數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)(求解線性方程組)

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文檔簡介

1、　　數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)　　作者姓名:　　學(xué)號(hào): 　　一、問題的提出　　分別用SOR方法和高斯消元的L

2、U分解算法（lii=1, i=1,…,n）求解給定的線性方程組AX=B, 以感受迭代法和直接法的不同特點(diǎn)。　　二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容　　自定義函數(shù) SOR(A, B, w, MAXN, TOL)，以實(shí)現(xiàn)SOR方法求解線性方程組AX=B，其中　　A——系數(shù)矩陣；<

3、;/b>　　B——常數(shù)列向量；　　w——松弛因子；　　MAXN——迭代的最大次數(shù)　　TOL——達(dá)到的精度上限　　返回值有以下四種可能：</p&

4、gt;　　-2：SOR方法不收斂；（不收斂的依據(jù)為的某個(gè)分量值超出區(qū)間[-108, 108]。）　　-1：矩陣有一列全為0；　　0：算法經(jīng)過MAXN次迭代還未收斂；　　k：SOR方法經(jīng)k次迭代收斂，求得方程組的解向量X記錄下來.　　自定義函數(shù)Dire

5、ct(A, B)，以實(shí)現(xiàn)高斯LU分解的方法求解線性方程組AX=B，其中　　A——系數(shù)矩陣；　　B——常數(shù)列向量；　　返回值有兩種可能：　　“LU decomp

6、sition failed.”：分解過程中U的對(duì)角線元素至少一個(gè)為0；　　X：分解過程中　　分別使用步驟1中定義的函數(shù)SOR(A, B, w, MAXN, TOL)和步驟2中定義的函數(shù)Direct(A, B)進(jìn)行測(cè)試，記錄返回值及X值（算法收斂或有效的情形, 保留4位小數(shù)）:

7、　　測(cè)試1：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w分別取1， 1.05， 1.1， 1.2， 1.3， 1.6， 1.95；　　測(cè)試2：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w=1；<p&g

8、t;　　測(cè)試3：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w=1.2；　　測(cè)試4：　　MAXN =1000，TOL =10-9，w=1， 1.1， 1.3， 1.8；　　測(cè)試5：: n階Hil

9、bert矩陣定義為　　取n=3, MAXN =1000，TOL =10-9，w=1, 1.3, 1.6, 1.9;　　測(cè)試6：A為4階Hilbert矩陣，MAXN =10000，TOL =10-6，w=1, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9.　　三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析<

10、;/p>　?。ㄒ唬?SOR方法　　1. SOR法分析：　?。?）利用高斯SOR法可得迭代公式:　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w/4(-X2(k)-X4(k))　　X2(k+1)=(1-w)X2(

11、k)-w/4(-X1(k+1)-X3(k)-X5(k)-5)　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/4(-X2(k+1)-X6(k))　　X4(k+1)=(1-w)X4(k)-w/4(-X1(k+1)-X5(k)-6)　　X5(k+1)=(1-w)X5(k)-w/4(-X2(k+1)-X4(k+1)-X(k

12、+1)+2)　　X6(k+1)=(1-w)X6(k)-w/4(-X3(k)-X5(k)-6);　　將松弛系數(shù)w的不同德值代入計(jì)算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e為精度，e=10^(-9))。　　（2）由于矩陣出現(xiàn)了，一列為0，所以不能使用迭

13、代，在程序中會(huì)出現(xiàn)r=-1.　?。?）X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w/3(-X2(k)+3X3(k))　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)-w/6(3X1(k+1)+3X3(k))　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/3(3X1(k+1)+3X2(k+1))<p

14、>　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e為精度，e=10^(-9))。　?。?）將方程組變?yōu)椋?lt;/p>　　X1+0X2+2X3+0X4+3X5+0X6+4X7=3　　3X1-1X2+0.5X3+8X4+2.2X5+1.6X6+0X7=8　　3X1+3X2+0

15、.5X3+12.5X4+5.4X5+3.6X6+X7=10　　5X1+2X2+5.5X3+8X4+2.2X5+1.6X6+3.3X7=12　　X1-4X2-1.5X3+9X4+2.2X5+1.6X6+3.3X7=9　　5.5X1+3.5X2+0.5X3+8X4+3.2X5+1.6X6+0X7=6

16、;　　-0.5X1-1.5X2+3X3+2X4+0X5+X6-X7=5　　迭代公式為：　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w(2X3(k)+3X5(k)+4X7(k)-3)　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)+w(3X1(k+1)+0.5X3(

17、k)+8X4(k)+2.2X5(k)+1.6X6（k）+X7(k)-10) 　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)+w/0.5(3X1(k+1)+3X2(k+1)+12.5X4(k)+5.4X5(k)　　+3.6X6(k)+X7(k)-10)　　X4(k+1)=(1-w)X4(k)+w/8(5X1(k+1)+

18、2X2(k+1)+5.5X3(k+1)+2.2X5(k)　　+1.6X(k)+3.3X7(k)-12)　　X5(k+1)=(1-w)X5(k)+w/2.2(X1(k+1)-4X2(k+1)-1.5X3(k+1)+9X5(k+1)　　+1.6X6(k)+3.3X7(k)-9)

19、;　　X6(k+1)=(1-w)X6(k)+w/1.6(5.5X1(k+1)+3.5X2(k+1)+0.5X3(k+1)+8X4(k+1)+3.5X5(k+1)-6)　　X7(k+1)=(1-w)X7(k)-w(-0.5X1(k+1)-1.5X2(k+1)+3X3(k+1)+2X4(k+1)　　+X6(k)-6)&l

20、t;/p>　　將松弛系數(shù)w的不同德值代入計(jì)算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e為精度，e=10^(-9))。　　（5）將方程組變?yōu)椋?lt;/p>　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-2w(1/3X2(k)+1/4X3(k)-1)<p

21、>　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)-4w(1/3X1(k+1)+1/5X3(k)-1))　　X3(k+1)=(1-w)X3(k)-6w(1/4X1(k+1)+1/5X2(k+1)-1)　　將松弛系數(shù)w的不同德值代入計(jì)算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e為精度，e=10^

22、(-9))。　　（6）將方程組變?yōu)椋?lt;/p>　　X1(k+1)=(1-w)X1(k)-2w(1/3X2(k)+1/4X3(k)+1/5X4(k)-1)　　X2(k+1)=(1-w)X2(k)-4w(1/3X1(k+1)+1/5X3(k)+1/6X4(k)-1)　　X3(k+1)=

23、(1-w)X3(k)-6w(1/4X1(k+1)+1/5X2(k+1)+1/6X4(k)-1)　　X4(k+1)=(1-w)X4(k)-8w(1/5X1(k+1)+1/6X2(k+1)+1/7X3(k+1)-1)　　將松弛系數(shù)w的不同德值代入計(jì)算出X的值。　　利用迭代使|X(k+1)-X(k)|<e(e為精

24、度，e=10^(-6))。　　2. 測(cè)試SOR方法　　測(cè)試1　?。?）W=1的時(shí)候:　?。?）W=1.05的時(shí)候:　?。?）W=1.1的時(shí)候:　?。?

25、）W=1.2的時(shí)候　?。?）W=1.3的時(shí)候　?。?）W=1.6的時(shí)候　　（7）W=1.95的時(shí)候　　測(cè)試2　　測(cè)試3<p&

26、gt;　　測(cè)試4　?。?）W=1的時(shí)候　?。?）W=1.1的時(shí)候　　（3）W=1.3的時(shí)候　?。?）W=1.8的時(shí)候　　測(cè)試5</

27、b>　?。?）W=1的時(shí)候　　（2）W=1.3的時(shí)候　?。?）W=1.6的時(shí)候　　（4）W=1.9的時(shí)候　　測(cè)試6<p

28、>　　（1）W=1的時(shí)候　?。?）W=1.3的時(shí)候　　（3）W=1.6的時(shí)候　?。?）W=1.8的時(shí)候　?。?）W=1.9的時(shí)候　?。ǘ?高斯LU方法<p

29、>　　1. 高斯LU分析：　?。?）L矩陣為： 　　利用LD=B，算出D為：　　U矩陣為：　　利用UX=D，求出X的值。　?。?）

30、L矩陣為：　　U矩陣：　　由于U矩陣對(duì)角線出現(xiàn)了0，所以出現(xiàn)了“LU decompsition failed.”　　（3）L矩陣：　　U矩陣：</b&g

31、t;　　由于U矩陣對(duì)角線出現(xiàn)了0，所以出現(xiàn)了“LU decompsition failed.”　　（4）將矩陣A變?yōu)椋?lt;/p>　　而在將矩陣變?yōu)長與U時(shí)候出現(xiàn)了異常，在L與U矩陣中有異常值，且在U矩陣對(duì)角線上出現(xiàn)了0值，所以出現(xiàn)了“LU decompsition failed.”

32、　　（5）L矩陣：　　利用LD=B，可得到D為：　　U矩陣為：　　利用UX=D，求出X的值出來。 　?。?）L矩陣：

33、;　　（見下一頁）　　利用LD=B,可以求出D；　　U矩陣為：　　利用UX=D，可以求出X的值出來。　　2. 測(cè)試高斯LU方法　　測(cè)試1

34、　　測(cè)試2　　測(cè)試3　　測(cè)試4　　測(cè)試5

35、　　測(cè)試6　　四、關(guān)于本設(shè)計(jì)的體會(huì)　　通過對(duì)高斯LU法和SOR法設(shè)計(jì)分析和測(cè)試以后，我發(fā)現(xiàn)兩種方法各有優(yōu)劣。高斯LU法得出的結(jié)果精度比較高，但是卻不適用于所有的方程，使用范圍相對(duì)較窄；而在使用SOR法時(shí)，雖然精度會(huì)稍微差一點(diǎn)，但是通過調(diào)整松弛度w，卻可能適用于更多的方程，適用范圍相對(duì)較寬。

36、　在做課程設(shè)計(jì)這個(gè)過程中，我發(fā)現(xiàn)自己還有很多很多知識(shí)沒有學(xué)好，在參考別人的例子的時(shí)候好像很簡單，但自己一上機(jī)操作寫程序的時(shí)候就出現(xiàn)問題。調(diào)試的時(shí)候系統(tǒng)總有報(bào)錯(cuò)，還有很多警告，每修改一個(gè)變量，往往都要調(diào)試很久，有時(shí)候僅僅只是少了一個(gè)大括號(hào)，卻地花上近半個(gè)小時(shí)才能找到問題的瓶頸所在。此外，通過本次的課程設(shè)計(jì)，我重溫了許多C語言的知識(shí)。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了自己對(duì)C語言的掌握程度有所下降。其實(shí)，為了更加方便我今后的學(xué)習(xí),我還是有必要對(duì)MATLAB進(jìn)行學(xué)

37、習(xí),不斷擴(kuò)充我的知識(shí)。　　最后，雖然得到的結(jié)果未如理想，但我會(huì)繼續(xù)努力！謝謝李老師的指導(dǎo)！　　五、參考文獻(xiàn)　　【1】《標(biāo)準(zhǔn)C語言基礎(chǔ)教程》（第四版）電子工業(yè)出版社　　【2】《數(shù)值分析》（第三版）

38、北京理工大學(xué)出版社　　六、附錄　　1. SOR方法（源代碼）:　　#include <stdio.h>　　#include<math.h>　　#defi

39、ne N 20　　float get(float, float);　　void main ()　　{　　int n,Q,p=0;　　printf("請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣的階數(shù)："

40、;);　　scanf("%d",&n);　　int i, j, k=0,r;　　float a[N][N], b[N];　　float x[N], y[N],z[N];　　float e,t,w;<

41、;/p>　　printf("請(qǐng)輸入最大迭代次數(shù)MAXN=");　　scanf("%d",&Q);　　float v;　　printf("請(qǐng)輸入精度TOL=");

42、　　scanf("%f",&v);　　printf("請(qǐng)輸入松弛系數(shù)w=");　　scanf("%f",&w);　　printf ("請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣:\n ");<p

43、>　　for (i = 0; i < n; i++)　　{　　p=0;　　for (j = 0; j < n; j++)　　{</p&

44、gt;　　printf("a[%d][%d]:",j+1,i+1);　　scanf ("%f", &a[j][i]);　　if(a[j][i]==0)　　p=p+1;

45、;　　}　　if(p!=n)　　continue;　　else　　r=-1;<

46、;/p>　　printf("\n矩陣有一列全為0,松弛法不能迭代,r=%d\n",r);　　exit(0);　　}　　printf ("請(qǐng)輸入右端項(xiàng)數(shù)組: \n");&l

47、t;/p>　　for (i = 0; i < n; i++)　　{　　printf("b[%d]:",i+1);　　scanf ("%f", &b[i]);<p&g

48、t;　　}　　for (i = 0; i < n; i++)　　x[i]=0;　　do　　{

49、　　for (i = 0; i < n; i++)　　{　　t =0.0 ;　　for (j = 0; j < n; j++)　　{</b&

50、gt;　　if (j < i)　　t += a[i][j] * y[j];　　else if (j > i)　　t += a[i][j] * x[j];　　}

51、　　z[i] =(b[i] - t) / a[i][i];　　y[i]=(1-w)*x[i]+w*z[i];　　}　　e = 0.0;　　for (j = 0; j <

52、n; j++)　　{　　e+= get(x[j],y[j]);　　}　　for (j=0; j < n; j++)　　{</

53、b>　　x[j] = y[j];　　}　　k=k+1;　　if(k>Q)　　{<

54、/b>　　r=0;　　printf("算法經(jīng)過最大迭代次數(shù)還沒有收斂，r=%d\n",r);　　exit(0);　　}</p&

55、gt;　　for(j=0;j<n;j++)　　{　　if(y[j]>100000000||y[j]<-100000000)　　{　　r=-

56、2;　　printf("\n迭代方法不收斂，r=%d\n",r);　　exit(0);　　}　　}

57、　　}　　while (e > v);　　printf("方程組的解為：\n");　　for (i = 0; i < n; i++)　　printf ("x%d=%f\t

58、\n", i+1, x[i]);　　printf ("\n");　　printf("\n迭代次數(shù)k=%d\n",k);　　return 0;　　}

59、　　float　　get (float x, float y)　　{　　float t;　　t=fabs(x-y);

60、　　return t;　　}　　2. 高斯LU分解法（源代碼）：　　#include <stdio.h>　　#include <stdl

61、ib.h>　　#define N 100　　float getmx(float a[N][N], float x[N], int i, int n)　　{　　float mx = 0;&

62、lt;b>　　int r;　　for(r=i+1; r<n; r++)　　{　　mx += a[i][r] * x[r];　　}<p&

63、gt;　　return mx;　　}　　float getx(float a[N][N], float b[N], float x[N], int i, int n)　　{　　float resu

64、lt;　　if(i==n-1) 　　result = (float)(b[i]/a[n-1][n-1]);　　else 　　result = (float)((b[i]-getmx(a,x,i,n))/a[i][i]);</p&

65、gt;　　return result;　　}　　void main()　　{ float l[N][N]={0}; 　　float u[N][N]={0}; 　　floa

66、t y[N]={0};　　float x[N]={0}; 　　float a[N][N]; 　　float b[N]; 　　float sum=0;　　int i,j,k;

67、;　　int n;　　int flag=1;　　printf("請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣的大小：");　　scanf("%d", &n);　　printf("請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣值：\n");<

68、/p>　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　for(j=0; j<n; j++)　　{　　printf("a[%d][%d]: &qu

69、ot;, i, j);　　scanf("%f", &a[i][j]);　　}　　}　　printf("請(qǐng)輸入右端項(xiàng)數(shù)組：\n");

70、;　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　printf("b[%d]: ", i);　　scanf("%f", &b[i]);

71、}　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　for(j=0; j<n; j++)　　{　　if(i==j) l[i

72、][j] = 1;　　}　　}　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　u[0][i] = (floa

73、t)(a[0][i]/l[0][0]);　　}　　for(i=0; i<n-1; i++)　　{　　for(j=i+1; j<n; j++)&

74、lt;b>　　{　　for(k=0,sum=0; k<n; k++)　　{　　if(k != i) sum += l[j][k]*u[k][i];　　}</p

75、>　　l[j][i] = (float)((a[j][i]-sum)/u[i][i]);　　}　　for(j=i+1; j<n; j++)　　{　　for(k=0

76、,sum=0; k<n; k++)　　{　　if(k != i+1) sum += l[i+1][k]*u[k][j];　　}　　u[i+1][j] = (float)((a[i+1][j]

77、-sum));　　}　　}　　int g, h;　　h=0;　　for(g=0

78、;g<n+1;g++)　　{　　if(u[g][g]==0)　　h=h+1;　　}　　if(

79、h=n)　　{　　printf("\nLU decompsition failed.\n\n");　　exit(0);　　}</b&

80、gt;　　/*回代方式計(jì)算數(shù)組X*/　　for(i=n-1; i>=0; i--)　　{　　x[i] = getx(u,y,x,i,n);　　}&l

81、t;/p>　　printf("\n\n數(shù)組X：\n");　　for(i=0; i<n; i++)　　{　　printf("x%d = %0.3f\n", i+1,x[i]);&l

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