維數(shù)變換與問題求解的畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢業(yè)論文（設(shè)計）</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前言1</b></p><p><b>　　1 降維1</b></p><p><b>　　1.1 減元1

2、</b></p><p><b>　　1.2 降次3</b></p><p>　　1.3 空間維數(shù)降低5</p><p><b>　　2 升維8</b></p><p><b>　　2.1 增元8</b></p><p><b

3、>　　2.2 增次10</b></p><p>　　2.3 維系增加11</p><p>　　3 維數(shù)變換在教學(xué)中的應(yīng)用12</p><p><b>　　3.1展開13</b></p><p><b>　　參考文獻：15</b></p><p>&

4、lt;b>　　致謝16</b></p><p><b>　　維數(shù)變換與問題求解</b></p><p>　　學(xué)生：黃子勇（指導(dǎo)老師：平靜水）</p><p>　?。ɑ茨蠋煼秾W(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系）</p><p>　　摘 要: 本文結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題教學(xué)，對維數(shù)變換與問題求解，作一較為系統(tǒng)地介紹和深

5、入的研究，達到對其規(guī)律性的認識。主要通過升維與降維兩個方面來對維數(shù)變換來進行研究，以達到解決相關(guān)問題的目的。</p><p>　　關(guān)鍵詞: 降維；升維；維數(shù)變換。</p><p>　　Dimension transform and Problem solving</p><p>　　Student:Huang Ziyong(Faculty Adviser：Ping

6、Jingshui)</p><p>　　(Department of mathematics and Computing Sciences, Huainan Normal University)</p><p>　　Abstract: Combining with the middle school mathematics teaching and the problem solving

7、teaching, on dimension transformation and problem solving, introduce a more systematic and in-depth research by dimension reduction and dimension raising, to achieve the understanding of the regularity.</p><p&

8、gt;　　Keywords: Dimension reduction; Dimension raising; Dimension transformation</p><p><b>　　前言</b></p><p>　　在中學(xué)解題教學(xué)中，對維數(shù)變換缺乏較為深入系統(tǒng)地研究。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法中, 維數(shù)變換是極其重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。升維和降維是維數(shù)變換的分支與拓展，

9、但教材對其介紹和討論的很少，但解題中經(jīng)常會遇到需要用升維和降維的思想方法求解。升維和降維都是為了讓常規(guī)思路下不易解決的繁瑣問題簡單化。降維的特點在于將高維問題轉(zhuǎn)化為底維問題，使復(fù)雜問題變得易于理解；而升維則是將復(fù)雜問題置于較大的知識空間中，通過對變量的增加，使問題在這一空間中的關(guān)系變得更加容易理解。升維和降維在問題中的形式，主要通過數(shù)式及形狀表現(xiàn)出來；在數(shù)式方面體現(xiàn)在未知量或次數(shù)的增減變化；在形的方面表現(xiàn)為空間維數(shù)的變化及其數(shù)量關(guān)系在橫

10、向聯(lián)系中的不同層次變化。</p><p><b>　　1 降維</b></p><p>　　降維是將一個高維轉(zhuǎn)變成幾個低維問題，即應(yīng)選擇幾個合適的平面去觀察和分析。例如在立體幾何與平面幾何轉(zhuǎn)化中，對于立體幾何中的體對應(yīng)平面幾何中的面，對于立體幾何中的面對應(yīng)著平面幾何中的線段，對于立體幾何中的線段對應(yīng)著平面幾何中的線段；由于高維問題較底維問題比較抽象、復(fù)雜，難于理解，所

11、以通過選取適當(dāng)看待問題的方式，運用降維的思想將維度降低，這樣復(fù)雜抽象的問題就變得易于解決；降維的優(yōu)勢在于把在空間中不易被發(fā)現(xiàn)的元素間的關(guān)系，在二維圖中更形象的展現(xiàn)出來，從而使我們能夠從簡到繁，層層深入的去解決問題。</p><p><b>　　1.1 減元</b></p><p>　　“元”即元素，是求解問題中的未知量，具有相對性；減元是一種化多為少，化繁為簡的重要思

12、想方法。我們經(jīng)常通過代入法、消元法等，將問題中元素減少，可以更加直觀的去解決問題。</p><p>　　巧設(shè)減元，主要體現(xiàn)在利用待定系數(shù)法解決相關(guān)問題，根據(jù)題目考察的目的，技巧性的使待定的系數(shù)盡量減少，不僅可以簡化解題過程，而且可以更加準確的解決問題。</p><p>　　消元減元，就是在解方程時，一般是通過代入消元法、加減消元法等，使方程的變元逐漸減少，直至化成一元一次或一元二次方程來解

13、決。例如在數(shù)列求和中，使用的錯位相消法，就是根據(jù)已知問題的特點進行裂項，轉(zhuǎn)化成遞推關(guān)系式，然后消去過程中出現(xiàn)的變元，這樣可以達到解決問題的目的。</p><p>　　例1：設(shè)數(shù)列{}的前項和為(),已知，（1）求數(shù)列{}的通項公式。（2）求。</p><p>　?。?）根據(jù)這種遞推形式，將含、、的關(guān)系式在運算過程中出現(xiàn)的中間變量消去，達到減元目的，然后變成的形式。再通過構(gòu)造得出新等比數(shù)列{

14、-2}，從而可求出=2-。</p><p>　?。?）原式直接求和很難計算，若將通項拆開成為的形式，就可以利用錯位相消法減元將其化為</p><p>　　同名異名相互轉(zhuǎn)化減元，有些問題可以用已知結(jié)論或公式進行減元。例如在解決關(guān)于三角函數(shù)問題時，通過正弦與余弦的關(guān)系，將問題中出現(xiàn)的正弦轉(zhuǎn)化為余弦或余弦轉(zhuǎn)化正弦，其實這就是將問題中的異名化為同名，即化成一種函數(shù)的形式。</p>&

15、lt;p>　　例2：求方程-+1=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　∵， </b></p><p><b>　　∴當(dāng)時，-，故。</b></p><p><b>　　當(dāng)時，-+1，故。</b>

16、</p><p>　　所以原方程的解為：,+或者，+。 </p><p>　　方程(組)中變化的量多于方程(組)個數(shù), 常用方程(組)中元素的關(guān)系及其的特殊性進行解決, 這里利用的有界性。</p><p>　　變更主元減元，通常把給定的數(shù)字或條件作為自變量，其他字母作為因變量，有時若改變常規(guī)思維，轉(zhuǎn)換思考方式，可以通過變更主元思考讓復(fù)雜問題變得更加簡單，更易于解決。

17、</p><p>　　例3：已知實數(shù)、、滿足: , ;證明：、、都非正數(shù)且小于。</p><p>　　證明: 視z為常量, </p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　， ②</b><

18、;/p><p>　　①、②兩式幾何意義是直線與圓=有公共點，故有：</p><p>　　解此不等式, 考慮到,可得,。</p><p><b>　　同理可證: ，。</b></p><p>　　將變量看做常量, 使問題中的變量與常量關(guān)系變得簡單, 更易于應(yīng)用熟悉的知識解決, 體現(xiàn)了以守為攻、以退為進的策略。</p>

19、;<p><b>　　1.2 降次</b></p><p>　　降次就是降低次數(shù)，即將問題中的高次冪降為低次冪，常用渠道有兩種，直接降次和間接降次；常用方法有利用條件及公式,、利用函數(shù)的性質(zhì)、作變換等進行化簡; 從逆向思維角度講, “反客為主”策略是一種經(jīng)常使用的間接降次方法之一。</p><p>　　利用條件和公式進行降次，即通過對條件或者公式進行變化

20、得到易于解決且不違背已知的公式或性質(zhì)的特點，可將問題中的高次降為低次進行解決。</p><p>　　例4. 若關(guān)于的方程有實根，求實數(shù)k的取值范圍。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　原方程變形為：</b></p><p><b>　　即</b&g

21、t;</p><p><b>　　∵</b></p><p><b>　　∴； </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　∴k的取值范圍是[]</p><p>　　通過對已知函數(shù)進行變形，即將問題轉(zhuǎn)化幾個因式乘積的形式，或設(shè)

22、一個中間變量代入，將問題轉(zhuǎn)換為幾個一次次方程進行求解，但進行轉(zhuǎn)化根據(jù)實際情況進行。</p><p>　　例5. 設(shè)為實數(shù), 試求出關(guān)于的四次方程 -++-3=0的實數(shù)根的圍。 </p><p><b>　　解：</b></p><p>　　將方程轉(zhuǎn)換為關(guān)于的一元二次方程即：</p><p><b>　　∵<

23、;/b></p><p><b>　　∴△=4-4</b></p><p><b>　　∴</b></p><p>　　∴,因此方程實根y的范圍為。</p><p>　　改變常規(guī)思路，將作為主元，將原問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用求根判別式進行判斷，從而求出的取值范圍。</p>&

24、lt;p>　　利用反客為主、以守為攻的思想對所求解的問題進行降次，即通過綜合分析法將高次方程轉(zhuǎn)化低次方程進行解決。在數(shù)學(xué)解題中，通過變換思考方式，反客為主，以守為攻，往往能提高解題效率，使問題迎刃而解。</p><p>　　例6．解方程組 </p><p><b>　　解：</b></p><p>　　由(1)得

25、 </p><p>　　把(3)代入(2)中得:</p><p>　　2-3+-4+3-3=0</p><p><b>　　化簡得,即 </b></p><p><b>　　∴ , </b></p><p>　　

26、將代入(3),得=3. </p><p>　　將=.代入(3)，得=. </p><p>　　∴方程組解是：或 。 </p><p>　　1.3 空間維數(shù)降低</p><p>　　研究高維問題時，由于高維問題比較抽象，我們通常采取降維對問題進行研究，包括對維度的降低、次數(shù)的降低以及元的減少。對于高維空間通過降低維度，將問題簡單化，經(jīng)常用到的

27、方法有圖形的平移、圖形的射影、作輔助平面等。</p><p>　　幾何問題與函數(shù)問題轉(zhuǎn)化，實質(zhì)上就是維度與次數(shù)的轉(zhuǎn)換，主要表現(xiàn)在高維與高次、高維與低次以及低維與低次之間的轉(zhuǎn)化。通過維度的轉(zhuǎn)換了解圖形運動變化規(guī)律，能在腦海中形成一定的認識，有利于培養(yǎng)這方面的思維能力，同時對運用函數(shù)與幾何知識相結(jié)合，提煉出聯(lián)系點，在解決問題方面的能力提出了新的要求。</p><p>　　例7 已知過點、點，

28、將其向左進行平行移動，與軸、軸分別交于點、點，使=。求所在直線的函數(shù)方程。</p><p>　　[分析]因為經(jīng)過、兩點，所以求得函數(shù)解析式為。因為向左平行移動，所以所在直線斜率與相同，因此我們可以設(shè)所在直線方程為y=-2x+b，由于=，可得出點的坐標(biāo)是，從而有，所以所在直線的解析式為。</p><p><b>　　【點撥】</b></p><p&g

29、t;　　由一條直線通過平原得到另一條直線，則它們斜率是相同的。</p><p>　　怎樣通過已知條件與所學(xué)的函數(shù)的知識進行聯(lián)系，運用它們聯(lián)系的關(guān)鍵點是解決問題的突破口。</p><p>　　通過平移，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，從而利用平面幾何知識解決所求問題。</p><p>　　例8. 已知三棱錐 O-ABC是正三棱錐，且,如果A D、OE分別為 的中線,

30、求異面直線DE與OA所成的角？</p><p><b>　　解: </b></p><p>　　如圖 1, 過E點在面 SAB 內(nèi)作 EF/ / OA</p><p>　　∵AD、OE分別為的中線</p><p>　　∴ DF= BC= OA</p><p>　　易于證明DE⊥OC，在中，<

31、/p><p><b>　　求得DE=OA</b></p><p>　　在△DEF中，由余弦定理得：</p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　從而=45°</b></p><p>　　平面中的線段長度之間的關(guān)系，在三維空間

32、中體現(xiàn)在面與面在面積之間的關(guān)系，這就體現(xiàn)著類比的思維在維度轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用。</p><p>　　例9 定理：已知一平面面積為，它在另一平面內(nèi)的射影面積為，則兩平面所成的二面角的余弦值為.</p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　如圖，平面平面，平面平面，平面為平面的射影，作</p><p><

33、;b>　　于，，</b></p><p>　　∴OD在內(nèi)的射影為.</p><p><b>　　又，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　為二面角—BC—的平面角.</p><p>　　設(shè)△OBC和△的面積分別為S和，，則.&

34、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　2 升維</b></p><p>　　其實升維就是把維度低的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成維度高的數(shù)學(xué)問題，這樣一些繁瑣的數(shù)學(xué)問題就能變得簡單化，這正是我們數(shù)學(xué)的一個重要的解題方法。同時升維的運用還能幫助學(xué)生更多的了解數(shù)學(xué)的奇妙，學(xué)到更多的數(shù)學(xué)知識，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思

35、維。所以升維是我們數(shù)學(xué)中的重要知識點。</p><p><b>　　2.1 增元</b></p><p>　　有些問題類型比較復(fù)雜，通過引入新的元素，以利于在較大的知識系統(tǒng)中進行整體把握。</p><p>　　例10.解方程:+=18</p><p><b>　　解：</b></p>

36、<p>　　原方程化為：+=10</p><p>　　令y=3,則方程變?yōu)椋?=10</p><p>　　如果把（x，y）看作是橢圓上的點，把(-3,0)和（3，0）看作是橢圓的焦點，則橢圓的方程為：</p><p>　　將y=3代人，求得，經(jīng)驗證x1、x2為方程的解。</p><p>　　將一元問題升為二元問題，由二元方程在直角坐

37、標(biāo)系的軌跡方程可使問題形象化，方便解題。此法在求解最值、參數(shù)的范圍以及化簡求值時常用。</p><p>　　有些應(yīng)用形題目已知條件較少，很難發(fā)現(xiàn)解題途徑。通過增加中間變量，可以使問題串聯(lián)起來。此法與列方程解應(yīng)用題中的設(shè)未知量不同，這個中間變量就是所增設(shè)的元，最終將所增設(shè)的“元”在運算過程中將會消去。</p><p>　　例11．一個長方體兩側(cè)面積之和是54，上下底面面積之和是40，上下底面

38、周長C是18，求長方體容積V是多少？</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　設(shè)長方體的長是cm、寬是cm、高是cm，則有</p><p>　　×2=，即×2=94</p><p><b>　　=，即=20，則</b></p><p>

39、;<b>　　20+=47。 </b></p><p><b>　　則　</b></p><p>　　所以V=h=60(cm3)</p><p><b>　　也可這樣設(shè)，如圖：</b></p><p>　　三個相鄰表面積的和為：+=47</p><p>

40、　　由底面積知+=27。</p><p>　　即由和拼成的長方形的長為9，由長加寬乘以高等于兩個相鄰面積，知道高，從而求出體積。</p><p><b>　　2.2 增次</b></p><p>　　通過增次往往可減少一些不必要的分類討論的麻煩，諸如含絕對值問題以及連不等式問題。</p><p><b>　　例

41、12．證明：= </b></p><p>　　分析：求的和，可通過增次的方法來進行解決。</p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b&

42、gt;　　.</b></p><p><b>　　上式相加可得：</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　經(jīng)移項、合并可得：</b></p><p><b>　　= </b></p><

43、p><b>　　所以上式得證。</b></p><p>　　例13. 解方程：+ = 2</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　令, </b></p><p>　　則有 </p><p&g

44、t;<b>　　由①、②可得：</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　2.3 維系增加</b></p><p>　　對低維空間問題轉(zhuǎn)化為高維空間問題研究，達到對低維問題有深刻的認識，便于解決相關(guān)問題。通過類比的方法，利用平面中的方法和技巧，解決空間中的問題。比如在

45、解決空間中的勾股定理，主要利用平面勾股定理的思路。</p><p>　　例14在三維空間中的勾股定理為：直四面體的三個側(cè)面面積分別為、、，底面面積為，則有。</p><p>　　解析：三維空間的勾股定理的證明，利用的是平面勾股定理的思路，二維空間中的線類比到三維空間的面，二維中的長度的平方和類比到三維空間中的面的平方和，在類比的過程中，維度的變化是關(guān)鍵。比如在二維中勾股定理是兩個直角邊的平

46、方和，而在三維中是三個面的平方和。</p><p>　　證明：設(shè)為直四面體，，設(shè)，，</p><p>　　過O作ODAB則由三垂線定理知CDAB，令OD=m，CD=n，則= </p><p>　　則三個側(cè)面的面積和底面面積分別為：</p><p><b>　　==m</b></p><p&

47、gt;<b>　　=</b></p><p><b>　　=ac</b></p><p><b>　　=n=</b></p><p><b>　　++=(+)++</b></p><p><b>　　=(+)+(+)</b></

48、p><p><b>　　=(+)(+)=</b></p><p><b>　　∴++=</b></p><p>　　據(jù)此, 在解題中通過對問題考察的情境進行適當(dāng)升維和降維, 有利于轉(zhuǎn)換我們思考問題角度和方式, 并使問題中的聯(lián)系在新的維系中更加直接,便于理解；經(jīng)常進行升維和降維的練習(xí), 有助我們更易理解系統(tǒng)知識，更加清楚認識他們

49、之間的聯(lián)系，對于培養(yǎng)思維的靈活性有著重要作用。</p><p>　　3 維數(shù)變換在教學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　掌握維數(shù)變換一些形式對如何培養(yǎng)學(xué)生的平面觀念、空間觀念有一定的引導(dǎo)作用，也為平面幾何與空間幾何的教學(xué)實踐找到了理論依據(jù)，對于教學(xué)理論認識的水平有一定的提高。在我實習(xí)期間我對數(shù)學(xué)教學(xué)中描述的立體幾何的主要表現(xiàn)的理解是：能把實物的形狀轉(zhuǎn)變成平面中的幾何圖形，同時也能根據(jù)平面圖形描

50、述出實物圖形，這樣就能把平面圖形、立體圖形、實物圖形之間的轉(zhuǎn)化區(qū)分開來并加以應(yīng)用。運用類比的思想，可以把平面幾何中的點類比到立體幾何中的線，把平面幾何中的線類比到立體幾何中的面，把平面幾何中的線類比到立體幾何中的體，以及把平面中的長度類比到立體中的面積，平面中的面積類比到立體中的體積。像這些類比都是我們數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的，于此同時也很好地從初中的平面數(shù)學(xué)過度到高中的立體數(shù)學(xué)。</p><p>　　立體幾何問題和平面

51、幾何問題的轉(zhuǎn)換，也就是低維和高維的相互轉(zhuǎn)換。通過維度間的轉(zhuǎn)換可使抽象問題變得具體。</p><p><b>　　3.1展開</b></p><p>　　通過將立體圖形進行展開，將抽象的空間立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。</p><p>　　例15.求圓柱的表面積的時候，我們可以將圓柱展開成平面圖形進行解決。</p><p>&

52、lt;b>　　總結(jié)</b></p><p>　　維數(shù)變換包括升維與降維兩個方面。故本文結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題教學(xué)，對維數(shù)變換與問題求解，作一較為系統(tǒng)地介紹和深入的研究，達到對其規(guī)律性的認識，以期對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的借鑒意義。升維和降維是維數(shù)變換的分支與拓展，但教材對其介紹和討論的很少，但解題中經(jīng)常會遇到需要用升維和降維的思想方法求解。升維和降維都是為了讓常規(guī)思路下不易解決的繁瑣問題簡單化。降維

53、的特點在于將高維問題轉(zhuǎn)化為底維問題，使復(fù)雜問題變得易于理解；而升維則是將復(fù)雜問題置于較大的知識空間中，通過對變量的增加，使問題在這一空間中的關(guān)系變得更加容易理解。升維和降維在問題中的形式，主要通過數(shù)式及形狀表現(xiàn)出來；在數(shù)式方面體現(xiàn)在未知量或次數(shù)的增減變化；在形的方面表現(xiàn)為空間維數(shù)的變化及其數(shù)量關(guān)系在橫向聯(lián)系中的不同層次變化。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p>

54、<p>　　[1] 吳忠山. 談解題中的升維與降維[J]. 安徽技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報,2001,(03):67-69.</p><p>　　[2] 謝廣喜. 對稱、升(降)維思想方法及其應(yīng)用[J]. 試題與研究,2005,(14):26-29.</p><p>　　[3] 張芳,徐文雄. 關(guān)于約束極值問題降維法的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,(06):130-133</p

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56、<p>　　[7] 葉挺彪. 平面幾何問題的升維處理[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué),2012,(11):22-23.</p><p>　　[8] 沈良. 略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通訊,2012,(24):1-3.</p><p>　　[9] 張國治. 降維法解一類空間軌跡問題[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué),2005,(23):22.</p><p>　　[1

57、0] 姜峰. “降維法”解題的“四化”策略[J]. 物理教學(xué)探討,2007,(08):16-18.</p><p>　　[11] 續(xù)鐵權(quán). 一組對稱函數(shù)的不等式[J]. 首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2004， （01）：7-11 2004,(01):7-11.</p><p>　　[12] 田英,周航. 利用降維法求平面上的全局最優(yōu)解[J]. 武警工程學(xué)院學(xué)報，2008

58、， （02）:8-10</p><p>　　[13] 周繼東主編. 幾何與線性代數(shù). 南京市：河海大學(xué)出版社, 2004.06.</p><p>　　[14] 李乃華，趙芬霞，劉振航編著. 線性代數(shù)及其應(yīng)用. 北京市：高等教育出版社,2010.08.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本論文

59、是在平靜水老師的悉心指導(dǎo)下完成的。從畢業(yè)設(shè)計題目的選擇，到對選擇課題的研究和論證，開題報告的撰寫，再到本本論文正題設(shè)計的編寫、修改，每一步都有平老師的細心指導(dǎo)和認真的解析，對此我一直心懷感激。感謝數(shù)學(xué)系全體老師，你們嚴謹?shù)慕虒W(xué)態(tài)度，教人求真的教學(xué)理念，使我掌握了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為畢業(yè)論文的完成打下了良好的基礎(chǔ)。同時也感謝我身邊的同學(xué)，你們?yōu)槲覀鬟f著有關(guān)畢業(yè)論文的信息，在論文的修改方面提供了重要的幫助，教會了我使用基本的數(shù)學(xué)軟件。再次為所