淺談極限的求解方法畢業(yè)論文

1、<p>　　淺談函數(shù)極限求解方法</p><p>　　摘要： 極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析的基本概念的表述，都可以用極限來描述.如函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的定義,定積分的定義,偏導(dǎo)數(shù)的定義,二重積分的定義,三重積分的定義,無窮級數(shù)的定義都是用極限來定義的.極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本工具.極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線.學(xué)好極限要從以下兩個方面著手: 1)是考察所給函數(shù)是否存在極限;2）若函數(shù)存在極限,則考慮如何

2、計算此極限.本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下,如何去求極限進行綜述. 對于簡單的極限的計算，利用定義求值或利用極限的四則運算法則求值都是 可行的,但是對于一個比較復(fù)雜的極限的計算,例如的值時 則不能直接采用一般的定義或者定理，即使采用洛必達(dá)法則也是比較繁瑣的,然而用泰勒展示則計算簡單多了,這就說明為一般地解決極限求值問題時,就必須利用有效有針對性的計算方法，對各個具體問題還要善于發(fā)現(xiàn)和利用其特點以簡化手續(xù)． 傳統(tǒng)的極限的計

3、算方法不下十幾種,但具體到計算不同特征的極限時,究竟采用哪種方法,很多人總感到無從下手．只有將這些方法進行歸納總結(jié),從而才可以針對不同特征的式子選擇適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒?進而簡化計算</p><p>　　Abstract： Limit is the basis of mathematical analysis , the basic concepts of mathematical analysis of expre

4、ssion , can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point , the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals , triple i

5、ntegral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main the</p><p>　　關(guān)鍵詞 ：極限；極限的定義；極限的性質(zhì)；羅必達(dá)法則

6、 ；泰勒公式；單調(diào)有限法則；積分中值定理；拉格朗日中值定理</p><p>　　Keywords ：Limit; ultimate limits of nature; Luo's Rule; Taylor formula; monotonous limited law; integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem</p>

7、<p>　　與一切科學(xué)方法一樣，極限法也是社會實踐的產(chǎn)物。</p><p>　　極限法的思想可以追溯到古代．劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始極限觀念的應(yīng)用．古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于簡接證法──歸謬法完成有關(guān)證明．</p><p>　　到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了

8、古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法證明步驟．如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用的概念的方向”．</p><p>　　極限法的進一步發(fā)展與微積分的建立緊密聯(lián)系．16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到很大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促

9、進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景．</p><p>　　極限法的完善與微積分的嚴(yán)格化密切聯(lián)系．</p><p>　　在很長一段時間里，微積分理論基礎(chǔ)的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償．這是因為數(shù)學(xué)的研究對象已從常量擴展到變量，而人們對變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分清楚；對變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對有限和無限的對立統(tǒng)一關(guān)系還不明確．這樣，人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的

10、傳統(tǒng)思想方法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”，相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系．</p><p>　　到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限作出過各自的定義．其中達(dá)朗貝爾的定義是：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量．”它接近于極限的正確定義，然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴．事情也

11、只能如此，因為19世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的．</p><p><b>　　1 預(yù)備知識</b></p><p>　　極限的求解,是我們學(xué)習(xí)教學(xué)上存在的比較普遍問題,往往學(xué)生學(xué)習(xí)時感到枯燥無味,或視為畏途,于是學(xué)生提出這樣問題:“我們究竟要知道極限有哪些求解方法，而教師的回答往往是這樣:“今后你們學(xué)完大學(xué)再做總結(jié)就會了解這一點,因為它跟

12、高等數(shù)學(xué)有密切聯(lián)系.”這種回答不能令人滿對于極限的求解不了解或了解的不全面是我們極限思想方法是很多人在學(xué)習(xí)極限后要面臨的問題，下面我就對我總結(jié)出的一些極限的求解方法做出說明以及詳細(xì)的證明透解。</p><p>　　2 極限的十幾種求解方法</p><p>　　數(shù)學(xué)極限是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要解題方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)

13、學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。 </p><p>　　有時我們要確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值，而且所確定的近</p><p>　　似值也不僅僅是一個而是一連串越來越準(zhǔn)確的近似值；然后通過考察這一連串近似值的趨</p><p>　　向，把那個量的準(zhǔn)確值確定下來。這就

14、是運用了極限的思想方法。</p><p>　　2.1幾種關(guān)于分式的求極限問題的方法</p><p>　　說明：關(guān)于分式的極限的求解方法我一共總結(jié)出以下幾點</p><p>　　2.1.1．約去零因子求極限</p><p>　　說明 先要明白什么是零因子：在求極限時遇到的、極限值為0、而本身不為零的因子就是零因子。</p>&l

15、t;p>　　例如當(dāng)x→1時，x-1就是一個零因子。</p><p>　　所謂約零因子，則是在一個分式當(dāng)中實施“約去”。</p><p><b>　　例1：求極限</b></p><p>　　說明：表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去。</p><p><b>　　解：=4</b></

16、p><p>　　2.1.2．分子分母同除求極限</p><p>　　方法說明當(dāng)x趨于無窮（可正可負(fù)）時，看分子分母x的最高次的次數(shù)①分子次數(shù)小于分母次數(shù)，極限為0②分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為最高次系數(shù)的比值。如第一個例子。③分子次數(shù)大于分母次數(shù)，極限不存在2.型當(dāng)x趨于0時看x的最低次數(shù)①分子次數(shù)高于分母次數(shù)，極限為0②分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為分子分母最低次系數(shù)的比值（如第

17、二個例子）③分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限值不存在。</p><p><b>　　例2：求極限</b></p><p>　　說明型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。</p><p><b>　　解</b></p><p>　　注 (1) 一般分子分母同除的最高次方；</p

18、><p><b>　　(2) </b></p><p>　　2.1.3．分子(母)有理化求極限</p><p>　　說明 對于一個分式來說，若分子是一個無理式組成的代數(shù)式，采取一些方法將其化為有理式的過程稱為分子有理化分子有理化可以通過統(tǒng)一分子，實現(xiàn)一些在標(biāo)準(zhǔn)形式下不易進行的大小比較，有時也可以大大簡化一些乘積運算。</p><

19、;p><b>　　例3：求極限</b></p><p>　　說明分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　例4：求極限</b></p><p><b>　　解 </b>

20、</p><p>　　注 本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵。</p><p>　　2.2用定義求解極限</p><p>　　(1)利用極限的定義求極限。</p><p>　　定義: 設(shè)函數(shù)在［b，＋∞）上有定義，若存在常數(shù)A，對任給，存在,當(dāng)時，都有，則稱數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作</p>

21、<p><b>　　，或 .</b></p><p>　　1 的定義: 數(shù)列本身就是一個定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，即，若數(shù)列 的極限是，即 .用語言敘述就是，任給，存在N，當(dāng)時，都有</p><p><b>　?。?</b></p><p>　　這里的是大于的一切自然數(shù)，而時的極限與時的極限不同之處取的是實數(shù)，

22、取的是自然數(shù).因此我們可以仿照數(shù)列極限的定義，給出時，函數(shù)極限的定義.</p><p>　　例 ：設(shè)用定義法求解在時的極限。</p><p><b>　　解：（1）時的極限</b></p><p><b>　　時，對時有：</b></p><p><b>　　故</b><

23、/p><p><b>　　所以對當(dāng)時有：</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　注，用極限證明定義時，只需證明存在N(或),故求解的關(guān)鍵在于不等式的建立。在求解的過程中往往采取放大，縮小等技巧，但不能把含有n的因

24、子移到不等式的另一邊在放大，而是應(yīng)該直接對要證其極限的式子一步一步放大，有時還需要加一些限制條件，限制條件必須和所求的N（或）一致，最后結(jié)合在一起考慮。</p><p>　　2.3 利用極限的運算法則求極限</p><p>　　定理1 如果，那么</p><p>　　也就是說，如果兩個函數(shù)都有極限，那么這兩個函數(shù)的和、差、積、商組成的函數(shù)極限分別等于這兩個函數(shù)的

25、極限的和、差、積、商（作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為0。.</p><p>　　說明：當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時，</p><p>　　這些法則對于的情況仍然適用.</p><p>　　注1 對于和差積商形式的函數(shù)求極限，可以采用極限運算法則，使用時需要先對函數(shù)做某些恒等變換或化簡，變換的方法通常有分式的通分，約分，分解因式，分子分母有理化，三角函數(shù)的恒等變化，拆項消去

26、法，比較最高次冪法等。</p><p>　　注2 運用極限法則時必須注意只有各項極限都存在（對商還有分母極限不為零）時才能適用。</p><p>　　2.4利用單調(diào)有限法則求極限</p><p>　　定理 在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。</p><p>　　方法 利用“單調(diào)有界函數(shù)必有極限”處理</p><p

27、>　?。?）由先判斷數(shù)列單調(diào)，即判斷的正、負(fù)或判斷比1大還是小。</p><p>　　（2）假設(shè)的極限存在，并估算極限，計算判斷數(shù)列有界。</p><p>　?。?）求數(shù)列的極限。</p><p>　　例1 求極限，，，…….</p><p><b>　　解：因為</b></p><p>

28、;　　由于和同號，依次類推可知和同號，故</p><p><b>　　，即，數(shù)列單調(diào)增加</b></p><p>　　又因為 </p><p>　　依次類推知和同號，即且，故數(shù)列單調(diào)有界必有極限</p><p><b>　　設(shè)，則由知得，即</b></p><p>

29、;　　注意：這里為什么用和3比較大小判斷數(shù)列有界呢？因為我們首先假設(shè)數(shù)列有極限時，算出它的極限為3，然后用和3比較。</p><p>　　例2 證明數(shù)列xn =的n重根式的極限存在</p><p>　　分析 顯然xn+1 >xn 故數(shù)列{xn}單調(diào)增加，下面我們證{xn}有界。由于數(shù)列由遞推關(guān)系</p><p>　　xn+1 = 給出，解題時通常先估計出它

30、的上下界，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明。下屆顯然</p><p>　　是x1，取上界時考慮單調(diào)遞增數(shù)列的極限是他的最小上屆，可先假設(shè)極限存在且設(shè)xn 的極限再由 xn+1 = 易得xn+12=xn +3，對其兩邊求極限，就能解答處要證明的問提解得 A<3，顯然所有大于的實數(shù)都是{xn}的上界，為便于計算，取{xn}的上界為3，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明。</p><p>　　注 （1）顯然數(shù)列單

31、調(diào)遞增；</p><p>　　利用單調(diào)準(zhǔn)則證明極限存在，主要針對遞推數(shù)列，必須驗證數(shù)列兩個方面的性質(zhì)：單調(diào)性和有界性。解題的難點在于判斷單調(diào)性，一般通過數(shù)學(xué)歸納法，減法，除法比較前后項來證</p><p>　　明上述要證明的定理問題。</p><p>　　2.5 利用夾逼準(zhǔn)則求極限問題</p><p><b>　　定理</

32、b></p><p><b>　　例 :求</b></p><p><b>　　解：如果，，且，則</b></p><p>　　注1 夾逼法則多適用于所考慮的函數(shù)比較容易放的或縮小，而且，放大和縮小的函數(shù)是容易求得相同的極限，基本思想是把要求解得極限轉(zhuǎn)化為求放大或縮小的函數(shù)的數(shù)列的極限。這樣就能證出上述要證明的問

33、題。</p><p>　　注2 利用夾逼法則求極限含有兩個問題需要注意，不能亂用。</p><p>　　2.6利用兩個重要極限求極限解</p><p>　　1 “”型 （公式的利用）</p><p>　　分析：①判斷是否是“”型</p><p><b>　?、谵D(zhuǎn)換成的形式</b><

34、/p><p><b>　　③則[]</b></p><p><b>　　2 型</b></p><p><b>　　例 求極限。</b></p><p>　　說明：第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最后湊指數(shù)部分。</p><p><

35、b>　　解： </b></p><p>　　2.7 利用無窮小的性質(zhì)和等價無窮小代換求極限</p><p>　　性質(zhì)1 有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量；</p><p>　　性質(zhì)2 有限個無窮小量的乘積為無窮小量；</p><p>　　性質(zhì)3 常數(shù)和無窮小量的乘積為無窮小量。</p><p&g

36、t;<b>　　說明：</b></p><p>　　(1)常見等價無窮小有：</p><p><b>　　當(dāng) 時,,</b></p><p><b>　　；</b></p><p>　　(2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；</p><p>

37、　　(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。</p><p>　　利用等價無窮小代換求極限時應(yīng)注意的問題．</p><p>　　考研數(shù)學(xué)每年必考有關(guān)求極限的問題，利用等價無窮小代換求極限一般可以簡化計算，但我們一定要明確，在求極限時，什么時候能用等價無窮小代換，什么時候不能用等價無窮小代換，這也是部分學(xué)員，尤其基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)員開始復(fù)習(xí)的時候比較容易犯錯的地方。</p>

38、<p>　　下面通過給出幾個例子來進行講述，注意錯誤的解法，謹(jǐn)防自己犯同樣的錯誤。</p><p><b>　　例1：求極限</b></p><p><b>　　解 .</b></p><p><b>　　例2：求極限</b></p><p><b>　　

39、解：</b></p><p>　　注1 對于分子或分母中的兩個無窮小之差不能直接用無窮小替換。</p><p>　　注2 常用等價代換公式求得要證明的上述問題。</p><p>　　2.8利用羅必達(dá)法則求極限問題</p><p>　　說明 下面主要講解兩種類型不定式的極限求解</p><p>　

40、　1 型不定式方式求極限</p><p>　　定理 洛必達(dá)法則1：若函數(shù)f (x)與g(x)滿足下列條件：</p><p>　　1）在a的某去心鄰域可導(dǎo)，且g '(x)≠0； 　 （2）f (x)=0與g (x)=0； </p><p><b>　?。?）,</b></p><p><b>　　

41、則=</b></p><p>　　洛必達(dá)法則2：若函數(shù)f (x)與g(x)滿足下列條件： （1）A>0，在與可導(dǎo)，且g '(x)≠0；</p><p>　　（2）f (x)=0與g (x)=0；</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　則=</b

42、></p><p>　　2 型不定式方式求極限</p><p>　　說明 這種形式的求解極限的方法很常用并且當(dāng)不能化出這種格式是可以轉(zhuǎn)換稱這種格式然后再厲這種形式的求解方法求解。</p><p>　　定理 洛必達(dá)法則3：若函數(shù)f (x)與g(x)滿足下列條件：</p><p>　　(1) 在a的某去心鄰域可導(dǎo)，且g '

43、;(x)≠0； </p><p>　　f (x)= 與g (x)= ； </p><p><b>　?。?）,</b></p><p><b>　　則=</b></p><p>　　例1：設(shè)在點二階可導(dǎo)，且，求和的值</p><p>　　分析：因為在點二階可導(dǎo)，故連續(xù)，由于且

44、，故，即</p><p><b>　　用羅比達(dá)法則，所以</b></p><p><b>　　求極限</b></p><p>　　說明或型的極限,可通過羅必塔法則來求。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　注 羅必達(dá)法則是求

45、兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限的，在同一運算過程中可連續(xù)使用直到求出所求的極限，但是對于其他的不定式的極限無法判斷他們的極限狀態(tài)，則羅必達(dá)法則不用夠適用于那些極限求解的問題，但是只需要經(jīng)過一些簡單的變換，他們一般可以化為 型或型的極限來求出要求的極限問題。</p><p>　　2.9 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限</p><p>　　定義 假設(shè)在f的某一點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若極限存

46、在，則稱函數(shù)f的某一點x0處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f的某一點x0</p><p><b>　　的導(dǎo)數(shù)，記作</b></p><p>　　如何巧用導(dǎo)數(shù)的定義式求極限：導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的基本概念之一,它反映出函數(shù)相對于自變量的變化快慢的程度.由于一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)基本公式及其運算法則等進行計算,要比利用導(dǎo)數(shù)定義計算更加方便,所以,導(dǎo)數(shù)定義式在解題中的作用常常被人們所忽

47、視.而在教學(xué)中,由于時間限制老師也無法對運用導(dǎo)數(shù)定義式求極限這一問題講行深入展開.波里亞在怎樣解題一書中指出!回顧定義是一項重要的智力活動,面對一個數(shù)學(xué)問題,如果我們只知道概念的定義,別無其他,我們就不得不回到定義.?本文對導(dǎo)數(shù)的定義式進行剖析,結(jié)合例題對如何利用導(dǎo)數(shù)的定義式求極限加以說明,以引起人們對導(dǎo)數(shù)定義的進一步理解和重視</p><p><b>　　例 ：設(shè)連續(xù)，，求</b><

48、/p><p><b>　　解：因為且，所以</b></p><p><b>　　而連續(xù)，故即</b></p><p><b>　　9</b></p><p>　　2.10 利用拉格朗日中值定理求極限（或柯西中值定理求極限）</p><p>　　定理 若

49、函數(shù)在區(qū)間滿足以下條件：</p><p><b>　　在上可導(dǎo)；</b></p><p><b>　　2.在上連續(xù)；</b></p><p><b>　　則必有一，使得。</b></p><p>　　在上可導(dǎo)，上連續(xù)是拉格朗日中值定理成立的充分條件。</p>&l

50、t;p>　　說明 拉格朗日中值定理在在極限中運用非常廣泛，是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)極限的求解方式的有力工具，拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，如求極限等，它在很多題型中都起到了化繁為簡的作用。下面通過舉例說明拉格朗日中值定理在求極限時的一些方法。</p><p>　　例1 求極限.[3]</p><p>　　解：函數(shù)在或上運用拉格朗日中值定理得</p>

51、<p><b>　?。ń橛谂c之間）</b></p><p>　　當(dāng)時，，由介值定理可知</p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　原式=</b></p><p>　　解題思路：由這一形式聯(lián)想到拉格朗日中值定理的一般形式，從而構(gòu)造函數(shù)

52、，在運用拉格朗日中值定理求極限。</p><p>　　例2 設(shè)連續(xù)，，有公式</p><p>　?。?<<1） (1)</p><p><b>　　試求時的極限</b></p><p>　　解：對函數(shù)在或上運用拉格朗日中值定理得</p><p>

53、<b>　　（0<1<1）</b></p><p>　　將此式代入式（1）得</p><p><b>　　將按泰勒公式展開得</b></p><p><b>　　由上述兩式，得</b></p><p><b>　　所以</b></p>

54、;<p>　　2.11 利用積分中值定理求極限</p><p>　　定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),，則在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立</p><p>　　其中，a、b、滿足：</p><p>　　例1．（05數(shù)2—12）已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，，證明：（I）存在，使；（II）存在兩個不同的點，使得.</p><p&

55、gt;　　證明：（I）設(shè)，因為在連續(xù)，且，，即，由連續(xù)函數(shù)的零點存在定理可知，存在，使得，即.</p><p>　　(II)根據(jù)（I）的結(jié)果，在上用Lagrange中值定理：.</p><p>　　上，用Lagrange中值定理可知，存在，使得：</p><p><b>　　于是，.</b></p><p>　　注 積

56、分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉，或者使復(fù)雜的被積函數(shù)化為相對簡單的被積函數(shù)，從而使問題簡化。因此，對于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個函數(shù)積分的等式或不等式，或者要證的結(jié)論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時，一般應(yīng)考慮使用積分中值定理， 去掉積分號，或者化簡被積函數(shù)。</p><p>　　2.12 數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解</p><p>　　定理 （數(shù)列極限的四

57、則運算法則） 若和為收斂數(shù)列，則也都是收斂數(shù)列，且有</p><p>　　若再假設(shè)及，則也是收斂數(shù)列，且有 .</p><p>　　定理（單調(diào)有界定理） 在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.</p><p>　　定理（Stoltz公式） 設(shè)有數(shù)列

58、，，其中嚴(yán)格增，且（注意：不必）.如果</p><p><b>　?。▽崝?shù)，），</b></p><p>　　則 </p><p>　　定理1.2.3'（Stoltz公式） 設(shè)嚴(yán)格減，且，.若</p><p><b>　　（實數(shù)，），</b></p>

59、<p>　　則 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理1.2.4（幾何算術(shù)平均收斂公式） 設(shè)，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　若，則.</b></p><p

60、><b>　　例15：極限</b></p><p>　　說明：這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。</p><p><b>　　解：考慮輔助極限</b></p><p><b>　　所以，</b><

61、;/p><p><b>　　例 求，其中.</b></p><p><b>　　解：.</b></p><p>　　事實上，當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.現(xiàn)設(shè).記，則. 由 ,</p><p>　　得 </p><p><b>　　.&l

62、t;/b></p><p>　　任給，由（5）式可見，當(dāng)時，就有.即.所以.</p><p>　　對于的情況，因，由上述結(jié)論知，故 </p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　綜合得時，.</b></p><p>　　2.13 n項和數(shù)列極

63、限問題</p><p>　　n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法</p><p>　　(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算;</p><p>　　(2)利用兩邊夾法則求極限.</p><p><b>　　例16：極限</b></p><p>　　說明：用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計

64、算,是把看成［0,1］定積分。</p><p><b>　　解：原式＝</b></p><p>　　說明：(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解；</p><p>　　(2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的</p><p><b>　　3 結(jié)論</b&

65、gt;</p><p>　　數(shù)學(xué)極限思想因為本身能夠化繁為簡，具有較強的應(yīng)用性，深受人們的喜愛。極限思想可以用在我們高中數(shù)學(xué)的每一個角落。在解題過程中，它能化無限為有限，節(jié)省大量運算，</p><p>　　提高解題速度和準(zhǔn)確性。靈活巧妙、正確的運用數(shù)學(xué)極限思想能提高人們解題的正確率和策略意識，從而加深知識的理解和掌握。 能否熟練地應(yīng)用就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中

66、的技巧，如果我們具備了就會使復(fù)雜問題簡化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根據(jù)問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是關(guān)鍵，而極限思 的靈活運用就成為減少運算量的一條重要途徑。當(dāng)然數(shù)學(xué)極限思想并不是任何情況都可以用，在解決具體問題時，需要具體問題具體分析。 </p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　歷時將近兩個月的時間終于將這篇論文寫完，

67、在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困難和</p><p>　　障礙，都在同學(xué)和老師的幫助下度過了。尤其要強烈感謝我的論文指導(dǎo)老師**老師，他對我進行了無私的指導(dǎo)和幫助，不厭其煩的幫助進行論文的修改和改進。另外，在校圖書館查找資料的時候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導(dǎo)過我的各位老師表示最中心的感謝！ 感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者。本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻，如果沒有各位學(xué)者的

68、研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。</p><p>　　感謝我的同學(xué)和朋友，在我寫論文的過程中給予我了很多你問素材，還在論文的撰寫和排版燈過程中提供熱情的幫助。由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請各位老師和學(xué)友批評和指正！</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[01]林海明. 對主成

69、分分析法運用中的十個問題的解析[J]. 統(tǒng)計與決策, 2007, 8: 16-18.</p><p>　　[02]北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系. 高等代數(shù)[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978.</p><p>　　[03]方開泰. 實用多元統(tǒng)計分析[M]. 上海: 華東師范大學(xué)出版社, 1989.</p><p>　　[04] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京

70、：高等教育出版社，2001.</p><p>　　[05] 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，1995.</p><p>　　[06].丁家太.微積分解題方法[M].北京師范大學(xué)出版社，1981.</p><p>　　[07] 王陽，劉云，催春紅.淺談泰勒公式的應(yīng)用[J].和田師范專科學(xué)校學(xué)報，2008（1）：197-201.</p>

71、<p>　　[08] 明清河：數(shù)學(xué)分析的思想和方法[M].山東大學(xué)出版社.2004.</p><p>　　[09] 李克典，馬云岺.數(shù)學(xué)分析選講[M].廈門大學(xué)出版社.1999.9.</p><p>　　[10] 劉吉存.利用極限思想速解數(shù)學(xué)選擇題.中學(xué)數(shù)學(xué).</p><p>　　[11] 趙春祥.極限思想在解析幾何中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)通訊.</p>

72、<p>　　[12] 陳傳璋,金福臨編.數(shù)學(xué)分析（上下冊）第二版[M]，高等教育出版社,2006: 123-146.</p><p>　　[13] 郝梅.求函數(shù)極限的方法，福建教育學(xué)校學(xué)報[N],2006 (10): 16-21.</p><p>　　[14] 劉德洋，劉紹武.數(shù)學(xué)分析方法選講[M]，黑龍江教育出版社，1994:36-67.</p><p&