畢業(yè)論文---數學在經濟方面的應用舉例

1、<p>　　數學在經濟方面的一些應用</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　在經濟迅猛發(fā)展的今天，數學在經濟上的應用越來越重要，數學越來越被人們關注并加以應用，并產生了事半功倍的效果.不敢預測也不可能斷言，在未來的經濟學理論研究中數學會占據統(tǒng)治地位，但是數學越來越滲透到經濟學研究中并且發(fā)揮著越來越重要的作用已成為事實.而且還應當說

2、，經濟學不僅應用了數學，而且還會不斷地應用著數學中最新的成果.因為數學家也在致力于解決能夠描述復雜現象的數學.經濟學家與數學家的合作，將會推動經濟學與數學的共同發(fā)展.</p><p>　　本文通過大量資料，采用研究總結與案例結合的方法，闡述了數學在經濟方面的應用的應用歷程以及數學在經濟方面的重要應用與出現的問題；探討了微分、積分、導數等方面在經濟中的應用，并論證了數學在經濟方面作用，得出了未來數學將在經濟領域起到

3、的作用會越來越大.</p><p>　　關鍵詞：微分；積分；導數；經濟</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　引 言1</b></p><p>　　第一章 數學在經濟學中的應用歷程及作用2</p><p>　　1.1數學在經濟學中的應

4、用歷程2</p><p>　　1.2數學在經濟方面重要的作用3</p><p>　　1.2.1早期數學在經濟方面的重要作用3</p><p>　　1.2.2 近代數學在經濟方面重要的應用4</p><p>　　1.3經濟數學化下的走向6</p><p>　　第二章 數學在經濟方面的一些應用8</p&g

5、t;<p>　　2.1 導數在經濟中的應用8</p><p>　　2.1.1 導數的概念8</p><p>　　2.1.2導數在經濟方面的應用8</p><p>　　2.2 微分在經濟方面的一些應用10</p><p>　　2.2.1微分的概念10</p><p>　　2.2.2 微分在經濟方面

6、的一些應用10</p><p>　　2.3積分在經濟方面的應用11</p><p>　　2.3.1積分的概念11</p><p>　　2.3.2積分在數學方面的應用12</p><p>　　2.4多元函數的應用20</p><p>　　2.4.1多元函數的定義20</p><p>　

7、　2.4.2多元函數的實際應用21</p><p><b>　　結 論27</b></p><p><b>　　參考文獻28</b></p><p><b>　　謝 辭29</b></p><p><b>　　引 言</b></p>

8、;<p>　　隨著社會的發(fā)展，數學與經濟學相互促進共同發(fā)展已被越來越多的人認識和接受.在現代信息社會，數學與經濟的結合日益密切，數學對經濟研究的發(fā)展、深化無論在過去、現在還是將來都起到不可忽視的作用，濫用數學和盲目摒棄都不是可取之路，必須科學地、高水平地將數學應用于經濟學中，才能促進經濟學的長遠發(fā)展.無數經濟問題需要數學來解決，包括經濟預測管理、決策優(yōu)化、資源開發(fā)與環(huán)境保護、信息處理和質量控制、設計與制造和大型工程.在解決

9、這些問題中，高等數學中的導數、微分、積分等數學知識起了重要作用.同時應用經濟的發(fā)展又不斷向數學提出新的挑戰(zhàn).不敢預測也不可能斷言，在未來的經濟學理論研究中數學會占據統(tǒng)治地位，但是數學越來越滲透到經濟學研究中并且發(fā)揮著越來越重要的作用已成為事實.而且還應當說，經濟學不僅應用了數學，而且還會不斷地應用著數學中最新的成果.因為數學家也在致力于解決能夠描述復雜現象的數學.經濟學家與數學家的合作，將會推動經濟學與數學的共同發(fā)展.我們數學人應努力投

10、入到數學經濟的研究中，為國家經濟做貢獻.</p><p>　　第一章 數學在經濟學中的應用歷程及作用</p><p>　　1.1數學在經濟學中的應用歷程</p><p>　　最早應用數學方法解決經濟問題的，有資料證明可追溯到十七世紀后期，當時英國最著名的古典經濟學創(chuàng)始人威廉·配第(見圖一，William.Petty， 1623－1687年)在《政治算術》中

11、提到“通過引入算術、量化等手段對經濟結構和政治事件進行分析，進而得出英國有可能成為世界貿易霸主”的結論，這是經濟學家首次在在經濟中應用數學方法.</p><p><b>　　圖1.1威廉·配第</b></p><p>　　之后，數學在經濟學中的應用呈快速發(fā)展的趨勢，尤其是在近代以來，從近年來諾貝爾經濟學獎的獲得者中可以看出這一結論.在獲得諾貝爾經濟學獎中的經

12、濟學家中，他們的論著中絕大多數都用到了數學工具，而一些獲獎者他們本身就是出色的數學家，其它的也大多有著深厚的數學功底.</p><p>　　從威廉·配第第一次將數學方法應用到經濟學中開始至今，數學在經濟學中的應用范圍不斷擴大，越來越觸及更高層次的經濟領域，從而促進經濟的發(fā)展.這與人類認識這個世界，改造這個世界的進程是一致的.</p><p>　　十七世紀末到十九世紀初，經濟研究中

13、引入了數學，經濟學者開始一點一點嘗試與數學結合，實現經濟研究方法上的進一步發(fā)展.這一期間的應用一般以初級數學為主，經濟學家開始用初等函數構建最普通、最基礎的模型視圖來解決、發(fā)現經濟問題.此外，他們還通過曲線運動，表格，等式等形式來表達當時的經濟變量.那時比較典型的代表人物是弗朗斯瓦·魁奈(Francois Quesnay1694—1774 ），李嘉圖（David Ricardo1772—1823）和亞當·斯密（Ada

14、m Smith，1723～1790年）.他們通過自己的努力開創(chuàng)了將數學應用到經濟學中的先河，這段時間被認為是數學在經濟學中應用的萌芽時期.</p><p><b>　　圖1.2 李嘉圖</b></p><p>　　十九世紀二十年代到四十年代是數學在經濟學中應用的形成時期.在這一階段，經濟學中開始廣泛地應用高等數學，線性代數、概率論、微積分等.經濟學通過數學解決了一些實

15、際問題的同時，開拓了新的研究領域，為一些新的研究方法的誕生奠定了基礎.</p><p>　　二十世紀四十年代開始至今是數學在經濟學中應用的廣泛發(fā)展時期.各領域的數學思想應用到經濟研究中，產生了大量新的研究理論，出現了巨量的成果，也因此衍生出其他很多學派.研究的問題從最初簡單變?yōu)閺碗s，復雜貼近于現實.邊際分析，回歸分析，博弈論分析，均衡分析、經濟增長模型等都廣泛地被作為解釋、研究經濟問題的數學工具.</p&g

16、t;<p>　　1.2數學在經濟方面重要的作用</p><p>　　1.2.1早期數學在經濟方面的重要作用</p><p>　　數學被譽為科學的皇冠，對人類改善世界，發(fā)明創(chuàng)造，自然科學的發(fā)展都做出了重大貢獻，同樣，數學在經濟學研究中也起了非常重要的作用.從某種意義上來說，是數學加快了經濟學的發(fā)展，無論是從古典經濟相信古典經濟學的轉變，還是從“邊際革命”到凱恩斯主義的轉變，都與

17、數學的應用有重要的關系.早期數學在經濟學中的作用有著以下幾點：</p><p>　　1. 作為論證經濟學理論的重要工具.一個經濟理論的產生，通常提出后</p><p>　　還要不斷地通過論證才能證明其價值性.數學有很強的邏輯性和推理性，用數學可以對經濟學理論進行推導，如果在數學上通不過，肯定其中存在一定的問題，就需要再重新思考理論.這時可以通過數學文字來進行論證，需要大量的篇幅，但仍然沒有

18、較強的說服力，如果借助數學方法，經過數學論證的理論，就更容易被接受.如凱恩斯（John Maynard Keynes1883－1946）的《就業(yè)、利息、貨幣通論》經過凱恩斯學派的發(fā)展成為IS-LM模型，間或了其中的推論過程，讓結果更加直接、明顯.用數學方法雖然不是萬能的，但它可以至少保證經濟理論在邏輯上不出現錯誤，有助于正確理論的產生.</p><p>　　2．作為簡單明了的表達工具.數學最直觀的特點就是簡明扼要

19、.如果用文字的表達方式，由于不同的學者所使用的語言，翻譯時存在的障礙，表達上存在的歧義，理解上的偏差等等都致使對研究成果造成誤解，曾經就有一些學者因為表達方式不當使得他們的研究成果發(fā)表很長一段時間后都得不到其他人的認可.而使用數學語言，可以簡單明了的表達所要的思想.如宏觀經濟學上的國民收入可以簡明的列為Y=C+I+G+(X-M),這樣就可以用一個等式表明影響它的各個變量，繼而研究各個變量的變化對總體的影響，通過這樣的方法，可以簡化研究時

20、一些不必要的程序.</p><p>　　3. 提供量化的工具.傳統(tǒng)的經濟研究，通過用思辨式的議論方法得出結論，這樣定性的分析只能提供大概、總括的估計，其中存在著眾多的不確定性，不利于讓人信服，不利于政策的實施執(zhí)行，不利于具體問題的解決.二通過量化這樣的思路，可以將那些看似雜亂無章的資料整理加工起來，綜合考察經濟活動中的各個變量，進而研究經濟現象，探索經濟活動中存在的規(guī)律.例如在微觀經濟學中的邊際、均衡等問題中，通

21、過衡量就可以得出具體的數據，對時間有很大的指導意義.另外還可以看到數學在金融產品，衍生工具定價的問題中所起的重大作用，就是量化所提供的強大功能.</p><p>　　1.2.2 近代數學在經濟方面重要的應用 </p><p>　　在現代信息社會，數學與經濟的結合日益密切，無數經濟問題需要數學來解決，經濟的發(fā)展又不斷向數學提出新的挑戰(zhàn).博弈論大師、著名數學教授約翰·納什提出的“納什

22、均衡”及其后續(xù)理論不僅影響了數學界，而且改變著整個經濟學乃至整個社會科學的面貌.1994年，約翰·納什（JohnF Nash 1928—）教授因為對“非合作博弈均衡分析以及對博弈論的貢獻，榮獲諾貝爾經濟學獎.世界經濟體制在信息社會中正處于深刻的變革時期，數學已經迎來了無限光明的前途.近代數學在經濟學中的作用有著以下幾點：　　1．應用于經濟預測管理與決策優(yōu)化 　　在經濟和管理中，預測非常重要.是管理資金投放、商品產銷、人員組

23、織等方面的決策依據.經濟的發(fā)展需要各種資源的優(yōu)化組合，需要抉擇目標和抉擇經營管理方式，在多種策略中選取其一以獲得最大利益.這要求數學的目標函數達到極大，目標函數也可代表損失，于是要求它達到極小.這類問題往往化為求目標函數的條件極值或者化為變分問題.優(yōu)選法、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最優(yōu)控制等都致力于發(fā)展優(yōu)化問題. 　　2．應用于資源開發(fā)與環(huán)境保護 　　通過數學理論和萬法，可以分析人工地震的數據，以推斷地質的構造，為</p>

24、<p>　　1.3經濟數學化下的走向</p><p>　　數學被廣泛地應用到經濟研究中，使得經濟學的領域不斷擴大.經濟理論更加成熟和豐富，其成果也更具有可操作性和現實性，然而同時我們也須看到它存在的不足和可能導致的不良現象，因此必須加以防范，促進經濟學的發(fā)展.</p><p>　　首先，要辯證地看待數學在經濟學中的作用.既不要迷信它，也不要盲目地加以否定.俗話說：“知其然亦知其

25、所以然”，既要明白它的優(yōu)越性，同時也要看到它的不足，真正地做到取長補短.</p><p>　　其次，要給予經濟思想足夠的重視.經濟思想決定經濟研究大的原則方向，對促進研究的正確持續(xù)順利進行有著重大意義，如果迷失大的原則方向，可能導致研究的最終失敗.</p><p>　　第三，簡單、實用、科學原則.在應用數學的過程中，應該明確它只是一個工具，而該工具的作用就是讓經濟研究變得簡明、清晰、科學.

26、能用簡短文字表達的就使用文字表述清楚，需要借用數學形式的，要用簡單科學的方式表達，而不是為了現實理論的深奧、追趕時髦而被動地應用，那樣會起到畫蛇添足的作用.</p><p>　　第四，要善于學習先進的數學方法，并將其應用到實踐當中.數學作為經濟研究的重要工具，已經產生了巨大的成就，這顯然是極大的生命力，而且也是可行的.所以要認真學習先進的數學方法，利用數學邏輯的嚴密性，數學符號的簡明性，為解決經濟問題，解釋經濟現

27、象做好鋪墊.</p><p>　　第二章 數學在經濟方面的一些應用</p><p>　　2.1 導數在經濟中的應用</p><p>　　2.1.1 導數的概念</p><p>　　在經濟和管理中，預測非常重要.是管理資金投放、商品產銷、人員組織等方面的決策依據.經濟的發(fā)展需要各種資源的優(yōu)化組合，需要抉擇目標和抉擇經營管理方式，在多種策略中選取

28、其一以獲得最大利益.這要求數學的目標函數達到極大，目標函數也可代表損失，于是要求它達到極小.這類問題往往化為求目標函數的條件極值或者化為變分問題.優(yōu)選法、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最優(yōu)控制等都致力于發(fā)展優(yōu)化問題.</p><p>　　定義2.1 設函數 ，在附近有定義，對應于自變量的任一該變量，函數的該變量為 ，如果極限</p><p>　　存在，則此極限值就稱作函數在點的導數（也叫微商）,

29、記為，這時我們就說在點導數存在，或者說在點可導.</p><p>　　函數 在 的導數 就是函數 在 的平均變化率的極限，即函數 在 的變化率， 刻畫了當自變量在 有1個單位的改變時，函數 在 相應地有 個單位的改變.</p><p>　　導數在很多實際中有應用，利用導數與經濟學的聯系，可以解決一些經濟經濟學中的實際問題.</p><p>　　2.1.2導數在經濟方

30、面的應用</p><p>　　如果某公司生產某種商品的總成本函數為 ，其中 為該商品的生產量， 為生產 個單位該商品的總成本，則導數 表示當產量在 有1個單位的改變時，該公司的總成本在 將會有 個單位的改變.</p><p>　　如果某公司生產某種商品的平均成本函數 ，其中 為該商品的生產量， 為生產 個單位該商品的平均成本，則導數 表示當產量在 有1個單位的改變時，該公司的平均成本在 將

31、會有 個單位的改變.</p><p>　　如果某公司銷售某種商品的總收入函數為 ，其中 為該商品的銷售量， 為銷售 個該商品的總收入，則導數 表示當銷售量在 有1個單位的改變時，該公司的總收入在 將會有 個單位的改變.</p><p>　　例1 某公司某產品的日生產能力為500臺，某日產品的總成本C（千元）是日產量x（臺）的函數： .求</p><p>　　當產量為

32、400臺時的總成本；</p><p>　　當產量為400臺時的平均成本；</p><p>　　當產量為400臺時總成本的變化率.</p><p>　　解 （1）當產量為400臺時，總成本為</p><p>　　當產量為400臺時，平均成本為</p><p>　　（3）因為 ，所以當產量為400臺時總成本的變化率為

33、 </p><p>　　上式中， 表示當日產量為400臺時，若再多生產1臺，總成本將增加2.125千元.</p><p>　　例2 設某家具的需求函數為 ，其中 為家具的銷價格，單位為元， 為</p><p>　　該家具的需求量，單位為件.求當銷售量分別為件時總收入的變化率，并解釋所得到的結果. </p><p>　　解 由需求函數

34、，得價格 </p><p><b>　　總收入函數為</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　上述計算表明：當家具的銷售量為450件時，再多銷售1件家具，那么總收入將增加100元；當家具的銷售量為600件時，再多銷售1件家具，那么總收入不會增加；當家具的銷售量為750件時，再多銷售1件家具，

35、總收入反而減少100元.</p><p>　　2.2 微分在經濟方面的一些應用</p><p>　　2.2.1微分的概念</p><p>　　微分是數學專業(yè)一門重要的分支，其解法和理論已經很完善，可以為分析和求得方程的解（或數值解）提供足夠的方法，使得微分具有極大地普遍性、有效性和非常豐富的數學內涵.</p><p>　　定義2.2設函數在的

36、鄰域內有定義，及在此區(qū)間內.如果函數的增量可表示為（其中A是不依賴于的常數），而是比高階的無窮小，那么稱函數在點是可微的，且稱作幻術在點相應于自變量增量的微分，記作，即</p><p>　　當充分小時，.利用此關系可以簡化運算，這是微分的近似計算.</p><p>　　2.2.2 微分在經濟方面的一些應用</p><p>　　例1 某種載重卡車行駛500mile路程

37、的總成本（美元）是其平均速率的函數</p><p>　　試求當平均速率由55 mile/h增加到58 mile/h 時, 其總成本改變量的近似值.</p><p>　　解 </p><p>　　所以 </p><p>　　計算結果表明：當平均速率由55 mile/h增加到58 mile/h 時, 其總成本

38、將減少1.46美元.這可以部分解釋許多獨立行使的載重卡車的平均速率會超過55 mile/h（最高限速）的原因.</p><p>　　例2.某公司的廣告的支出（千元）與總銷售額（千元）之間的函數關系為如果該公司的廣告支出從100000元（）增加到105000元（），試估計該公司銷售額的改變量.</p><p>　　解 即求銷售額的改變量的近似值，</p><p>　

39、　所以 </p><p>　　銷售額大約增加305000元.</p><p>　　2.3積分在經濟方面的應用</p><p>　　2.3.1積分的概念</p><p>　　定義2.3 若在某一區(qū)間上，，則在這個區(qū)間上，函數叫做函數的原函數.</p><p>　　我們把函數的原函數的一般表達式稱為該函數

40、的不定積分.</p><p>　　定義2.4 設是定義在上的有界函數，在中任意插入若干個分點</p><p>　　來劃分區(qū)間，并在每一個部分區(qū)間中任取一點，作和式個區(qū)間，</p><p>　　其中，設為中的最大數，即</p><p>　　當時，如果和式的極限存在，且此極限值不依賴于的選擇，也不依賴與對區(qū)間的分法，就稱此極限值為在上的定積分，

41、記作</p><p>　　即 </p><p>　　2.3.2積分在數學方面的應用</p><p>　　隨著市場經濟的不斷發(fā)展，利用數學知識解決經濟類問題顯得越來越重要.在經濟分析中，我們常用積分來求某經濟總量及變動值，并通過對經濟總量變動值的綜合分析對比，對企業(yè)的經營決策及時做出正確的調整.本文結合幾個經濟分

42、析中的實際問題，談談定積分在廣告策略，消費者剩余和生產者剩余，國民收入分配及無窮積分在倉庫供應的訂貨分析中的應用.</p><p><b>　　需求函數和供給函數</b></p><p>　　（1）設需求函數，其中是需求量，是價格，當時，需求量最大.設最大需求量為，即.</p><p>　　若已知邊際需求函數為，則總需求函數為</p>

43、;<p><b>　　，</b></p><p>　　其中，積分常數可由條件確定.</p><p>　　也可由定積分求得需求函數</p><p><b>　　.</b></p><p>　　（2）設供給函數，其中是供給量，是價格當時，供給量為0.</p><p>

44、;　　若已知邊際供給函數為，則供給函數為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，積分常數可由條件確定.</p><p>　　也可由定積分直接求出供給函數</p><p>　　例1某企業(yè)每月銷售額是10000元，平均利潤是銷售額的10%.根據企業(yè)以往經驗，廣告宣傳期間月銷售額的變化率近似地服從增

45、長曲線（t以月為單位），企業(yè)現需決定是否舉行一次類似的總成本為1300元的廣告活動.按慣例，對超過1000元的廣告活動，若新增銷售額產生的利潤超過廣告投資的10%,則決定做廣告.試問該企業(yè)按慣例是否應該做此廣告？ </p><p>　　解 12個月后總銷售額是當t=12時的定積分，即總銷售額為</p><p><b>　　（元）</b></p

46、><p>　　公司的利潤是銷售額的10%，故新增銷售產生的利</p><p><b>　?。ㄔ?lt;/b></p><p>　　由于1560元是花費了1300元的廣告費而得到的，因此，廣告所產生的實際利潤是 1560-1300=260（元），這表明盈利大于廣告成本的10%，故企業(yè)應該做此廣告.</p><p>　　例

47、2已知某產品總成本關于產量的變化率為， ，求：</p><p><b>　　總成本函數；</b></p><p>　　當產量從2百臺增加到4百臺時，成本增加了多少？</p><p><b>　　解 （1）</b></p><p><b>　　由即代入上式得到，</b></

48、p><p>　　所以成本函數 </p><p>　　當產量從2百臺增加到4百臺時，成本增加量為</p><p>　　故成本函數為，當產量從2百臺增加到4百臺，成本增加了14萬元.</p><p>　　例3 某雜志目前的發(fā)行量為每周3000本，總編輯計劃從現在開始，雜志周發(fā)行量的增長率為（單位：本/周），求從現在起75周該雜志的發(fā)

49、行量將是多少？</p><p>　　解 設從現在起周該雜志的發(fā)行量為，由已知可得周發(fā)行量的增長率為</p><p>　　所以 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　將，代入上式得到 </p><p>　　故從現在起周的發(fā)行量為 <

50、;/p><p>　　因此 </p><p>　　所以，從現在起75周的發(fā)行量為8925本.</p><p>　　例4 某商品需求量是價格的函數，最大需求量為100，已知邊際需求為，求需求量與價格的函數關系.</p><p>　　解 由求需求函數的不定積分公式可求得</p><p&g

51、t;　　再由，代入上式，求得，所以需求量與價格的函數關系是</p><p>　　或者 由求需求函數的定積分公式可直接求得</p><p>　　例5某種名牌女士鞋價格（元）關于需求量（百雙）的變化率為，如果銷售量（百雙）時，每雙售價為500元，求這種名牌女士鞋的需求函數.</p><p>　　解 由已知可求出價格和需求量的函數關系</p><p&

52、gt;<b>　　由已知時，代入上式</b></p><p><b>　　，求得，</b></p><p>　　得到需求函數為 </p><p>　　顯然，價格越低，需求量越大，這與我們日常生活想吻合的.</p><p>　　例6若上例中女士鞋單價（元）關于日供給量（百雙）的變化率為：，

53、如果每雙的售價為50元時，供給量為200雙/天（），求這種名牌女士鞋的日供給函數.</p><p>　　解 由已知可求出價格和供給量的函數關系</p><p><b>　　當時，代入上式得</b></p><p><b>　　，求得</b></p><p>　　所以 </p

54、><p>　　整理得 </p><p><b>　　總成本函數</b></p><p>　　設產量為時的邊際成本為，固定成本為，則產量為時的總成本函數由前面的邊際分析可得到</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，積分常數可由條件確定.&l

55、t;/p><p>　　也可由定積分求出總成本函數</p><p>　　其中，是固定成本，為可變成本.</p><p>　　例7 如果某企業(yè)生產一種產品的邊際成本為，固定成本，求總成本函數.</p><p>　　解 由定積分求總成本的公式可得</p><p>　　例8某跨國公司制造一種便捷式烤爐，生產這種烤爐的日邊際成本

56、為，表示這種產品每天的生產量，生產這種產品的固定成本為800美元/天.</p><p><b>　?。?）求總成本函數</b></p><p>　　（2）該公司生產該產品為300臺/天時，總成本是多少？</p><p>　?。?）日產量由200臺變化到300臺時，公司的生產成本是多少？</p><p>　　解1 （1）

57、由不定積分有</p><p>　　由已知有固定成本為，代入上式，得到，</p><p><b>　　得總成本函數為</b></p><p>　　（2）由（1）求出的成本函數得到</p><p>　?。?）日產量從200臺變到300臺時，生產成本為</p><p>　　解 2 （1）利用定積分有&

58、lt;/p><p><b>　　（2） </b></p><p>　　所以有 </p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　總收入函數</b></p><p>　　設銷量為時的邊際收入，則銷量為的總收入函

59、數可由</p><p>　　求得，其中積分常數由銷量為0時總收入為0，即求出.也可由定積分的方法求得</p><p>　　例9已知生產某產品單位時的邊際收入為（百元/單位），求生產40單位時的總收入及平均收入，并求再生產20個單位時所增加的總收入.</p><p>　　解 由定積分求總收入函數公式可得</p><p>　　所以生產40個單位

60、時的收入為，</p><p>　　平均收入為 ，</p><p>　　如果再增加生產20個單位，則總收入增加為</p><p>　　可見，增加生產量，收入不一定會增加.如何安排生產，使收入最大化，是值得重視的問題.</p><p>　　例 10 勞力士表公司的管理者證實，該公司每天銷售旅游手表的邊際收入函數為其中是銷售量，</p

61、><p><b>　?。?）求出收入函數</b></p><p>　　（2）求出需求函數（旅游手表銷售數量和銷售單價的關系）</p><p>　　解 （1）由定積分有</p><p>　?。?）設銷售單價為，則有，</p><p><b>　　又由（1）有，</b></p&

62、gt;<p><b>　　所以 ，</b></p><p>　　故所求需求函數為 </p><p><b>　　利潤函數</b></p><p>　　設某產品邊際收入為，邊際成本為，則邊際利潤</p><p><b>　　，</b></p>&

63、lt;p><b>　　所以有利潤</b></p><p>　　即有 ，</p><p>　　其中，稱為銷售為時的毛利潤，即沒有計算固定成本時的利潤.</p><p>　　例11 已知某產品的邊際收入，邊際成本固定成本為，求當時的毛利潤和純利潤.</p><p>　　解 由已知，得邊際利潤，</p&

64、gt;<p>　　由求銷量為時毛利潤的公式得到當產量時的毛利潤為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　又固定成本為，所以純利潤為.</p><p>　　已知邊際經濟函數，求該經濟函數的增量</p><p>　　已知邊際經濟函數，求其原經濟函數當自變量從變化到時原函數相應的增量：<

65、;/p><p>　　由不定積分先求出原函數</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則增量 .</p><p>　　由定積分可直接求得增量為</p><p>　　例12 設某產品的生產是連續(xù)生產的，總產量是時間的函數，如果總產量的變化率為（單位：噸/日），求投產后從

66、到這27天的總產量.</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　例13某種產品的銷售增長率服從，式中以年為單位，求前5年的總銷售量.</p><p>　　解 設銷售量關于時間的函數為，由已知有所以 </p><p>　　由邊際函數求最優(yōu)化問題</p><p>　　根據

67、求函數極值的方法，下面我們討論經濟中的一些最優(yōu)化問題.</p><p>　　例14已知某商品的邊際成本為（萬元/臺），固定成本為100萬元，又已知該商品的銷售收入函數為（萬元），求</p><p>　　使利潤最大的銷售量和最大利潤</p><p>　?。?）在獲得最大利潤的銷售量的基礎上，再銷售20臺，利潤將減少多少？</p><p>　　解

68、 （1）設利潤函數為，由已知有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令求得唯一駐點</b></p><p><b>　　所以當時，利潤最大</b></p><p><b>　　又</b></p><p&g

69、t;<b>　　故</b></p><p>　　所以最大利潤為（萬元）</p><p>　　例15 某精密機器公司在一個月的生產周期內生產全自動電子閃光燈，估計邊際利潤函數為：-0.004+20（元/件），生產量是件，該公司生產和銷售這些電子閃光燈的總成本是16000元.問為何值時，該公司在一個月內的收入可達到最大？收入的最大值是多少？</p><

70、p>　　解 設利潤函數為，由已知有</p><p>　　所以邊際收入函數 =-0.004x+20,</p><p>　　由，得唯一駐點=5000.</p><p>　　又，所以當x=5000件時，收入最大，最大收入為</p><p>　　2.4多元函數的應用</p><p>　　2.4.1多元函數的定義</

71、p><p>　　定義2.5 設為一個非空的 元有序數組的集合，為某一確定的對應規(guī)則.若對于每一個有序數組，通過對應規(guī)則f，都有唯一確定的實數與之對應，則稱對應規(guī)則為定義在上的元函數.記為） ，. 變量稱為自變量；稱為因變量.當時，為一元函數，記為;當時，為二元函數，記為，二元及以上的函數統(tǒng)稱為多元函數.</p><p>　　2.4.2多元函數的實際應用</p><p>

72、　　多元函數條件機制在不等式證明、物理、生產銷售、證券投資分析、多元統(tǒng)計分析學里判別分析和組成分析等問題上都有廣泛的應用.</p><p>　　到目前為止，我們所討論的函數都是關于一個變量的函數，但在許多實際應用中，常常需要考慮兩個或兩個以上變量的函數.</p><p>　　例如某公司生產銷售A型、B型、C型三種不同的紀念品，銷售一件相應紀念品的利潤分別為6元、5元、4元，分別以、、表示相

73、應紀念品的銷售量，則利潤函數為</p><p><b>　　（元）</b></p><p>　　就是三個變量的函數.</p><p>　　在生產中，產量與投入的勞動力和資金之間有關系式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中，、、為常數.是兩個變量、

74、的函數，該函數稱為柯布(C.W.Cobb)-道格拉斯(PaulH.Douglas)生產函數.</p><p>　　某擴音器制造生產的擴音器系統(tǒng)既可以整套出售，也可以散件出售供消費者自己組裝使用.假設擴音器系統(tǒng)整套、散件每周的需求量分別為套、套，零售價分別為元/套、元/套，每周的需求方程為</p><p><b>　　，</b></p><p>

75、　　則每周該公司的收入函數為</p><p>　　就是兩個變量的函數.</p><p>　　購買大宗商品（如住房、汽車等），一般需要向銀行抵押貸款，按月償還.一筆總額元的貸款，年還清，年利率為，每月的還款額為</p><p><b>　　（元）</b></p><p>　　這里是三個變量、、的函數.例如一筆90000元的

76、住房貸款，30年還清，年利率℅，每月的還款額為</p><p><b>　?。ㄔ?lt;/b></p><p>　　考慮柯布-道格拉斯生產函數</p><p>　　假設資金保持不變，則產量可以看作是勞動力的一元函數，由一元函數求導公式，可得 </p><p>　　類似地

77、，假設勞動力保持不變，則產量可以看作是資金的一元函數，由一元函數求導公式，可得 </p><p>　　這種由一個變量變化、而其余變量保持不變所得到的倒數，稱為多元函數的偏導數.</p><p>　　例1 第二次世界大戰(zhàn)結束后，某個國家在經濟恢復時期的生產函數為</p><p>　　其中為同期投入的勞動力數量，為同期投入的資金

78、數量.</p><p><b>　　（1）試計算，；</b></p><p>　?。?）當某時刻勞動力投入125（單位）、資金投入為27（單位）時，分別求關于勞動力、資金的邊際產量.并解釋所得到的結果.</p><p>　　解 （1）</p><p><b>　?。?）當、時

79、，</b></p><p>　　其含義表示：當勞動力投入125（單位）、資金投入為27（單位）時，勞動力再增加投入一個單位，生產量將增加12個單位.</p><p>　　其含義表示：當勞動力投入125（單位）、資金投入為27（單位）時，資金再增加投入一個單位，生產量將增加個單位.所以在戰(zhàn)后恢復經濟期間，增加資金的投入可以更快速有效地增加生產，恢復經濟.</p>&

80、lt;p>　　例2 某公司銷售一種新型節(jié)能產品，現準備從國內和國外兩種銷售方案中選擇一種進行銷售．若只在國內銷售，銷售價格（元/件）與月銷量（件）的函數關系式為，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為（元）．</p><p>　　若只在國外銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（為常數，），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納 元的附加

81、費，設月利潤為w外（元）．</p><p>　?。?）當 = 1000時， = 元/件，w內 = 元；</p><p>　?。?）分別求出w內，w外與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；</p><p>　　（3）當為何值時，在國內銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內銷售月利

82、潤的最大值相同，求a的值；</p><p>　　（4）如果某月要將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在國內還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大？</p><p><b>　　解（1）當時，</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（

83、3）由（2）可知</b></p><p>　　所以當時，在國內銷售的月利潤最大.</p><p>　　當時，取最大值360000.解得</p><p><b>　?。?）當時，</b></p><p><b>　　當時，可解得</b></p><p>　　所以當時

84、，國內和國外銷售所獲月利潤相等；</p><p>　　所以當時，國外銷售所獲月利潤較大；</p><p>　　所以當時，國內銷售所獲月利潤較大.</p><p>　　例3為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段路燈更換為太陽能路燈．已知太陽能路燈售價為5000元/個，目前兩個商家有此產品．甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，按原價付款；若一次購買10

85、0個以上，且購買的個數每增加一個，其價格減少10元，但太陽能路燈的售價不得低于3500元/個．乙店一律按原價的80℅銷售．現購買太陽能路燈個，如果全部在甲商家購買，則所需金額為元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為元.</p><p>　　（1）分別求出、與之間的函數關系式；</p><p>　?。?）若市政府投資140萬元，最多能購買多少個太陽能路燈？</p><p&

86、gt;<b>　　解（1）由題意可得</b></p><p>　　（2）若市政府投資140萬元，經計算可知在甲商家購買比較實惠，最多能購買</p><p><b>　　個.</b></p><p>　　例4 某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿．當每個房間每天的房價每增加10元時，

87、就會有一個房間空閑．賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用．根據規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元．設每個房間的房價每天增加元（為10的整數倍）．</p><p>　　（1）設一天訂住的房間數為，直接寫出與的函數關系式及自變量的取值范圍；</p><p>　?。?）設賓館一天的利潤為w元，求w與的函數關系式；</p><p>　　（3）一天訂住多少

88、個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？</p><p><b>　　解（1）由題意可得</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（3）由（2）可知</b></p><p>　　所以當一天訂住16個房間時，賓館的利潤最大，最大利潤是6

89、440元.</p><p>　　例5 某商店經營一種小商品，進價為2.5元，據市場調查，銷售單價是13.5元時平均每天銷售量是500件，而銷售單價每降低1元，平均每天就可以多售出100件.</p><p>　?。?）假設每件商品降低元，商店每天銷售這種小商品的利潤是元，請你寫出與的之間的函數關系式，并注明的取值范圍；</p><p>　?。?）每件小商品銷售價是多少

90、元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？（注：銷售利潤=銷售收入－購進成本）</p><p><b>　　解（1）由題意可得</b></p><p><b>　　(2)由（1）可知</b></p><p>　　所以當每件小商品銷售價是10.5元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大，最大利潤是6400元.&l

91、t;/p><p>　　例6 由例五應用到實際中：</p><p>　　今年6月16號是全國英語四級考試，到時呼和浩特市大學生將需要大量考試用的收音機，去年本公司收音機的銷量為400臺，價格為28元每臺，成本價18元每臺，根據實際情況，銷售單價每降低1元，平均可以多售出100臺. 每臺收音機銷售價是多少元時，商店每天銷售這種小商品的利潤最大？最大利潤是多少？</p><p&g

92、t;<b>　　解 由題意可得</b></p><p>　　所以當每臺收音機銷售價為25元時，收音機銷量將達到700臺，銷售的利潤最大，最大利潤是4900元.</p><p>　　截止6月15號，實際的銷售量為750臺，出去廣告費等，實際純收入為4950元.</p><p><b>　　結 論</b></p>

93、<p>　　本文通過對數學在經濟方面的歷程、作用以及走向的闡釋與大量的例題論證數學在經濟方面的重要作用，得出經濟的發(fā)展離不開數學.</p><p>　　目前為止，數學在經濟學中應用的廣泛發(fā)展時期.各領域的數學思想應用到經濟研究中，產生了大量新的研究理論，出現了巨量的成果，也因此衍生出其他很多學派.研究的問題從最初簡單變?yōu)閺碗s，復雜貼近于現實.邊際分析，回歸分析，博弈論分析，均衡分析、經濟增長模型等都

94、廣泛地被作為解釋、研究經濟問題的數學工具.</p><p>　　數學中導數，微積分等在經濟發(fā)中得到了大量的應用，在企業(yè)生產，銷售中，從之前的盲目生產到后來的以銷定產，以需求定產，使得企業(yè)的生產產本與滯銷率大大降低，為能源高效利用，節(jié)能減排做出重要貢獻。在未來，數學在經濟中的應用將不可估量，為人類文明發(fā)展做出巨大貢獻.</p><p>　　本人在從事商業(yè)活動中，也在應用數學解決一些實際的經濟

95、銷售問題，例如4.4例六！其實數學不是枯燥乏味的，數學能給經濟帶來活力，能給從事經濟用作的企業(yè)家提供判斷和決策的依據，使得對產品銷量的預判的準確度大大提高，降低了企業(yè)的風險與成本.</p><p>　　對于本次論文，由于末學學識淺薄，無能深入對其進行研究，但在撰寫論文的這3個月時間里，學到了大量的知識，也將學的數學知識應用到了實際的銷售當中去.在接下的人生里，我將繼續(xù)對數學在經濟方面的應用深入研究下去，為經濟的發(fā)

96、生做出一點微薄的貢獻.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 陳傳璋，金福臨 數學分析上冊.高等教育出版社2007（23）（174 --168））</p><p>　　[2]陳傳璋，金福臨 數學分析下冊. 高等教育出版社2007（23）127頁</p><p>　　[3] 竺仕芳．激發(fā)

97、興趣，走出誤區(qū)———綜合高中數學教學探索〔J〕．寧波教育學院學報，2003（4）</p><p>　　[4] 楊培誼，于鴻．高中數學解題方法與技巧〔M〕．北京：北京學院出版社，1993</p><p>　　[5] 《計算機教育應用與教育革新——’97全球華人計算機教育應用大會論 文集》李克東 何克抗 主編 北京師范大學出版社 1997 </p><p>　　[6]《

98、教育中的計算機》 全國中小學計算機教育研究中心（北京部）1998 </p><p>　　[7] 林建詳編：《CAI的理論與實踐——迎接21世紀的挑戰(zhàn)》 全國CBE 學會</p><p>　　[8] 吳贛昌. 微積分（經管類 第三版）[M] .北京：中國人民大學出版社，2010.7.</p><p>　　[9] 高鴻業(yè). 西方經濟學 [M] .北京：中國人民大學出版社

99、，2001</p><p>　　[10] 張占美等.導數和積分在經濟管理中的應用[J] .商場現代化，2010.7</p><p>　　[12]ARSCOTT F M. Periodic Di®erential Equations [M]. The Macmillan Co., New York, 1964.</p><p>　　[13] BAESCH A

100、. On the explicit determination of certain solutions of periodic differential equations of higher order [J]. Results Math., 1996, 29(1-2): 42{55.</p><p>　　[14] BAESCH A, STEINMETZ N. Exceptional solutions of

101、 nth order periodic linear differential equations [J].Complex Variables Theory Appl., 1997, 34(1-2): 7{17.</p><p><b>　　謝 辭</b></p><p>　　在本論文的寫作的過程中，我的導師周鳳玲老師傾注了大量的心血，從選題到開題報告，再到論文寫作

102、，嚴格把關，循循善誘，在寫作過程中當我遇到難點時，老師會和我一起討論，幫助我解決難題，為我指點迷津，幫助我開拓研究思路，精心點撥，使我的論文得以繼續(xù)，在完成論文后又幫我精心修改，在此我表示衷心感謝，感謝周老師抽出寶貴的時間幫助我完成論文.畢業(yè)論文的寫作過程是一次再系統(tǒng)學習的過程，畢業(yè)論文的完成，讓我學到了很多東西.</p><p>　　四年的大學生活即將結束，這四年來給我?guī)砹撕芏嗝篮玫幕貞?，我很珍惜這段生活，感