自由曲面最優(yōu)參數(shù)化研究.pdf

1、自由曲線曲面造型技術(shù)一直是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的重點(diǎn)，在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫、計(jì)算機(jī)游戲、人機(jī)交互及虛擬現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中起重要作用。曲面參數(shù)化的好壞很大程度上影響曲面紋理映射、曲面可視化、曲面離散算法的結(jié)果[11-14]。自由曲面具有二維參數(shù)域到三維空間域的有理多項(xiàng)式映射關(guān)系。通過曲面的重新參數(shù)化[11-14]，曲面可以得到無窮多的不同的參數(shù)化表達(dá)。因此，根據(jù)實(shí)際應(yīng)用可以選擇出合適的參數(shù)化得到最優(yōu)結(jié)果。
　　非均勻有理B樣條(NURBS)

2、因其數(shù)學(xué)模型表達(dá)的統(tǒng)一而成為長(zhǎng)期以來使用最廣泛的曲面表達(dá)形式。但其控制網(wǎng)格嚴(yán)格要求矩形網(wǎng)格形式的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因此在曲面造型過程中，需要額外添加控制頂點(diǎn)來滿足其拓?fù)湫枨?，這既帶來了更多的控制頂點(diǎn)數(shù)據(jù)，又給后期曲面算法的設(shè)計(jì)和處理引入更高的代價(jià)。為了突破拓?fù)湎拗茙淼木窒?，Sederberg等首次根據(jù)NURBS曲面推廣定義了T樣條曲面，同時(shí)，該曲面引入了T節(jié)點(diǎn)，使得曲面控制網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不再是傳統(tǒng)的矩形結(jié)構(gòu)，能夠在保持曲面幾何造型的同時(shí)，去掉多

3、余的控制頂點(diǎn)[48]。
　　本文從自由曲面參數(shù)化中幾個(gè)重要的特性出發(fā)，使用自由曲面的微分幾何知識(shí)，給出了自由曲面參數(shù)化中正交性、保面積性和保角性的數(shù)學(xué)定義，針對(duì)不同自由曲面如Bézier曲面、NURBS曲面、T樣條曲面的特點(diǎn)，分別討論了滿足特定參數(shù)化特性的約束條件及優(yōu)化方法。對(duì)于曲面參數(shù)化正交特性，以Bézier曲面為例，推理并討論了其需要滿足的數(shù)學(xué)公式。發(fā)現(xiàn)了在正交特性下與控制頂點(diǎn)相關(guān)的約束條件[69]，得出了兩個(gè)參數(shù)方向上雙1

4、次為長(zhǎng)方形的結(jié)論以及雙2次的構(gòu)造算法。最后討論了擴(kuò)展到任意次數(shù)Bézier曲面正交參數(shù)化的構(gòu)造方法。針對(duì)曲面參數(shù)化保角特性，以NURBS曲面為例，介紹了幾種NURBS曲面參數(shù)化中常用的變換，然后詳細(xì)地推導(dǎo)了基于微分第一基本形式的保角能量，并使用辛普森法則給出其保角能量的數(shù)值估計(jì)。隨后介紹了對(duì)給定的NURBS曲面如何使用一般雙線性變換得到其最優(yōu)保角參數(shù)化，最后展示了算法的流程和應(yīng)用結(jié)果。在曲面的保面積重新參數(shù)化方面，以T樣條曲面為例，給出