極限思想的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　鹽城師范學(xué)院</b></p><p>　　畢 業(yè) 論 文</p><p>　　2012-2013 學(xué)年度</p><p>　　極限在數(shù)學(xué)分析與解題中的應(yīng)用</p><p>　　學(xué) 生 肖 永</p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院&

2、lt;/p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　學(xué) 號 09211237</p><p>　　指導(dǎo)教師 李高林</p><p>　　2013年4月24日</p><p>　　極限在數(shù)學(xué)分析與解題中的應(yīng)用</p><p><b>　　摘

3、 要</b></p><p>　　極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)，極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。所以，對極限概念及理論的理解和掌握的好壞將直接影響到整個本課程的學(xué)習(xí)。</p><p>　　極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一刻過程中的變化趨勢，是從有限到無限，近似到精確，量變到質(zhì)變的過程，與初等數(shù)

4、學(xué)中的概念有很大的區(qū)別，因此學(xué)生掌握起來比較困難，一些學(xué)生到了畢業(yè)，還對為什么要用如此抽象的“”定義來描述微積分的極限理論不甚理解。</p><p>　　但是如果能從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過程，弄清極限理論概念的描述和邏輯表述形式并輔以典型的例題來加深理解，對于掌握和應(yīng)用極限概念會起到很重要的作用。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】：極限思想 數(shù)學(xué)分析 應(yīng)用

5、</p><p>　　The applation of limit thought in Mathmaticai Analysis and problem solving</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Limit thought is an important thought of modern ma

6、thematics, mathematical analysis is based on the concept to the limit, limit theory as the main tool to study the function of a discipline. Therefore, the ultimate concepts and theoretical understanding and mastering wil

7、l directly affect the whole of this course.</p><p>　　Limit theory is an important turning point of mathematics from elementary to advanced, the limit concept describes the trend of the process variables in a

8、 moment, from finite to the infinite, similar to a precise, quantitative change to qualitative change, it is remarkable different from the concept of Elementary Mathematics, so it is master more difficult to students, bu

9、t also on why use such abstract "" definition to describe the limits of the theory of calculus not quite understand.</p><p>　　But if you learn about the history of mathematics and ultimate limit id

10、eological theory of the formation process ,clarify the limits of theoretical concepts and logical presentation of the description and supplemented by typical examples to deepen understanding .application of the concept o

11、f limit for the master will play a very important role.</p><p>　　【Keywords】: theory of limits , Mathematical Analysis, Application</p><p>　　目 錄</p><p><b>　　摘 要1</

12、b></p><p>　　1、極限思想的形成與發(fā)展3</p><p>　　1.1極限思想的由來3</p><p>　　1.2極限思想的發(fā)展3</p><p>　　2、極限在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用4</p><p>　　2.1極限在數(shù)學(xué)概念里的滲透4</p><p>　　2.2極限在導(dǎo)數(shù)

13、中的應(yīng)用5</p><p>　　2.3極限在積分中的應(yīng)用5</p><p>　　2.4極限在微分中的推動作用6</p><p>　　3、極限思想在解題中的應(yīng)用6</p><p>　　引言：極限思想是微積分的基本思想，極限不僅為微積分注入了嚴(yán)密性，而且實(shí)現(xiàn)了有限和無限的相互轉(zhuǎn)化,連續(xù)與不連續(xù)的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)

14、的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的，所謂極限思想，是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想，用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)造一個與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果.所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄?</p><p>　　1、極限思想的形成與發(fā)展</p><p>　　1

15、.1極限思想的由來</p><p>　　和一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會實(shí)踐的產(chǎn)物.極限的思想可追溯到古代，劉徽到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形中心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀大膽的運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸謬法的證明,因此，他就在無意中“提出了把極限方法發(fā)展成為一個使用概念的方法”.</p><p>　　然而，微積分學(xué)在其創(chuàng)立初期由于歷史條件的限

16、制，人們對他的基本概念及其關(guān)系的認(rèn)識還不能突破力學(xué)和幾何直觀的局限，許多概念還沒有確切的數(shù)學(xué)定義，特別是一些定理和公式的推導(dǎo)還處在邏輯混亂的局面.</p><p>　　1.2極限思想的發(fā)展</p><p>　　極限思想的完善的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯的“取極限”，而是借助于間接證法一一歸

17、謬法來完成有關(guān)的證明.</p><p>　　1917年，波爾察諾的著作《純粹分析的證明》的出版是微積分開始嚴(yán)格化的標(biāo)志.在該書中波爾察諾處于證明代數(shù)基本定理的需要，首次用極限觀點(diǎn)給出了連續(xù)性的定義，如在區(qū)間內(nèi)任一處，只要充分小，就能使兩點(diǎn)間距離任意小，則說明該函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，他把導(dǎo)數(shù)定義為無限接近的趨向的量，波爾察諾是微積分開始嚴(yán)格化的前驅(qū).</p><p>　　柯西被公認(rèn)為近代分析的

18、主要奠基人，事實(shí)上，他在19世紀(jì)20年代陸續(xù)發(fā)表了3本著作：《工科學(xué)學(xué)分析教程》、《無限小計(jì)算概要》和《微積分講義》，其中革新了微積分中長期沿襲下來的模糊的舊概念重整了他的理論，把它納入到一個新的嚴(yán)密的理論體系之中，柯西看出核心的問題是極限，他把極限概念理解為潛無限。并且定義“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值，最終是變量和改定值之差要多小就多小”.這個定值就叫做所有其它值的極限，第一次使極限概念擺脫了與幾何和運(yùn)動直觀的任何牽連，

19、給出了建立在屬于函數(shù)概念上清楚的定義.</p><p>　　但是，柯西的極限概念并沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義而是停留在直觀的描述上面，所以在他的著作的敘述中不是用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，他的函數(shù)概念并沒有完全脫離解析方式的束縛，在函數(shù)的連續(xù)性和可微性方面也欠明確等等.因此，他的微積分雖然具有近代的形式但它的基礎(chǔ)并不牢固.</p><p>　　19世紀(jì)50年代，魏爾斯特拉斯（Weierstrass,18

20、15—1897）在分析嚴(yán)密化方面的工作改進(jìn)了波爾察諾、阿貝爾和柯西的工作，他力求避免直觀而把分析奠基在算數(shù)概念上，提出了關(guān)于極限的純算術(shù)定義，從而完成了數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密化工作，從此，極限理論才得以充實(shí)和嚴(yán)密的自身體系成為微積分的基礎(chǔ)理論，微積分也從此完全脫離過去集合的直觀和不確切地描述，進(jìn)入了一個新的發(fā)展時期.</p><p>　　極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，極限思想揭示了變量與常量、無限與

21、有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，使唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用借助于極限思想，人們可以從有限認(rèn)識無限、從不變認(rèn)識變、從直線形認(rèn)識曲線形、從量變認(rèn)識質(zhì)變、從近似認(rèn)識精確</p><p>　　2、極限在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用</p><p>　　2.1 極限在數(shù)學(xué)概念里的滲透</p><p>　　極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，可以說數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不

22、開極限，在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、極數(shù)的斂散性，重積分和曲線積分與曲面積分的概念.</p><p>　?。?） 如以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義.記稱為自變量（在點(diǎn)）的增量或改變量，設(shè)，相應(yīng)的函數(shù)（在點(diǎn)）的增量記為，可見，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)等價于，是當(dāng)自變量得增量時，函數(shù)值得增量趨于零時的極限.</p><p>　?。?）函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義.設(shè)

23、函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，令，，則可寫為，所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.</p><p>　?。?） 函數(shù)在區(qū)間上的定積分的定義。設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實(shí)數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使對的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱函數(shù)為在上的定積分，記。是當(dāng)分割細(xì)度趨于零時，積分和式的極限.</p><p>　　

24、（4）數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列，的極限來定義的.</p><p>　　2.2 極限在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個問題：已知運(yùn)動規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線.</p><p>　?。?） 瞬時速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，其運(yùn)動規(guī)律為，若為某一確定的時刻

25、，為鄰近于的時刻，則是質(zhì)點(diǎn)在時間段上的平均速度. </p><p>　　若→時平均速度的極限存在，則稱極限為質(zhì)點(diǎn)時刻的瞬時速度.</p><p>　?。?）切線的斜率 曲線在其上一點(diǎn)處的切線PT是割線PQ當(dāng)動點(diǎn)Q沿此曲線無限接近于點(diǎn)p時的極限位置.</p><p><b>　　由于割線PQ斜率為</b></p><p>

26、;　　因此當(dāng)→時如果的極限存在，則極限即為切線PT的斜率.</p><p>　　給出導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰城內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作.</p><p>　　令,,則上式可改寫為.</p><p>　　2.3 極限在積分中的應(yīng)用</p><p>　　積分是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，其中的不

27、定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算而定積分則是某種特殊和式的極限，下面給出在定積分中極限思想的重要應(yīng)用.</p><p>　　定積分提出的背景：曲邊梯形是由非負(fù)連續(xù)曲線.</p><p>　　直線以及x軸所圍成，求此曲邊梯形的面積？</p><p>　?。?） 將曲邊梯形分成個小曲邊梯形</p><p>　?。?） 當(dāng)很大，且當(dāng)所有的都很小時，每個小曲邊

28、梯形都可以看成第個成小矩形的面積</p><p>　?。?）當(dāng)n無限增大時，即當(dāng)無限趨近于0時，就無限趨近于曲邊梯形的面積，故.</p><p>　　定積分在閉區(qū)間內(nèi)有個點(diǎn)，依次為它們把分成個小區(qū)間， ，這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對的一個分割，記或。小區(qū)間長度為并記設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實(shí)數(shù)，若對任給正數(shù)，總有在某一正數(shù)，使得對的分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要就有，則稱

29、函數(shù)在區(qū)間上可積，數(shù)稱為上的定積分，記作.</p><p>　　2.4 極限在微分中的推動作用</p><p>　　若函數(shù)在點(diǎn)0可微，則，極限有力地推動了微分的發(fā)展。促使微分在近似計(jì)算和泰勒公式等方面的重要應(yīng)用，同時微分也反作用于求解各種類型的不定式極限.</p><p>　　一個邊長為的正方形，它的面積，若邊長由增加，相應(yīng)的正方形的面積的增量= A=</p&

30、gt;<p><b>　　泰勒公式的應(yīng)用：</b></p><p>　　3、極限思想在解題中的應(yīng)用</p><p>　　.事實(shí)上，極限思想使人們能夠從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變成為可能?，F(xiàn)行高中教材中有多處內(nèi)容滲透了極限的思想和方法，如“球的體積和表面積”、“雙曲線的漸近線”等，但是極限思想在實(shí)際教學(xué)中沒有得到普遍的認(rèn)可和推廣，學(xué)

31、生對這種思想方法相當(dāng)陌生. 下面是筆者嘗試將極限思想和方法滲透、融合在解題教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)方法與內(nèi)容的整合實(shí)踐，以期引起廣大師生的廣泛關(guān)注和高度重視.</p><p>　　3.1、尋求極限位置 實(shí)現(xiàn)估算與精算的結(jié)合</p><p>　　例1、設(shè)是橢圓的長軸的兩個端點(diǎn)，是垂直于的弦的端點(diǎn)，則直線與</p><p>　　交點(diǎn)的軌跡方程為（ ）</p>&l

32、t;p>　?。ˋ） （B） （C） （D）</p><p><b>　　【分析】選C．</b></p><p>　?。ǚ?）設(shè)，由橢圓得，直線為，</p><p><b>　　直線為，交點(diǎn)中，，</b></p><p><b>　　∴即．選C． </b><

33、;/p><p>　　(法2)利用極限的思想即當(dāng)恰是短軸的兩個端點(diǎn)時，則兩直線無交點(diǎn)，即說明當(dāng)時，所求的曲線方程無解．結(jié)合選項(xiàng)可判斷選C．</p><p>　　例 2、過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若</p><p>　　線段與的長分別是 ,則等于（ ） </p><p>　　(A) (B)

34、 (C) (D) 解析：本題是有關(guān)不變性的問題，常規(guī)解法是探求的關(guān)系，過程繁瑣，且計(jì)算較復(fù)雜。若能充分認(rèn)識到變與不變的辨證關(guān)系，利用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，借助于極限思想即取PQ的極限位置可使問題變得簡便易行：將直線PQ繞點(diǎn)F順時針方向旋轉(zhuǎn)到與軸重合，此時Q與O重合，點(diǎn)P運(yùn)動到無窮遠(yuǎn)處，雖不能再稱它為拋物線的弦了，它是弦的一種極限情形，因?yàn)?，而，所以，故選擇（C）。</p><p>　　3.

35、2、考查極限圖形 簡化計(jì)算</p><p>　　例 1、在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是（ ）</p><p>　　A、 B、 C、 </p><p><b>　　D、</b></p><p>　　解析：設(shè)正n棱錐為，由于多變，所以底面正邊形、側(cè)面出現(xiàn)不確定狀態(tài)，這樣導(dǎo)致直接分析求解將是繁難，

36、甚至是“到而不達(dá)”的，若另辟蹊徑，采用極限法，則解法將是簡捷、易行的，其計(jì)算量得到極大的簡化。</p><p>　　本例中底面正邊形固定，而棱錐的高不定，故可將頂點(diǎn)S看作是運(yùn)動變化的，設(shè)相鄰兩側(cè)面所成的二面角的平面角為。當(dāng)點(diǎn)S向下運(yùn)動無限趨近底面正邊形的中心這個極限位置時，趨于平角；當(dāng)點(diǎn)S向上運(yùn)動趨于無窮遠(yuǎn)時，側(cè)棱將無限趨于與底面垂直，即正n棱錐趨近于正n棱柱，此時無限趨于底面正邊形的內(nèi)角，故二面角的取值范圍是：

37、，從而選(A)</p><p>　　評注：“化靜為動，以動制靜”，利用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，著眼于問題的極限狀態(tài)，擯棄了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使得所研究問題更加直觀、明朗。因此，根據(jù)問題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵，而靈活地利用極限思想就成為減少運(yùn)算量的一條重要途徑 .</p><p>　　例2、函數(shù)的值域是（ ）</p><p>　　（A）

38、（B） （C） （D）</p><p><b>　　【分析】選D．</b></p><p>　　法1:用極限的思想．∵函數(shù)定義域?yàn)榍遥?dāng)時，，∴可排除B，C；</p><p>　　當(dāng)時，，∴可排除A．故選D．</p><p>　　法2:函數(shù)變形為，設(shè)則，再作出“對勾”函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出．<

39、/p><p>　　例3、已知，則的大小關(guān)系為___________．</p><p>　　分析：令，則，，，大小關(guān)系為</p><p>　　3.3、分析極限狀態(tài) 探索解題思路</p><p>　　例 1、已知拋物線方程為。求證：在軸正方向上必存在一點(diǎn)M，使得對于拋物線上任意一條過M的弦PQ均有為定值 .</p><p>

40、　　分析：假設(shè)點(diǎn)M確實(shí)存在，因?yàn)檫^點(diǎn)M的任意一條弦PQ均有為定值，因此對過點(diǎn)M的一條特殊弦——垂直于軸的弦也應(yīng)該有為定值.設(shè)，則，但是僅憑此式還看不出點(diǎn)M到底是哪個定點(diǎn). 下面再考查弦的一個極限情形——軸的正半軸，它過點(diǎn)M，它的一個端點(diǎn)是原點(diǎn)O，另一個端點(diǎn)可以看成是無窮遠(yuǎn)處的極限點(diǎn)（假想的點(diǎn)），它是弦的一種極限情形，顯然有，所以，它也應(yīng)該是定值，且，由此可得，于是可以猜想定點(diǎn)，</p><p>　　下證過點(diǎn)的任一

41、弦PQ均有（定值）。</p><p>　　證明：設(shè)過點(diǎn)的直線參數(shù)方程為，代入拋物線方程得，設(shè)此方程的兩根為，則，而的幾何意義分別表示MP及MQ的值。</p><p>　　因此點(diǎn)是滿足題意的點(diǎn).</p><p>　　評注：通過分解有關(guān)對象在運(yùn)動變化過程中的極限狀態(tài)，提取信息、信息整合，即而尋求到合理的解決問題的途徑，降低了解題難度，優(yōu)化了解題過程，有效激活了創(chuàng)新思維，

42、凸現(xiàn)了極限思想在解題中的獨(dú)特功能及應(yīng)用的廣泛性。</p><p>　　例2、2005年10月15日，我國成功發(fā)射神州五號載人航天飛船，若飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦點(diǎn)的橢圓，且其近地點(diǎn)距離地面為千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面千米，則該飛船運(yùn)行軌道的短軸長為（ ）[已知地球半徑為千米]</p><p>　?。ˋ） （B） （C） （D）</p><p>&l

43、t;b>　　分析：選B．</b></p><p>　　考慮問題的極限情形，則符合題意的橢圓表現(xiàn)為圓，于是軌道的短軸長表現(xiàn)為圓的直徑，而將代入各選擇分支，僅有B適合，于是正確答案只能是B．</p><p>　　3.4、巧取極限 無限與有限的統(tǒng)一</p><p>　　例 1、求證：三角形的三條中線交于一點(diǎn). </p><p>

44、　　解；該問題的解決在初中階段一般使用純粹幾何方法證明， </p><p>　　高中階段可以采用向量方法證明</p><p>　　而大學(xué)階段則運(yùn)用聚點(diǎn)定理來解決：取三角形各邊中點(diǎn)，并連接成小三形易知大、小三角形有共同的中線.這樣繼續(xù)下去，再取小三角形三邊中點(diǎn)并連接，我們將得到一個閉域，根據(jù)聚點(diǎn)定理，屬于所有閉區(qū)間的點(diǎn)只能有一個.最終確定所有三角形有共同的重心．</p><

45、;p>　　例2、設(shè)為自然數(shù)，求證不等式．</p><p>　　許多學(xué)生會利用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是，當(dāng)證明時，不等式右邊是一個常量，而左邊從變?yōu)?lt;/p><p>　　時卻在不斷增大，證明難度較大．然而，把看成數(shù)列，則上述不等式可轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和，因此想到利用數(shù)列極限進(jìn)行求解．因?yàn)樗杂邢率剑海?lt;/p><p>　　兩邊同時取極限，則． </p>&l

46、t;p>　　綜上所述，利用極限思想，把問題放置于極限狀態(tài)，即活躍了思維，又提高了分析、解決問題的能力.因此，教師要有意識地強(qiáng)化用極限思想解題的意識，并在不斷應(yīng)用它解決問題的過程中，讓學(xué)生真正體會到“提高觀點(diǎn)，降低難度，減輕負(fù)擔(dān)”的含義.</p><p><b>　　4、總結(jié)</b></p><p>　　極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析主要研究微分和積分，而極限

47、又是微積分學(xué)大廈的基石，可以說沒有充分的極限理論就不可能有今天數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的局面，所以，我們應(yīng)學(xué)好極限理論及極限思想.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn): </b></p><p>　?。?］明清河：數(shù)學(xué)分析的思想與方法 [M].山東大學(xué)出版社.2004.</p><p>　　［2］李克典,馬云苓：數(shù)學(xué)分析選講[M].廈門大學(xué)出版社.200

48、5.</p><p>　?。?］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社.1999.9.</p><p>　　[4] M.克萊因：古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）[M].上?？萍汲霭嫔?1983.10.</p><p>　　[5] 劉吉存. 利用極限思想速解數(shù)學(xué)選擇題.中學(xué)數(shù)學(xué)</p><p>　　[6] 趙春祥. 極限思想在解析幾何中的應(yīng)用