　又因為, 所以,因此所以橢圓方程為 　　【考點定位】本題主要考查直線與橢圓等基礎知識.考查運算求解能力及用方程思想和化歸思想解決問題的能力.　　【名師點睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關系,直線與圓錐曲線的位置關系是一個很

108、寬泛的考試內容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數取值范圍等幾部分組成,其中考查較多的圓錐曲線是橢圓,解決這類問題要重視方程思想、函數思想及化歸思想的應用.　　27.【2015新課標2文20】（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為,點在C上.　?。↖）求C的方程；

109、（II）直線l不經過原點O,且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB中點為M,證明：直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.　　【答案】（I）（II）見試題解析　　試題解析：　　解：（I）由題意有解得,所以橢圓C的方程為.

110、　?。↖I）設直線,,把代入得　　故于是直線OM的斜率即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.　　【考點定位】本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計算能力、邏輯推理能力.　　【名師點睛】本題第一問求橢圓方程的關鍵是列出關于的兩個方程,通過解方程組求出,解決此類問題要重視方程思想的應用；第二問是證明問題

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