檢測(cè)自由曲面等參數(shù)化取樣點(diǎn)的方法與研究-碩士學(xué)位論文

1、<p>　　碩 士 學(xué) 位 論 文</p><p>　　檢測(cè)自由曲面等參數(shù)化取樣點(diǎn)的方法與研究</p><p>　　Isoperimetric line sampling strategy for the inspection of sculptured surfaces</p><p>　　作 者 姓 名： &

2、lt;/p><p>　　工 程 領(lǐng) 域： 機(jī)械工程 </p><p>　　學(xué) 號(hào)： </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師： 教授

3、 </p><p>　　完 成 日 期： 年 月 </p><p><b>　　大連理工大學(xué)</b></p><p>　　Dalian University of Technology</p><p><b>　　摘

4、要</b></p><p>　　目的、方法、結(jié)果、結(jié)論</p><p>　　隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法定義自由曲線/曲面得到實(shí)際應(yīng)用，大大促進(jìn)了CAGD的產(chǎn)生和發(fā)展。應(yīng)用B樣條提供的方法可以依照構(gòu)造形狀的幾何信息來(lái)建立對(duì)應(yīng)的曲線/曲面方程。這些數(shù)學(xué)模型可以在計(jì)算機(jī)上通過(guò)被執(zhí)行計(jì)算和處理，提取到曲線/曲面上大量的點(diǎn)和特征信息。在這過(guò)程中，通過(guò)計(jì)算機(jī)的分析和綜合，還可以實(shí)時(shí)顯示

5、并交互設(shè)計(jì)修改所定義的形狀所擁有的整體和局部信息。這一技術(shù)對(duì)數(shù)控加工、有限元分析、物理性能計(jì)算等起到了重要的推動(dòng)作用。本文重點(diǎn)結(jié)合了基于不規(guī)則截面數(shù)據(jù)線的B樣條曲線/曲面對(duì)自由曲線/曲面重構(gòu)進(jìn)行了研究。</p><p>　　關(guān)鍵詞：B樣條曲線；三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)；檢測(cè)；自由曲面</p><p>　　Isoperimetric line sampling strategy for the insp

6、ection of sculptured surfaces </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Contents of the abstract. Times New Roman. </p><p>　　Key Words：B-spline curve; CMM; Inspection; Sculptur

7、ed surfaces</p><p>　　Fair fitting method 光順擬合 skinning method 逐層截面掃描數(shù)據(jù)法sectional points 截面數(shù)據(jù) interpolation 插值 computer-aided geometric design 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì) parametric surfaces 參數(shù)曲面 B-splines B樣條 interaction tec

8、hniques交互技術(shù)</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1

9、研究背景及意義1</p><p>　　1.2 自由曲面檢測(cè)的研究現(xiàn)狀3</p><p>　　1.2.1 B樣條曲線/曲面的研究現(xiàn)狀3</p><p>　　1.2.2 點(diǎn)到曲線/曲面最小距離的研究現(xiàn)狀4</p><p>　　1.2.3 自由曲面檢測(cè)的研究現(xiàn)狀5</p><p>　　1.3 論文主要研究

10、內(nèi)容及結(jié)構(gòu)6</p><p>　　2 B樣條曲線和曲面的基本理論8</p><p>　　2.1形狀數(shù)學(xué)描述的幾種方法比較8</p><p>　　2.2 B樣條曲線的計(jì)算9</p><p>　　2.2.1 B樣條曲線方程及正算反算9</p><p>　　2.2.2節(jié)點(diǎn)矢量的構(gòu)造11</p>

11、;<p>　　2.2.3基函數(shù)的計(jì)算16</p><p>　　2.2.4B樣條曲線插值19</p><p>　　2.3B樣條曲面的計(jì)算21</p><p>　　2.3.1 B樣條曲面的定義21</p><p>　　2.4 本章小結(jié)22</p><p>　　3基于截面測(cè)量數(shù)據(jù)光順擬合B

12、樣條曲線23</p><p>　　3.1三次均勻B樣條23</p><p>　　3.2 最小二乘逼近24</p><p>　　3.3 B樣條曲線的光順擬合算法24</p><p>　　3.2.1 算法思想概述24</p><p>　　3.2.2 數(shù)學(xué)模型25</p><p>

13、;　　3.2.3 算法步驟25</p><p>　　3.4 數(shù)值算例25</p><p>　　3.4.1 不同線型的算例25</p><p>　　3.4.2 開(kāi)曲線和閉曲線26</p><p>　　3.4.3 周期和非周期曲線26</p><p>　　3.4.4 已知條件不同的曲線26</

14、p><p>　　3.5 本章小結(jié)26</p><p>　　4基于截面測(cè)量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲面27</p><p>　　4.1 B樣條曲面表達(dá)27</p><p>　　4.2 B樣條曲面的光順擬合算法27</p><p>　　4.2.1 算法思想概述27</p><p>　　4.

15、2.2 數(shù)學(xué)模型27</p><p>　　4.2.3 算法步驟與實(shí)例分析27</p><p>　　4.3 數(shù)值算例27</p><p>　　4.4 本章小結(jié)27</p><p>　　5 基于輪廓特征的等參數(shù)線取樣方法在CMM測(cè)量中的應(yīng)用28</p><p>　　5.1 CMM檢測(cè)策略28<

16、/p><p>　　5.2 數(shù)值算例28</p><p>　　5.2.1 第二節(jié)一級(jí)題目28</p><p>　　5.3自由曲線/曲面的誤差/光順性分析28</p><p>　　5.4 本章小結(jié)29</p><p>　　6 總結(jié)與展望30</p><p>　　6.1 論文總結(jié)30&

17、lt;/p><p>　　6.2 工作展望30</p><p><b>　　結(jié) 論32</b></p><p>　　參 考 文 獻(xiàn)33</p><p>　　攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表學(xué)術(shù)論文情況35</p><p><b>　　致 謝36</b></p>

18、;<p><b>　　緒論</b></p><p>　　機(jī)械制造業(yè)中涉及到大量的自由曲面的造型、制造與檢測(cè)，例如壓鑄的汽車車蓋、葉輪的葉片、飛機(jī)機(jī)翼等（如圖1.1），這些內(nèi)容是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和關(guān)鍵所在。正因?yàn)檫@些自由曲面在CAD/CAM領(lǐng)域，特別是航空和汽車工業(yè)，有著如此廣泛的應(yīng)用，曲面造型所面臨的有關(guān)提高精度、檢測(cè)效率等新問(wèn)題也愈發(fā)突出，因此，對(duì)

19、自由曲面的加工質(zhì)量進(jìn)行高精度、高效率檢測(cè)變得越來(lái)越重要。</p><p>　　圖1.1 自由曲面造型的工業(yè)應(yīng)用</p><p>　　Fig. 1.1 Industrial application of sculptured surfaces </p><p><b>　　研究背景及意義</b></p><p>　　在

20、實(shí)際的生產(chǎn)和生活中，常常需要建立三維物體造型，這些造型被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造、計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)和藝術(shù)、人體模型、地表地形勘察、自然資源分布、還可以應(yīng)用在軍事指揮和機(jī)械產(chǎn)品造型方面。對(duì)于規(guī)則幾何形狀，可以通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式描述；對(duì)于不規(guī)則、表面呈自由曲面的物體，則可以用分割成的曲面片表示，這些曲線曲面的形狀不依賴于坐標(biāo)系的選取，利用直觀簡(jiǎn)便的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)手段，就可以很輕松地離散成造型易于調(diào)整、拼接、擬合的幾何形狀。常用的曲線（曲面）有B

21、ezier曲線（曲面）和B樣條曲線曲面。</p><p>　　自由曲面是指很難用簡(jiǎn)單的代數(shù)和幾何公式表示的曲面，又稱雕塑曲面或自由曲面。在實(shí)際工程中，常常由于效率和時(shí)間等問(wèn)題無(wú)法測(cè)得自由曲面上全部的數(shù)據(jù)，因此需要通過(guò)一定的測(cè)量，獲得自由曲面上的一些離散點(diǎn)集（這些點(diǎn)被要求能反映該曲面的大致輪廓，稱這些點(diǎn)為型值點(diǎn)），再通過(guò)這些點(diǎn)集逼近生成光滑曲面。這其中涉及到曲面擬合、重構(gòu)和拼接等多種方法。</p>&

22、lt;p>　　目前對(duì)自由曲面的高精度檢測(cè)設(shè)備主要有兩種：一種是三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（Coordinator Measuring Machine，簡(jiǎn)稱CMM），另外一種是激光掃描為基礎(chǔ)的“點(diǎn)云”數(shù)據(jù)收集、曲面造型特征求精。而第一種方法因?yàn)榫哂袦y(cè)量精度高、設(shè)備造價(jià)低、通用性強(qiáng)的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于工程中。</p><p>　　如圖1.2所示，CMM是一種采用點(diǎn)接觸測(cè)量坐標(biāo)的儀器，它的工作原理是：沿著理論目標(biāo)點(diǎn)的法矢方向靠近

23、加工曲面，獲得測(cè)量的接觸點(diǎn)坐標(biāo)，認(rèn)為加工誤差就是實(shí)際測(cè)量點(diǎn)和理論值在該方向上的投影距離。因此，為提高檢測(cè)效率，提高模擬曲面精度，使用CMM進(jìn)行加工曲面檢測(cè)時(shí)，必須首先對(duì)自由曲面進(jìn)行適當(dāng)?shù)碾x散處理，構(gòu)造能使測(cè)量逐步逼近過(guò)程能實(shí)現(xiàn)最終目的的合理的檢測(cè)樣本。判斷這個(gè)檢測(cè)樣本是否合理的指標(biāo)有兩個(gè)：一是應(yīng)在盡量反映自由曲面的加工情況下，同時(shí)還要兼顧檢測(cè)效率和檢測(cè)成本。</p><p>　　圖1.2 掃描測(cè)量</p&

24、gt;<p>　　Fig. 1.2 Scanning measurement</p><p>　　自由曲面（曲線）的測(cè)量實(shí)際上是利用測(cè)量者采集的離散點(diǎn)去準(zhǔn)確表達(dá)曲面（曲線）的原始幾何輪廓的過(guò)程：?jiǎn)栴}的重點(diǎn)在于如何分布曲面上測(cè)點(diǎn)的位置和數(shù)量，且高效地表達(dá)原形狀，這個(gè)問(wèn)題部分：（1)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)數(shù)量相同時(shí)，哪種測(cè)點(diǎn)分布算法能最大程度地表達(dá)曲面的原始形狀； (2)當(dāng)測(cè)量準(zhǔn)確度相同時(shí)，哪種測(cè)點(diǎn)分布算法可以減

25、少采樣點(diǎn)數(shù)。雖然數(shù)據(jù)點(diǎn)取得越密集，插值法越具有收斂性，但在工程實(shí)踐中，都不希望很麻煩。人們希望能用盡可能少但又足以表達(dá)形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)，方便地生成所要求的曲線或曲面。</p><p>　　由于自由曲面的設(shè)計(jì)和加工特點(diǎn)，采用CMM對(duì)自由曲面構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行測(cè)量時(shí)，得到檢測(cè)點(diǎn)數(shù)量檢測(cè)點(diǎn)數(shù)量的確定除了和工藝能達(dá)到的精度和檢測(cè)設(shè)備置信度相關(guān)，還和曲面的面積大小呈一定正相關(guān)。因此，檢測(cè)點(diǎn)的分布應(yīng)綜合考慮曲率變化和離散后曲面片的

26、相互制約關(guān)系?？紤]到非均勻有理B樣條在表達(dá)曲面上有一定的特點(diǎn)，可以確定研究方法是對(duì)復(fù)雜自由曲面應(yīng)采取分片測(cè)量，同時(shí)在幾何量測(cè)量中采用優(yōu)化搜索的方法，在誤差范圍內(nèi)確定最小不合格區(qū)域，去掉不合格區(qū)域后，再繼續(xù)搜索，直到達(dá)到最小距離的最大值，可以基本認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)了用盡量少的點(diǎn)最大限度的還原曲面形狀。</p><p>　　自由曲面加工中的檢測(cè)取樣方法確定不僅可以實(shí)現(xiàn)曲面重構(gòu)，為后續(xù)加工曲面提供曲面模型，還能根據(jù)微分算法的改

27、進(jìn)方法求取加工自由曲面模型的誤差，通過(guò)修改原理論計(jì)算所得的刀位軌跡可以實(shí)現(xiàn)曲面加工的誤差補(bǔ)償，實(shí)驗(yàn)證明，這種誤差補(bǔ)償具有良好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。因此，這種技術(shù)未來(lái)一定會(huì)在我國(guó)科研領(lǐng)域以及航空航天、汽車、造船和模具等制造行業(yè)帶來(lái)深遠(yuǎn)的影響。</p><p>　　自由曲面檢測(cè)的研究現(xiàn)狀</p><p>　　B樣條曲線/曲面的研究現(xiàn)狀</p><p>　　20世紀(jì)80年代中

28、期以后，隨著CAGD成為一門(mén)應(yīng)用廣泛的新興學(xué)科，B樣條作為該領(lǐng)域內(nèi)最有發(fā)展前景的方法而變成人們研究的重點(diǎn)。1991年，NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）方法作為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（International Standardization Organization, 也就是人們熟知的ISO）規(guī)定的定義產(chǎn)品形狀的唯一數(shù)學(xué)方法，用于表示用計(jì)算機(jī)處理的產(chǎn)品模型形狀的數(shù)據(jù)表示、設(shè)計(jì)和交換的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。</

29、p><p>　　歷史上對(duì)非均勻B樣條曲線和曲面有過(guò)突出貢獻(xiàn)的是Piegl和Tiller[1]。他們所著的The NURBS Book作為一本經(jīng)典之作詳細(xì)地介紹了有關(guān)曲線和曲面的基本理論，將Bezier-B樣條-NURBS作為學(xué)科主線，將理論和應(yīng)用的研究不斷推進(jìn)。國(guó)內(nèi)劉鼎元教授等[2]在1981年發(fā)表了有關(guān)Bezier曲線和B樣條曲線光順擬合法的研究，提出了便于實(shí)現(xiàn)交互設(shè)計(jì)的權(quán)因子。在這基礎(chǔ)上，劉鼎元又在文獻(xiàn)[3]中提

30、出次的Bezier曲面擬合的算法。Woodword[4]在1988年提出了一種針對(duì)截面測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行B樣條插值曲面的算法，該算法主要針對(duì)的是擁有同樣個(gè)數(shù)的截面數(shù)據(jù)類型，尤其是封閉的自由曲面類型往往容易出現(xiàn)波動(dòng)、折皺、光順性差等情況，因此該種方法適用范圍也很受限。</p><p>　　綜合以上文獻(xiàn)可知，目前對(duì)自由曲線曲面的研究無(wú)論是用B樣條還是Bezier，無(wú)論是曲線還是曲面擬合，其關(guān)鍵主體步驟都是曲面重構(gòu)看是否在允

31、許的誤差范圍內(nèi)，因此構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，求取合理的定點(diǎn)進(jìn)行插值擬合，計(jì)算擬合精度是本方向研究的關(guān)鍵。目前的研究工作仍面臨著以下問(wèn)題：</p><p>　　點(diǎn)到曲線/曲面的最小距離的算法仍需探討；</p><p>　　如何構(gòu)造合理的曲線/曲面數(shù)學(xué)模型進(jìn)行重構(gòu)曲線/曲面；</p><p>　　擬合精度的判斷標(biāo)準(zhǔn)。</p><p>　　1.2.2 點(diǎn)到

32、曲線/曲面最小距離的研究現(xiàn)狀</p><p>　　重構(gòu)自由曲線/曲面，其實(shí)就要檢測(cè)自由曲線/曲面擬合過(guò)程中和原模型之間的誤差是否在精度范圍內(nèi)的問(wèn)題，這就勢(shì)必要涉及到求取點(diǎn)到參數(shù)曲線和曲面的最小距離的問(wèn)題。求一個(gè)定點(diǎn)到曲線/曲面的最小距離是微分幾何學(xué)和CAD/CAM中的基本問(wèn)題，在向量空間中，通常解決點(diǎn)到曲線/曲面的最小距離這一問(wèn)題運(yùn)用的方法是過(guò)該定點(diǎn)向參數(shù)曲線/曲面進(jìn)行空間投影。它的應(yīng)用范圍很廣泛，在曲面求交、數(shù)

33、控加工刀具軌跡規(guī)劃、曲面匹配、輪廓度誤差評(píng)定等領(lǐng)域中都有著十分重要的地位。因此，研究有效且精確的點(diǎn)到參數(shù)曲線/曲面最小距離的方法十分必要。</p><p>　　牛頓迭代法是最初被提出來(lái)并廣泛使用的一種求點(diǎn)到參數(shù)曲線/曲面最小距離的方法。Mortenson在[5]中曾經(jīng)提出點(diǎn)到不同類型曲線/曲面的最小距離的度量方程，并采用牛頓-拉斐爾算法找到多項(xiàng)式的根求解方程。文獻(xiàn)[6]提出求點(diǎn)到參數(shù)曲線/曲面最小距離最關(guān)鍵的問(wèn)題

34、是求解非線性方程組，作者提出通過(guò)構(gòu)造輔助方程的方法可解。之后，文獻(xiàn)[7]提出了一種計(jì)算點(diǎn)到曲面的投影的二階算法作為改進(jìn)。牛頓型求解點(diǎn)到曲線/曲面最小距離的方法具有計(jì)算精度高、速度快、算法思想簡(jiǎn)單易懂、易于編程的特點(diǎn)，因此該類型在CAD/CAM領(lǐng)域被廣泛采用。但是，這些利用牛頓型的計(jì)算方法雖然有這么多優(yōu)點(diǎn)，但是由于對(duì)初始值很敏感，穩(wěn)定性和有效性并不是那么理想。在求解過(guò)程中要想實(shí)現(xiàn)對(duì)于最優(yōu)解的收斂必須使每一步迭代的初始值都是良好的，否則就會(huì)

35、在逐步迭代的過(guò)程中發(fā)生離散或者循環(huán)的情況，尤其是當(dāng)目標(biāo)解位于臨近邊界位置或端點(diǎn)位置時(shí)。</p><p>　　為了解決這一問(wèn)題，一方面，文獻(xiàn)[8]提供了一種實(shí)用的算法用于找到牛頓算法中良好的初值。另一方面，2001年P(guān)iegl和Tiller[9]給出了一種求取點(diǎn)到非均勻B樣條曲面（NURBS）投影的方法，該算法的思想是：將非均勻B樣條曲面分解成多個(gè)四邊形曲面片，將定點(diǎn)投影到最近的曲面片上，然后根據(jù)這個(gè)最近的曲面片還

36、原定點(diǎn)的參數(shù)值。之后，Ma和Hewitt在文獻(xiàn)[10]中提出了將NURBS曲線分割成Bezier曲線段、將NURBS曲面分割成Bezier曲面片的細(xì)分算法，這種方法算法的主要步驟有三步：首先分析出被分割出的曲線段或曲面片的控制頂點(diǎn)與定點(diǎn)的關(guān)系，之后根據(jù)Bezier曲線或曲面的強(qiáng)凸包性搜索出待定的曲線段/曲面片，最后通過(guò)分別計(jì)算定點(diǎn)到待定曲線段/曲面片上的待定點(diǎn)的距離，比較得出距離最小的點(diǎn)作為該待定曲線段/曲面片上的牛頓型迭代初始點(diǎn)。&l

37、t;/p><p>　　很顯然，綜合以上文獻(xiàn)研究，求取點(diǎn)到參數(shù)曲線/曲面的投影或交點(diǎn)問(wèn)題關(guān)鍵就在于兩個(gè)方面，第一，找到合適的初始值進(jìn)行迭代；第二，用牛頓型迭代算法或其他迭代算法進(jìn)行方程組計(jì)算精確求解。值得注意的是，這些初始值一般是通過(guò)離散的曲線/曲面獲得，如果同時(shí)存在多根時(shí)將無(wú)法保證能夠獲得全部的解。</p><p>　　1.2.3 自由曲面檢測(cè)的研究現(xiàn)狀</p><p&g

38、t;　　生產(chǎn)自由曲面的過(guò)程通常包括自動(dòng)刀具軌跡生成、后置處理、數(shù)控加工以及最終的曲面檢測(cè)幾個(gè)步驟。而檢測(cè)復(fù)雜自由曲面的精確度主要受到以下幾個(gè)因素影響：計(jì)算機(jī)輔助制造系統(tǒng)算法誤差、機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)誤差以及在這過(guò)程中產(chǎn)生的測(cè)量誤差。總體來(lái)說(shuō)，目前檢測(cè)自由曲面的主要方法是利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)字化模型來(lái)檢測(cè)和作者預(yù)期達(dá)到的CAD模型之間存在的誤差范圍。</p><p>　　由于物體三維數(shù)據(jù)的獲取方法多種多樣，且應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔

39、助設(shè)計(jì)和制造的環(huán)境類型也很繁復(fù)，必須根據(jù)不同的輸入輸出要求，采取合適的方法，才能有效的進(jìn)行被測(cè)物體表面尤其是復(fù)雜自由曲面的重構(gòu)，滿足使用者的需求。現(xiàn)階段用于檢測(cè)自由曲面的方法，無(wú)論是在論文中提及到的，還是應(yīng)用在工業(yè)生產(chǎn)中的，都是在生產(chǎn)曲面上進(jìn)行離散樣本取點(diǎn)，通過(guò)估計(jì)和所構(gòu)建的CAD模型之間的誤差來(lái)確定檢測(cè)結(jié)果。但是，這種取樣方法受限于生產(chǎn)曲面和具體實(shí)例曲面之間的差別。</p><p>　　用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)的難點(diǎn)

40、主要在于取樣點(diǎn)的分布，這種方法一般來(lái)說(shuō)三個(gè)步驟。首先，模擬出要被測(cè)量的特征，在普通測(cè)量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上添加輪廓誤差模式。其次，提出多種取樣模式。第三，構(gòu)建替代曲面，比較它和所建模型之間的誤差，特征模型和替代曲面之間的最大誤差通常被用來(lái)確定取樣的方法。在機(jī)械工程領(lǐng)域，這種根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)還原設(shè)計(jì)的過(guò)程叫做逆向工程。逆向工程主要是針對(duì)傳統(tǒng)的正向設(shè)計(jì)過(guò)程而言的，從已存在實(shí)物模型入手，首先通過(guò)各種測(cè)量手段獲得數(shù)字化信息，然后利用曲面重構(gòu)技術(shù)快速準(zhǔn)確地建

41、立CAD模型，再在工程分析的基礎(chǔ)上，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行數(shù)控加工。圖三為逆向工程系統(tǒng)流程圖。</p><p>　　圖三 逆向工程流程圖</p><p>　　目前文獻(xiàn)中已經(jīng)有很多關(guān)于原始形狀取樣的研究。這些研究的主題不外乎形狀誤差、取樣方法，和替代曲面算法的交叉。一些文章的主題跟三維曲線、平面、錐形、球形有關(guān)；還有一些寫(xiě)的是柱形曲面。這些文獻(xiàn)都提出不同的形狀應(yīng)該取不同的樣本點(diǎn)，且隨著曲面面積增大，取樣

42、數(shù)據(jù)精度提高。并且，統(tǒng)一的樣本對(duì)于具有幾何特征曲面上的點(diǎn)分布并不是必要的高效的取樣方法。</p><p>　　曲面之間的誤差和曲面信息還原速度跟采樣點(diǎn)密度有關(guān)，在曲面曲率形同或相近的情況下，可以均勻劃分采樣點(diǎn)，在曲面曲率相差較大的情況下，曲率大的地方采樣點(diǎn)可以取密一些，曲率小的地方采樣點(diǎn)取稀疏一些，這樣既可以保證曲面的精度又可以提高還原曲面信息的效率。</p><p>　　自由曲面檢測(cè)產(chǎn)生

43、的誤差主要來(lái)源有：XXXXXX。這些誤差和初始采樣點(diǎn)的確定，網(wǎng)格的劃分以及控制多邊形的構(gòu)成方式有關(guān)。采樣點(diǎn)的初始位置選取對(duì)曲面形狀的誤差影響很大，同時(shí)對(duì)效率也有很大影響，因此，為避免之后沒(méi)你差值擬合后誤差積累越來(lái)越大，要合理控制初始數(shù)據(jù)點(diǎn)的選取。</p><p>　　1.3 論文主要研究?jī)?nèi)容及結(jié)構(gòu)</p><p>　　隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展和數(shù)字化信息時(shí)代的到來(lái)，工業(yè)生產(chǎn)對(duì)自由曲面的重構(gòu)、檢

44、測(cè)和造型等方面的要求與日俱增，一方面人們希望可以提供既實(shí)用簡(jiǎn)單又幾何直觀的結(jié)果，另一方面對(duì)精度和效率的要求也越來(lái)越高。本文結(jié)合B樣條曲線/曲面的基礎(chǔ)知識(shí)，從一維曲線的構(gòu)造、反求和擬合推廣到二維B樣條曲面的構(gòu)造、反求和擬合，其中還包括了對(duì)擬合精度和效率（迭代次數(shù)）作為評(píng)判指標(biāo)的具體描述，從理論和仿真實(shí)驗(yàn)上分別對(duì)自由曲面的重構(gòu)進(jìn)行了研究。本文的主體內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排如下：</p><p>　　第一章：緒論。首先闡述了本文

45、的研究背景和應(yīng)用，突出了重構(gòu)自由曲面的意義。之后總結(jié)了重構(gòu)自由曲面的相關(guān)技術(shù)的研究現(xiàn)狀，最后梳理了本文的主要內(nèi)容和結(jié)構(gòu)安排。</p><p>　　第二章：基于截面測(cè)量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲線。對(duì)B樣條曲線的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了簡(jiǎn)要而全面的回顧，提出光順擬合B樣條曲線的關(guān)鍵的三個(gè)技術(shù)：B樣條曲線的構(gòu)造、反求控制點(diǎn)、B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)插入和在精度內(nèi)的擬合。重點(diǎn)研究了反求控制點(diǎn)時(shí)的三種邊界條件，以及點(diǎn)到曲線最小距離的算法，并通過(guò)

46、實(shí)驗(yàn)對(duì)其適用性進(jìn)行了分析和比較。</p><p>　　第三章：基于上一章截面測(cè)量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲線探討B(tài)樣條曲面的擬合。詳細(xì)推廣了B樣條曲面的構(gòu)造、控制點(diǎn)反求和擬合技術(shù)。在這些關(guān)鍵技術(shù)中，由于擴(kuò)展到二維曲面上給計(jì)算帶來(lái)很多難度，重點(diǎn)研究了點(diǎn)到曲面的最小距離算法，給出了數(shù)學(xué)模型和算法步驟，并通過(guò)大量算例實(shí)驗(yàn)對(duì)本文所提出的光順擬合B樣條曲面的方法給出了針對(duì)性驗(yàn)證。</p><p>　　第四

47、章：提出了光順擬合B樣條曲面在模具檢測(cè)方面的應(yīng)用。首先介紹了CMM的自適應(yīng)采樣現(xiàn)金的發(fā)展?fàn)顩r和意義，其次針對(duì)車燈模具進(jìn)行了具體的實(shí)例分析，采用自由曲面的光順性分析誤差，最后利用MATLAB軟件進(jìn)行汽車車燈外形輪廓的還原的仿真實(shí)驗(yàn)，取得了較好的結(jié)果。</p><p>　　第五章：總結(jié)與展望。最后一部分對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)概括，基于存在的難點(diǎn)和實(shí)際問(wèn)題給出了實(shí)事求是的展望，明確了未來(lái)本領(lǐng)域研究的方向和重點(diǎn)。</p&

48、gt;<p>　　2 B樣條曲線和曲面的基本理論</p><p>　　對(duì)于實(shí)體造型而言，曲線/曲面的理論發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)比較成熟，這些理論主要集中在對(duì)曲線/曲面的數(shù)學(xué)描述方面。通過(guò)這些理論，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)自由曲線/曲面的表示和設(shè)計(jì)。這一章就針對(duì)幾種主要的、在實(shí)際工程應(yīng)用中使用較廣泛的表示方法進(jìn)行系統(tǒng)的介紹、分析和比較。</p><p>　　形狀數(shù)學(xué)描述的幾種方法比較</

49、p><p>　　人類歷史上自由曲面造型的研究方法經(jīng)歷了很多重要的發(fā)展過(guò)程，為了更好地了解和比較這些方法，下面就列出形狀數(shù)學(xué)描述的發(fā)展主線。</p><p>　　1963年弗格森（Ferguson）[11]最早提出利用含參數(shù)的矢函數(shù)方法來(lái)表示曲線曲面，他提出的弗格森雙三次參數(shù)曲面片是由三次參數(shù)曲線引出得來(lái)的，并且構(gòu)造了關(guān)于曲面片的組合曲線段，求取四個(gè)角點(diǎn)的矢量位置關(guān)系，和兩個(gè)不同的切矢方向。&l

50、t;/p><p>　　1964年孔斯（Coons）[12]提出了給定封閉曲線的四條邊界線段就可以定義一個(gè)曲面片的曲面描述犯法，這是一個(gè)針對(duì)一般化的方法，即推廣之后就變成了現(xiàn)代應(yīng)用廣泛的Coons雙三次曲面片。</p><p>　　1967年舍恩伯格（Schoenberg）[13]提出參數(shù)樣條函數(shù)表示方法，這種方法廣泛應(yīng)用于曲線/曲面插值問(wèn)題，然而卻無(wú)法調(diào)整造型的局部性狀自由度。</p&g

51、t;<p>　　1972年法國(guó)雷諾（Renault）汽車公司的貝齊爾（Bezier）[14]提出了Bezier方法，他利用的是控制多邊形的方法來(lái)定義曲線，這種方法可以僅通過(guò)移動(dòng)控制頂點(diǎn)的位置就輕松改變曲線的形狀，且形狀變化可控可測(cè)，完美地解決了整體造型的控制修改問(wèn)題。這種簡(jiǎn)單易行的方法廣泛被接受，并為CAGD的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。</p><p>　　同年發(fā)表的還有德布爾（de-boor）[15]給

52、出的一套關(guān)于B樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法，在這基礎(chǔ)上美國(guó)的戈登（Gordon）及李森菲爾德（Riesenfeld）[16]提出了B樣條曲線及曲面。這種用B樣條曲線曲面描述形狀的方法不僅可以實(shí)現(xiàn)局部修改，還能保證參數(shù)連續(xù)性的連接。這之后，B樣條的研究形成了包含控制多邊形頂點(diǎn)的計(jì)算、節(jié)點(diǎn)的刪除與插入[17]、B樣條升降階[18]等一系列配套理論。</p><p>　　在這之后，福斯普利爾（Versprille）[19]提出了將B

53、樣條理論推廣到非均勻B樣條的研究，后來(lái)隨著深入研究，NURBS作為國(guó)際認(rèn)證的定義工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀的唯一國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，被多個(gè)知名的CAD/CAM軟件操作系統(tǒng)應(yīng)用開(kāi)發(fā)，通過(guò)全球范圍的工業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐應(yīng)用，有力地推動(dòng)了自由曲面造型的實(shí)際應(yīng)用。</p><p>　　雖然上述方法都具有歷史性的意義，對(duì)于推動(dòng)CAGD的發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)，但是應(yīng)該看到，這些方法并不是盡善盡美的，應(yīng)該從客觀的角度來(lái)評(píng)判和比較這些方法，以便日后人們?cè)趯?shí)

54、際工業(yè)生產(chǎn)中能夠有針對(duì)性的采取不同方式構(gòu)造形狀，提高生效效率和精度。</p><p>　　表 0.1中列出的是對(duì)上述幾種形狀描述方法的比較，從此表中可以清晰地看出它們之間的方法、特點(diǎn)及不足之處。</p><p>　　表 0.1 幾種形狀描述方法的比較</p><p>　　Tab.2.1 Comparison of different methods of sha

55、pe description</p><p>　　考慮到本文的主要內(nèi)容是依據(jù)是曲面造型的截面上的數(shù)據(jù)線構(gòu)造B樣條曲線和曲面，因此下面著重介紹B樣條曲線和曲面的基本理論。</p><p>　　2.2 B樣條曲線的計(jì)算</p><p>　　2.2.1 B樣條曲線方程及正算反算</p><p>　　P次的B樣條曲線方程如下：</p>

56、<p>　　， (2.1) </p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　， 為控制點(diǎn)或控制頂點(diǎn)（control points），又稱De-boor點(diǎn)。依次順序連接成折線，折線組成多邊形，叫做B樣條控制多邊形（control polygon）。</p><p>　　，是p次規(guī)

57、范B樣條的基函數(shù)，它們每一個(gè)都被稱為規(guī)范B樣條，簡(jiǎn)稱B樣條。是定義在非周期且非均勻節(jié)點(diǎn)矢量上的p次B樣條基函數(shù)，規(guī)定節(jié)點(diǎn)矢量是包含個(gè)節(jié)點(diǎn)，且參數(shù)非遞減的序列U：</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　由節(jié)點(diǎn)矢量所決定的p次分段多項(xiàng)式就是p次多項(xiàng)式樣條。</p><p>　　是參數(shù)曲線上對(duì)應(yīng)參數(shù)u的點(diǎn)集。</p

58、><p>　　在本文中，除特殊聲明外，一般規(guī)定節(jié)點(diǎn)矢量的前后重復(fù)節(jié)點(diǎn)為0和1，即 ， 。</p><p>　　在B樣條曲線的計(jì)算中，如果控制頂點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量U已知，要求曲線上的點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程叫做“B樣條曲線的正算”，簡(jiǎn)稱為“正算”。如圖2.1所示，計(jì)算B樣條曲線上的對(duì)于固定的u值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)步驟如下：</p><p>　　首先，確定u在節(jié)點(diǎn)矢量中的位置，即確定u所在節(jié)點(diǎn)區(qū)間；&

59、lt;/p><p>　　然后，計(jì)算非零的基函數(shù)值；</p><p>　　最后，將非零的基函數(shù)值與它所對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)相乘，再求和。</p><p>　　圖 0.1 B樣條曲線正算實(shí)例</p><p>　　Fig.2.1 Compute the B-spline curve from control points</p><p&

60、gt;　　如果在B樣條曲線的計(jì)算中，已知條件為曲線上的若干型值點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量U，可以反求出控制頂點(diǎn)，再由控制頂點(diǎn)算出這條曲線上的全部點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程恰好與正算是相反的，因此在B樣條技術(shù)中簡(jiǎn)稱為“反算”。如圖2.2所示，根據(jù)插值點(diǎn)構(gòu)造節(jié)點(diǎn)矢量的“反算”計(jì)算步驟如下：</p><p>　　由若干型值點(diǎn)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量U；</p><p>　　根據(jù)一定的邊界條件反求出對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)；</p&

61、gt;<p>　　找出所有的非零基函數(shù)；</p><p>　　將非零基函數(shù)與對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)相乘，再求和得到B樣條曲線上所有的點(diǎn)，插值得到該曲線。</p><p>　　圖 0.2 B樣條曲線的反算實(shí)例</p><p>　　Fig.2.2 Compute the B-spline curve from points on curve</p>

62、<p><b>　　節(jié)點(diǎn)矢量的構(gòu)造</b></p><p>　　在B樣條曲線技術(shù)里，控制頂點(diǎn)、曲線上的型值點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量U為三個(gè)必要組成部分，其中和通常一個(gè)為已知量，一個(gè)為未知量。但無(wú)論實(shí)際應(yīng)用時(shí)是哪一種情況，要確定一條B樣條曲線，必須要確定節(jié)點(diǎn)矢量U，進(jìn)一步可求B樣條基函數(shù)。因此，根據(jù)已知量的不同，下面給出了兩種不同的確定節(jié)點(diǎn)矢量的算法：</p><p>

63、;　　當(dāng)已知曲線上的若干型值點(diǎn)，時(shí)，這些已知的點(diǎn)稱為插值點(diǎn)，此時(shí)節(jié)點(diǎn)矢量U由插值點(diǎn)計(jì)算得出。</p><p>　　假設(shè)目標(biāo)是構(gòu)造一條p次B樣條曲線，已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，，利用反算過(guò)程求取節(jié)點(diǎn)矢量時(shí)，一般是讓B樣條曲線的首末端點(diǎn)與所給數(shù)據(jù)點(diǎn)重合，讓內(nèi)部的數(shù)據(jù)點(diǎn)和曲線中間的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，這樣曲線就被中間節(jié)點(diǎn)分成了一段一段的曲線段。因此，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)步驟的關(guān)鍵問(wèn)題是將數(shù)據(jù)點(diǎn)與B樣條曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)依次對(duì)應(yīng)，這里將對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)

64、值定義為，，這是因?yàn)橐话阍谇€的首端點(diǎn)處存在p個(gè)值為0的重節(jié)點(diǎn)（因?yàn)闃?gòu)造的是p次B樣條曲線，這些重節(jié)點(diǎn)不在定義域內(nèi)），曲線的定義域?yàn)椤＿@樣，就可以由個(gè)控制頂點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量 確定一條p次B樣條插值曲線。</p><p>　　這里要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是對(duì)一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化(parameterization)，想要求出唯一的一條插值于數(shù)據(jù)點(diǎn)，的參數(shù)差值曲線，就必須先求出每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)多對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，即節(jié)點(diǎn)（knot

65、）。打個(gè)比方，數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化的過(guò)程就可看成是物理中對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的描述，參數(shù)u是時(shí)間節(jié)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置就是質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的位置，每個(gè)位置都與時(shí)間參數(shù)一一對(duì)應(yīng)。對(duì)于同一組數(shù)據(jù)，采取相同的插值算法，但采取不同的參數(shù)化方法也會(huì)獲得不同的插值曲線。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，人們希望盡量使用能夠充分使用已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)造滿足曲線優(yōu)良性質(zhì)的參數(shù)化方法。</p><p>　　目前對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化的方法主要有四種：向心參數(shù)化法、均勻參數(shù)化法（

66、又叫等距參數(shù)化）、積累弦長(zhǎng)參數(shù)化法（簡(jiǎn)稱弦長(zhǎng)參數(shù)化）、Foley參數(shù)化法（又稱修正弦長(zhǎng)參數(shù)化法）[20]。積累弦長(zhǎng)參數(shù)化法可以看成是粗略的弧長(zhǎng)參數(shù)化，這種方法使得插值曲線有很好的光順性，如圖 0.3表示的是三次B樣條曲線插值實(shí)例。</p><p><b>　　(2.3)</b></p><p>　　其中， 稱向前差分矢量，為弦線矢量。</p><p

67、>　　圖 0.3 三次B樣條曲線插值實(shí)例</p><p>　　Fig.2.3 Interpolation use accumulate chord length on curve</p><p>　　這種參數(shù)化方法跟均勻參數(shù)化方法相比，克服了數(shù)據(jù)點(diǎn)不均勻但弦長(zhǎng)完全分布均勻而造成的光順性不好的缺點(diǎn)，因此一直被實(shí)際應(yīng)用中廣泛使用。在較多情況下，使用積累弦長(zhǎng)參數(shù)化的方法生成的曲線可以看

68、成是粗略的用弧長(zhǎng)進(jìn)行的參數(shù)化，切矢模長(zhǎng)比較接近單位長(zhǎng)度，這也是它具有良好光順性的原因。值得注意的是，光順性除了與參數(shù)化方法有關(guān)，還與曲線插值多用方法有關(guān)，因此應(yīng)當(dāng)全面考慮。</p><p>　　當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)取得足夠密且曲線的插值法選取得當(dāng)時(shí)，插值曲線會(huì)收斂在一定精度內(nèi)，可以看成是近似弧長(zhǎng)參數(shù)化的曲線。但是在工程實(shí)踐中，人們希望用盡可能少的點(diǎn)來(lái)盡量全面完整地表述曲線/曲面的形狀信息，因此，數(shù)據(jù)點(diǎn)也不能過(guò)多。</p

69、><p>　　當(dāng)控制頂點(diǎn)，為已知條件時(shí)，由控制頂點(diǎn)計(jì)算節(jié)點(diǎn)矢量U。</p><p>　　用控制頂點(diǎn)構(gòu)造節(jié)點(diǎn)矢量時(shí)，通常的做法是：為了使構(gòu)造的曲線具有同的Bezier曲線的端點(diǎn)幾何性質(zhì)，令曲線首末端點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)矢量重復(fù)度取。由前面公式(2.2)可知，，因此定義曲線的有效定義域?yàn)?，因此，，。因?yàn)槭啄┑闹貜?fù)節(jié)點(diǎn)對(duì)曲線的形狀控制影響不大，因此我們只需要根據(jù)已知的控制頂點(diǎn)求出對(duì)應(yīng)的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)即可。</

70、p><p>　　這里介紹兩種常用方法。</p><p>　　Riesenfeld法</p><p>　　1980年，Cohen E, Lyche T, Riesenfeld R在文獻(xiàn)[21]中提出了一種將控制多邊形近似看成是樣條曲線的外接多邊形的方法，步驟為先令曲線段的每一段首末端點(diǎn)與控制頂點(diǎn)或控制多邊形的邊對(duì)應(yīng)起來(lái)，然后再將它們展平開(kāi)來(lái)并規(guī)范參數(shù)化，最后得到節(jié)點(diǎn)矢量U

71、的參數(shù)序列。</p><p>　　設(shè)控制多邊形各邊長(zhǎng)分別為， ，邊長(zhǎng)總長(zhǎng)度為 ，若是偶次的B樣條曲線，那么假定所有 個(gè)分線段連接點(diǎn)將和控制多邊形上除端點(diǎn)各 條邊以外的條邊的中點(diǎn)相對(duì)應(yīng)；如果是奇次的B樣條曲線，則假定所有 個(gè)分線段連接點(diǎn)將和控制多邊形上除端點(diǎn)各 條邊以外的條邊的中點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，如圖 0.4所示。</p><p>　　圖 0.4 奇次B樣條曲線段連接點(diǎn)對(duì)應(yīng)的控制多邊形</p

72、><p>　　Fig.2.4 Interpolation use accumulate chord length on curve</p><p>　　下面以三次B樣條曲線為例，求取規(guī)范化后的節(jié)點(diǎn)矢量：</p><p>　　首末端點(diǎn)的重復(fù)度為：</p><p><b>　　(2.4)</b></p><

73、;p><b>　　(2.5)</b></p><p><b>　　(2.6)</b></p><p><b>　　最后可得：</b></p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　Hartley-Judd法</p>

74、<p>　　在文獻(xiàn)[22]中提到一種不需要區(qū)分奇次和偶次B樣條曲線的求節(jié)點(diǎn)矢量的方法，這種方法是利用相應(yīng)的控制多邊形順序p條邊的和代替相鄰頂點(diǎn)之間的距離，即：</p><p><b>　　， (2.8)</b></p><p>　　將所有節(jié)點(diǎn)求和后推導(dǎo)出：</p><p><b>　　，(2.9)</b>

75、</p><p>　　曲線定義域范圍是： 。</p><p>　　下面是用Hartley-Judd法構(gòu)造的三次B樣條曲線， ，因此節(jié)點(diǎn)矢量為 ，定義域?yàn)?。</p><p>　　把分段曲線段加在一起的總長(zhǎng)度設(shè)為，有：</p><p><b>　　(2.10)</b></p><p><b&g

76、t;　　因?yàn)椋?，</b></p><p><b>　　有： ， ， </b></p><p>　　由此可以得知，定義域內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)矢量可求，其中 ，圖示如圖 0.5。</p><p>　　綜上比較兩種已知控制頂點(diǎn)求節(jié)點(diǎn)矢量的方法，不難看出，用Hartley-Judd法比較合理，這是因?yàn)樗炔挥靡虼舜螖?shù)的奇偶性不同而可能導(dǎo)致相鄰分段連

77、接點(diǎn)的參數(shù)值差與相鄰控制頂點(diǎn)的距離不成正比，又因?yàn)橛?個(gè)控制頂點(diǎn)來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的B樣條曲線可以將曲線分成條曲線段，其中每段曲線段的形狀都只受若干頂點(diǎn)影響，這符合B樣條曲線的局部性，這樣在工程實(shí)際中避免了全局修改的麻煩。</p><p>　　圖 0.5 Hartley-Judd法求節(jié)點(diǎn)矢量</p><p>　　Fig.2.5 Determine the node vector with th

78、e Hartley-Judd method</p><p><b>　　基函數(shù)的計(jì)算</b></p><p>　　有很多等價(jià)的研究B樣條基函數(shù)的定義方法，它們都證明了B樣條基函數(shù)的一些重要性質(zhì)，如下表 0.2是幾種B樣條基函數(shù)的定義方法和優(yōu)缺點(diǎn)比較。 </p><p>　　表 0.2 幾種B樣條基函數(shù)的定義</p><p&

79、gt;　　Tab.2.2 The definition of several kinds of b-spline basis function</p><p>　　由于考克斯-德布爾算法采用的是遞推定義，在計(jì)算機(jī)運(yùn)算中很容易被有效實(shí)現(xiàn)，因此這種方法最為常用。下面就詳細(xì)介紹這種方法以及基函數(shù)的重要性質(zhì)。</p><p>　　節(jié)點(diǎn)矢量是一個(gè)單調(diào)不減的實(shí)數(shù)序列，即在中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都滿足， 。用 表

80、示第個(gè)次（ 階）的B樣條的基函數(shù)，其遞推定義為：</p><p><b>　　(2.11)</b></p><p>　　上述公式就被稱為Cox-de Boor遞歸公式。</p><p>　　和Bezier曲線的基函數(shù)相比，B樣條的曲線也可以用作權(quán)重且更復(fù)雜。另外，它還具有兩個(gè)特性：</p><p>　　節(jié)點(diǎn)細(xì)分（subd

81、ivision）了整個(gè)定義域；</p><p>　　基函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，且不是在整個(gè)區(qū)間內(nèi)非零；</p><p>　　事實(shí)上，每個(gè)B樣條基函數(shù)在附近的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)非零，它的本質(zhì)是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)軸上的分段多項(xiàng)式函數(shù)，因此，B樣條基函數(shù)擁有很明顯的局部性質(zhì)。</p><p>　　例如，如果有四個(gè)節(jié)點(diǎn) ，， 和 , 節(jié)點(diǎn)區(qū)間被劃分成 ， ， ，0次基函數(shù)在有，在其它

82、區(qū)間是0；在 上成立，在其它區(qū)間為0；在上，在其它區(qū)間是0。如下圖顯示。</p><p>　　圖 0.6 基函數(shù)的階梯函數(shù)表示</p><p>　　Fig.2.6 Step function representation of basis functions</p><p>　　當(dāng)時(shí)，計(jì)算 的方法使用的是三角計(jì)算格式。所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間列在左邊第一列，所有零次基函數(shù)

83、在第二列。其計(jì)算過(guò)程見(jiàn)下圖。</p><p>　　圖 0.7 計(jì)算p次基函數(shù)的過(guò)程（三角形陣列）</p><p>　　Fig.2.7 The process of calculation basis function of complex curve (triangular array)</p><p>　　根據(jù)公式(2.11)可知，要計(jì)算后一列的數(shù)，就必須知道

84、前一列這個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角區(qū)域內(nèi)的另外兩個(gè)系數(shù)，由這樣遞推計(jì)算可以將所有的系數(shù)都計(jì)算完畢。</p><p>　　例如，舉個(gè)例子，要計(jì)算 的值，首先要計(jì)算 和，由定義有：</p><p><b>　　(2.12)</b></p><p><b>　　帶入節(jié)點(diǎn)值有：</b></p><p><b

85、>　　(2.13)</b></p><p>　　因?yàn)樵诤蜕戏橇?，而在和上非零，所以有一下三種情況討論：</p><p>　　當(dāng)，只有對(duì)的值有貢獻(xiàn)，因?yàn)?，所以有?lt;/p><p><b>　　(2.14)</b></p><p>　　當(dāng)，和都對(duì)的值有貢獻(xiàn)，此時(shí)，，帶入得到：</p><

86、p><b>　　(2.15)</b></p><p>　　當(dāng)，只有對(duì)的值有貢獻(xiàn)，此時(shí)，帶入：</p><p><b>　　(2.16)</b></p><p>　　對(duì)這三種情況畫(huà)圖進(jìn)行分析，若將兩個(gè)相鄰的曲線段連接可以形成在節(jié)點(diǎn)上的曲線。確切地說(shuō)，情況（1）和（2）在 處連接，情況（2）和（3）在 處連接，合成的曲線

87、是光滑的，這是因?yàn)楣?jié)點(diǎn)向量中不存在重節(jié)點(diǎn)，若存在重節(jié)點(diǎn)則可能對(duì)曲線在該重節(jié)點(diǎn)處的可微性造成影響。具體重節(jié)點(diǎn)對(duì)B樣條曲線的影響可詳見(jiàn)第三章。</p><p>　　綜上所述，運(yùn)用遞推算法對(duì)基函數(shù)進(jìn)行計(jì)算有兩個(gè)重要觀察：</p><p>　　基函數(shù)在 個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間 ， ，…， 上非零，即 在 上非零；</p><p>　　在任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間，最多有 個(gè)次基函數(shù)非零，即： ，

88、，…，和 。</p><p>　　最后，研究一下上述式子中定義里兩項(xiàng)系數(shù)的意義。當(dāng)計(jì)算時(shí)，使用的是和。在上非零。當(dāng)時(shí)，是距離這個(gè)半開(kāi)區(qū)間左端的距離，區(qū)間長(zhǎng)度為，其中存在，它表示的是上述距離的比，見(jiàn)圖 0.8。當(dāng)時(shí)非零，在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，是距離這個(gè)半開(kāi)區(qū)間右端的距離，是區(qū)間長(zhǎng)度，而表示這兩個(gè)距離。由此可以得到結(jié)論，是和的線性組合，且存在兩個(gè)在上的系數(shù)使其滿足線性關(guān)系。</p><p>　　圖 0

89、.8 基函數(shù)遞推定義中系數(shù)的幾何意義</p><p>　　Fig.2.8 Geometric meaning of coefficient in basis function recursive definition </p><p><b>　　B樣條曲線插值</b></p><p>　　給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn) , i=0,1,…,n, 即

90、已知在點(diǎn)集上的函數(shù)值，構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)（其圖形為一曲線），使在原離散點(diǎn)上盡可能接近給定的值，這就是曲線擬合。假如這些點(diǎn)是取樣點(diǎn)，要求構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些型值點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程就叫做對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)插值，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)叫做插值點(diǎn)，插值后構(gòu)成的曲線就是插值曲線。把一維曲線插值推廣到二維曲面，就會(huì)產(chǎn)生類似的插值曲面等概念。在給定的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值可以作n次插值多項(xiàng)式，但當(dāng)n較大時(shí)，高次插值不僅計(jì)算復(fù)雜，而且可能出現(xiàn)龍格（Runge）現(xiàn)象。<

91、/p><p><b>　　(2.17)</b></p><p>　　增加新節(jié)點(diǎn)x，并且f(x)為(n+1)階可導(dǎo)時(shí)，有：</p><p><b>　　(2.18)</b></p><p><b>　　(2.19)</b></p><p><b>　

92、　(2.20)</b></p><p><b>　　(2.21)</b></p><p>　　用三次樣條函數(shù)S(x)逼近f(x)是收斂的，并且也是數(shù)值穩(wěn)定的，但其誤差估計(jì)與收斂定理的證明都比較復(fù)雜，有定理結(jié)論：</p><p>　　設(shè)f(x)是[a, b]上二次連續(xù)可微函數(shù)，在[a, b]上，以 為節(jié)點(diǎn)三次樣條插值函數(shù)S(x)滿足：

93、</p><p><b>　　(2.22)</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　而利用三次樣條繪制的曲線不僅具有較好的穩(wěn)定性和收斂性，還有很好的光滑度，當(dāng)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，其函數(shù)值在整體上能很好的逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而不會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，這就滿足了許多實(shí)際問(wèn)題的

94、要求。如</p><p>　　圖 0.9是一條光滑三次B樣條插值曲線實(shí)例</p><p>　　圖 0.9 三次B樣條插值曲線實(shí)例</p><p>　　Fig.2.9 Cubic B-spline interpolation curve instance</p><p><b>　　B樣條曲面的計(jì)算</b></p

95、><p>　　2.3.1 B樣條曲面的定義</p><p>　?。聵訔l曲面是曲線的推廣。在微分幾何里，仿照Ｂ樣條曲線的方程，可以把曲面表示成含雙參數(shù)和的矢函數(shù)：</p><p><b>　　(2.23)</b></p><p>　　用基表示成一種特殊的矢函數(shù)形式，即：</p><p><b&g

96、t;　　(2.24)</b></p><p>　　其中，，，分別為以為變量的一組基函數(shù)，表示曲線。各取它們一組相乘即可得到一組定義曲面的雙變量基函數(shù)。是系數(shù)矢量。</p><p>　　在解析幾何里，這種用參數(shù)表示的曲線/曲面稱為參數(shù)曲線/曲面，和隱函數(shù)、顯函數(shù)等非參數(shù)形式相比具有以下優(yōu)點(diǎn)：</p><p>　?。?） 幾何不變性：基不隨坐標(biāo)變換而變化，因

97、此可通過(guò)某種變換處理達(dá)到表示結(jié)果簡(jiǎn)便的效果；</p><p>　?。?） 易于規(guī)定曲線/曲面的范圍，易于表示空間曲線/曲面；</p><p>　　（3） 用基表示曲線/曲面易于計(jì)算，易于處理多值問(wèn)題；</p><p>　?。?） 易于分片、分段描述曲線/曲面。</p><p><b>　　2.4 本章小結(jié)</b><

98、;/p><p>　　本章首先介紹了形狀數(shù)學(xué)描述的幾種方法，分別對(duì)它們的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了比較。然后，從B樣條的定義出發(fā)介紹了B樣條曲線的正算反算、節(jié)點(diǎn)矢量、基函數(shù)和插值。其中，詳細(xì)地介紹了B樣條曲線的基函數(shù)，并給出了具體的計(jì)算例子，這是因?yàn)榛瘮?shù)決定了曲線/曲面的性質(zhì)，而系數(shù)矢量決定的是曲線/曲面的形狀。最后，由于B樣條曲面是由B樣條曲線擴(kuò)展而來(lái)的，曲面論上對(duì)定點(diǎn)的臨近性態(tài)定量描述都是由曲面上某條曲線引出的，而曲線和曲面實(shí)

99、際上就是分別用單參數(shù)和雙參數(shù)基表示的矢函數(shù)形式，因此基于這一事實(shí)，第三小節(jié)對(duì)曲面的定義和計(jì)算進(jìn)行了介紹，并用matlab仿真給出了實(shí)際算例。</p><p>　　基于截面測(cè)量數(shù)據(jù)光順擬合B樣條曲線</p><p>　　在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，目前應(yīng)用的主流的適用于曲線/曲面造型的方法包括：參數(shù)樣條函數(shù)、Bezier曲線/曲面和B樣條曲線/曲面。而在實(shí)際工程中，關(guān)于曲面造型的方法大致可以分成兩類

100、：模型設(shè)計(jì)和參數(shù)設(shè)計(jì)。</p><p>　?。?） 模型設(shè)計(jì)：就是根據(jù)已有的模型外觀和一定的數(shù)據(jù)信息，用計(jì)算機(jī)在一定公差范圍內(nèi)根據(jù)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)模型。例如：傳統(tǒng)的汽車工業(yè)中，車身造型一般先由美工師傅手工制作出車身的油泥模型，測(cè)得實(shí)物模型上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，然后用樣條函數(shù)、Bezier曲面或B樣條曲面去擬合。還有一種利用光順曲線/曲面擬合出設(shè)計(jì)模型的型值點(diǎn)，這種情況可見(jiàn)于船體造型的線型數(shù)學(xué)放樣和航空航天的模線放樣。&l

101、t;/p><p>　?。?）參數(shù)設(shè)計(jì)：和模型設(shè)計(jì)相反，是設(shè)計(jì)人員先確定設(shè)計(jì)概念，可能只從一些粗略的方案中獲得原始參數(shù)，然后根據(jù)這些參數(shù)決定曲線的控制多邊形頂點(diǎn)，再將這些多邊形線聯(lián)結(jié)成決定曲面的控制多邊形網(wǎng)格。例如：沖動(dòng)式汽輪機(jī)中的葉輪一般就是屬這類造型，從頭設(shè)計(jì)。</p><p>　　雖然前人給我們的研究開(kāi)拓了寶貴的財(cái)富，但采用文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[4]兩種方法擬合曲面卻擁有一個(gè)共同的不足之處，那

102、就是它們對(duì)初始數(shù)據(jù)點(diǎn)都要求呈現(xiàn)規(guī)則的拓?fù)渚匦侮嚵?，針?duì)截面測(cè)量所得的數(shù)據(jù)也要求測(cè)量點(diǎn)數(shù)完全相同，然而結(jié)合工程上我們遇到的實(shí)際問(wèn)題來(lái)看，這樣顯然是不滿足那些測(cè)量數(shù)據(jù)不均勻的常見(jiàn)情況的。因此，結(jié)合本文將這兩種方法結(jié)合起來(lái)，提出了一種針對(duì)各截面測(cè)量數(shù)據(jù)可以不等的光順擬合B樣條曲線/曲面的方法，分析擬合精度并給出了大量的數(shù)值算例。</p><p>　　考慮到在實(shí)際工程中，原始測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)是通過(guò)測(cè)量工具，例如三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)

103、量來(lái)采集的，這種方法本身就存在一定測(cè)量誤差，因此本文只給出了曲面造型的基本框架而并不要求該造型曲面嚴(yán)格地通過(guò)每個(gè)測(cè)量出的型值點(diǎn)，這樣擬合出來(lái)的曲面更符合工程實(shí)際要求。</p><p><b>　　三次均勻B樣條</b></p><p>　　三次均勻B樣條： http://www.docin.com/p-341163234.html</p><p&g

104、t;　　http://www.docin.com/p-341163234.html</p><p>　　重節(jié)點(diǎn)對(duì)B樣條曲線的影響</p><p>　　http://blog.csdn.net/tuqu/article/details/5350481</p><p>　　3.2 最小二乘逼近</p><p>　　大厚書(shū)P56、320、<

105、/p><p>　　3.3 B樣條曲線的光順擬合算法</p><p>　　光順性（smoothness或fairness）是在CAGD中應(yīng)用很廣泛但目前仍沒(méi)有統(tǒng)一的判據(jù)?；谖锢硇纬傻淖冃吻€總是光順的事實(shí)以及實(shí)際需要的角度，可以提出過(guò)同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)且具有相同邊界幾何約束的兩條平面插值曲線相對(duì)光順性的四項(xiàng)判據(jù)：</p><p>　　a)二階幾何連續(xù)（指位置、切線方向與曲

106、率矢量連續(xù)，簡(jiǎn)稱曲率連續(xù)，記為G2）；</p><p>　　b)不存在奇異點(diǎn)與多余拐點(diǎn)；</p><p>　　c)曲率變化較??；</p><p><b>　　d)應(yīng)變能較小。</b></p><p>　　這里的邊界幾何約束是指邊界條件中與參數(shù)無(wú)關(guān)的那些幾何信息，如切線方向和曲率，與參數(shù)有關(guān)的信息如切矢模長(zhǎng)等不包含在

107、內(nèi)。將光順判據(jù)定位于幾何連續(xù)是因?yàn)槎A參數(shù)連續(xù)并不能保證切線方向與曲率連續(xù)，而其逆命題切線方向與曲率連續(xù)也不以一定是二階參數(shù)連續(xù)。</p><p>　　對(duì)于空間曲線來(lái)說(shuō)，其形狀由曲率函數(shù)與撓率函數(shù)及Frenet標(biāo)架的連續(xù)性完全確定。就參數(shù)三次樣條曲線而言，曲率與Frenet標(biāo)架是連續(xù)的，而撓率是不連續(xù)函數(shù)?？紤]撓率因素，應(yīng)計(jì)算在連接點(diǎn)處三階導(dǎo)矢的變化量是否過(guò)大。除此之外，就只能考慮曲率函數(shù)。因此，可以取其在兩個(gè)坐

108、標(biāo)平面上的投影，并分別按平面曲線繪出曲率圖來(lái)分析和判斷光順曲線。Sabin（薩賓，參見(jiàn)施法中98，1968）曾經(jīng)提出，對(duì)曲率半徑隨弧長(zhǎng)變化圖的頻率分析作為光順性的某個(gè)度量—占支配地位的頻率越低，曲線就越光順。法林（1988）在此基礎(chǔ)上給出定義：一條曲線是光順的，如果它的曲率圖是連續(xù)的且僅由一些單調(diào)段組成。</p><p>　　3.2.1 算法思想概述</p><p>　　自己確定一條三次

109、非均勻B樣條曲線，確定公差0.05。在原始曲線上選取粗糙的及個(gè)點(diǎn)，通過(guò)坐標(biāo)獲取節(jié)點(diǎn)矢量并反求控制頂點(diǎn)。通過(guò)等弦長(zhǎng)參數(shù)化法處理初始采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)后，轉(zhuǎn)化成Beaier曲線，并求Beaier曲線段數(shù)，離散選點(diǎn)，求得點(diǎn)坐標(biāo)和下標(biāo)，擬合曲線。將獲得的擬合曲線再進(jìn)行離散，繪制擬合的B樣條曲線，并返回轉(zhuǎn)換后的Bezier曲線段數(shù)（因?yàn)閮蓚€(gè)端點(diǎn)一定在擬合曲線上，所以不將其計(jì)算在內(nèi)，以新的Bezier曲線段的每段端點(diǎn)為擬合點(diǎn)離散，因?yàn)锽eaier曲線段數(shù)一

110、定，所以離散點(diǎn)數(shù)一定），獲取擬合曲線上的離散點(diǎn)，并計(jì)算各離散點(diǎn)到原始曲線的最小距離，查找最小距離中的最大值及其位置，判斷該值與公差0.05之間的大小關(guān)系。若滿足要求，中斷循環(huán)；否則繼續(xù)插值。直到新擬合出來(lái)的曲線滿足公差，程序結(jié)束。稱擬合出來(lái)的新曲線叫替代曲線。</p><p>　　3.2.2 數(shù)學(xué)模型</p><p>　　（1） B樣條曲線的構(gòu)造</p><p>

111、　　（2） B樣條曲線的反求</p><p>　　求出節(jié)點(diǎn)矢量后，可以根據(jù)公式(2.1)給出個(gè)矢量方程，其中個(gè)控制頂點(diǎn)為未知量，方程如下：</p><p><b>　　(2.25)</b></p><p>　　由于未知量數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，因此式(2.25)沒(méi)有唯一解，要獲得唯一的控制頂點(diǎn)網(wǎng)格，這就需要添加個(gè)額外輔助方程。通常這些輔助方程是根據(jù)邊界