畢業(yè)論文--利用微積分求極限的簡捷方法

1、<p>　　編號 </p><p><b>　　學(xué)士學(xué)位論文</b></p><p>　　利用微積分求極限的簡捷方法</p><p>　　學(xué)生姓名：瑪依熱姆·圖爾迪 </

2、p><p>　　學(xué) 號：20080103009 </p><p>　　系 部：數(shù)學(xué)系 </p><p>　　專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　年 級：08-1班 </p><p>

3、;　　指導(dǎo)教師：姑麗巴哈爾．穆罕默德艾力</p><p>　　完成日期：2013年4月22日 </p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本論文主要介紹了利用導(dǎo)數(shù)定義，微分中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，積分中值定理，定積分定義，廣義積分定義求極限的方法等幾種方法分別討論了如何利用微積分計(jì)算初等

4、函數(shù)（三角函數(shù)，反三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，常數(shù)函數(shù)）和非初等函數(shù)（被積函數(shù)）的極限。例如，通過積分中值定理和廣義積分定義來解決被積函數(shù)；通過導(dǎo)數(shù)定義和微分中值定理來解決冪函數(shù)；利用微分中值定理來解決反三角函數(shù)；利用定積分定義來解決常數(shù)函數(shù)。</p><p>　　其次討論了上述所說的定義的應(yīng)用和計(jì)算方法，定理的證明，且給出了11個(gè)例題．</p><p>　　關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；微分；

5、積分；微分中值定理；積分中值定理。</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘要1</b></p><p><b>　　引言3</b></p><p>　　1.利用微分求極限的特殊方法3</p><p>　　1.1利

6、用導(dǎo)數(shù)的定義求極限的方法3</p><p>　　1.2利用微分中值定理求極限的方法4</p><p>　　1.3利用洛必達(dá)法則求極限的方法</p><p>　　1.4利用泰勒公式求極限的方法</p><p>　　2.利用積分求極限的特殊方法7</p><p>　　2.1利用定積分定義求極限的方法7</p&

7、gt;<p>　　2.2利用積分中值定理求極限的方法11</p><p>　　2.3利用廣義積分定義求極限的方法12</p><p><b>　　總結(jié)15</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)16</b></p><p><b>　　致謝17</b&g

8、t;</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論，貫全整個(gè)微分學(xué)，要學(xué)好微積分必須認(rèn)識和理解極限理論，這是解決微積分問題的基本方法。</p><p>　　微積分的基本思想和基本方法與極限始終有著密不可分的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)中若能掌握好極限的使用，對學(xué)好微積分有著很大的幫助。</p><

9、;p>　　通常我們使用的教材只能計(jì)算出一些常見的，簡單的式子的極限，但對于一些復(fù)雜式子的計(jì)算過程不僅麻煩，而且有可能導(dǎo)致無法計(jì)算。這會(huì)使我們在教學(xué)過程中遇到較大的障礙，為了在教學(xué)過程中簡化運(yùn)算，本文主要介紹了利用導(dǎo)數(shù)定義，微分中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，定積分定義，積分中值定理，廣義積分定義求極限的方法等7種利用微積分求極限的簡便方法。</p><p>　　1.利用微分求極限的特殊方法</p>

10、;<p>　　1.1利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限的方法</p><p>　　定義1 （導(dǎo)數(shù)的定義）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若極限</p><p>　　存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作．</p><p><b>　　令 則式可改寫為</b></p><p><b>　?。?l

11、t;/b></p><p>　　例1 求極限，其中為自然數(shù)．</p><p>　　解 令，則= ，故</p><p><b>　　從而，原式 = </b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></

12、p><p><b>　　= ．</b></p><p><b>　　例2：求極限</b></p><p><b>　　解：取，則 </b></p><p>　　1．2利用微分中值定理求極限的方法</p><p>　　定理1 (拉格朗日中值定理)若函數(shù)

13、滿足如下條件：</p><p><b>　　在閉區(qū)間上連續(xù)；</b></p><p><b>　　在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，</b></p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得</p><p><b>　　， ．</b></p><p><b>　　證

14、 作輔助函數(shù)</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又有，根據(jù)羅爾定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使．而</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　于是 . 即，</b></p&

15、gt;<p>　　因?yàn)椴徽摶颍戎挡蛔?，所以式對或?lt;/p><p>　　成立，即 </p><p><b>　　或，在在與之間．</b></p><p>　　因?yàn)椋?，所以式也常寫?lt;/p><p><b>　　， ．</b></p><p&g

16、t;<b>　　例3 計(jì)算 ．</b></p><p><b>　　解 設(shè)</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明時(shí)，存在，使得且有</p><p>&

17、lt;b>　?。?lt;/b></p><p>　　證明 設(shè)，由中值定理，存在，使得</p><p><b>　　==</b></p><p>　　為了解出，需要利用的展開式</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　故

18、 ．</b></p><p>　　1.3 利用洛必達(dá)法則求極限的方法</p><p>　　在極限的四則運(yùn)算中，</p><p>　　成立的條件是： 必須都存在，且</p><p>　　，然而，當(dāng)時(shí)，就不能其他方法去計(jì)算極限</p><p>　　，這時(shí)這個(gè)極限分別稱為未

19、定式“”型或未定</p><p>　　式“”型。例如， 是“”型的未定式，</p><p>　　是“”型未定式，將利用柯西定理得求這些未定型求極限的簡單而實(shí)用</p><p>　　的方法，稱為洛必達(dá)法則.</p><p>　　眾所周知，在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)中，法則是“”，“”等型</p><p>

20、;　　不定式極限計(jì)算的有效方法.</p><p><b>　　型未定式</b></p><p><b>　　例5：求</b></p><p>　　解：這是型未定式，于是 =</p><p><b>　　型未定式</b></p>

21、<p><b>　　例6：求</b></p><p><b>　　解：,</b></p><p><b>　　此極限是型的；</b></p><p>　　有時(shí)候?qū)τ凇啊辈欢ㄊ綐O限利用法則計(jì)算不了它的極限.比如：</p><p><b>　　求<

22、/b></p><p>　　顯然，此題是“”不定式，若分子分母分別求導(dǎo)，則得</p><p>　　=，從題可以看出不存在，所以用法則不能判斷值.</p><p><b>　　因?yàn)?.</b></p><p>　　所以使用法則求極限時(shí)應(yīng)注意以下兩個(gè)問題：</p><p>　?。?）每次使用法則

23、前必須檢驗(yàn)函數(shù)是否屬于“”或“”型不定式，若不是不定式不能用此法則.</p><p>　　若經(jīng)檢驗(yàn)?zāi)苁褂梅▌t，但求出的不存在時(shí)并且不為時(shí)，不能判定是否存在，此時(shí)不能應(yīng)用法則，使用其它求極限的方法進(jìn)一步求解.</p><p>　　1.4利用Taylor公式求極限的方法</p><p>　　泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中重要內(nèi)容之一.實(shí)際上泰勒公式在證明，極限計(jì)算等</p&

24、gt;<p>　　方面有著廣泛而獨(dú)特的應(yīng)用.很顯然，當(dāng)用法則計(jì)算問題時(shí)，便可多次反復(fù)使用此法則.有時(shí)有些問題不簡捷反而變的復(fù)雜，這時(shí)遇到復(fù)雜的運(yùn)算過程，甚至計(jì)算不出來關(guān)于極限的問題.應(yīng)用Taylor公式來計(jì)算這種極限是十分方便的。</p><p>　　首先討論下面的例題：</p><p><b>　　例7：求極限</b></p><p

25、>　　分析 此題為“”，“”型不定式，為求應(yīng)該接連以用法則六次（或六次求導(dǎo)分子分母每一項(xiàng)）. 解 ＝</p><p><b>　　=＝</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　= 對次問題應(yīng)用Taylor公式，由于</p><p>　　把展開式代入函數(shù)中，得

26、</p><p><b>　　.</b></p><p>　　從上面的例題可以看出，Taylor公式是非常有用的工具.有時(shí)對于有些極限問題采用法則，將會(huì)遇到比較繁雜的求導(dǎo)運(yùn)算，這時(shí)候運(yùn)用Taylor來解決這些問題就可以把問題更簡便.</p><p><b>　　例8： 計(jì)算</b></p><p>

27、　　解 從題可以看出，只要計(jì)算分子的帶有Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式展開到為止即可.由于</p><p><b>　　，因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　，因此</b></p><p><b>　　.&l

28、t;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　2.利用積分求極限的特殊方法</p><p>　　2.1利用定積分定義求極限的方法</p><p>　　積分和的極限簡稱為定積分．所以計(jì)算某一式子的極限時(shí)，若能把此式子表示出某一個(gè)被積函數(shù)，在某一區(qū)間內(nèi)的積分和，則此式子的極限就是我們所選定的被

29、積函數(shù)在它定義某一區(qū)間內(nèi)的定積分．</p><p>　　定義2 （定積分定義）設(shè)是定義在上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).若存在某一實(shí)數(shù)，使得任給，總存在相應(yīng)的，當(dāng)對所作的分割的細(xì)度時(shí)，屬于的一切積分和都滿足</p><p>　　則，稱函數(shù)在上黎曼可知，記作 </p><p>　　數(shù)稱為在上的定積分或黎曼積分，記作 </p><p>　　借用極

30、限記號來表示定積分，則寫成</p><p>　　例9： 利用定積分定義求極限 ； </p><p>　　解 把此極限式化為形如式的積分和的極限，并轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算，為此作如下變形：</p><p>　　不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)特殊的積分和為等分割，；取，，由于在上滿足牛頓-萊布尼茲公式的條件，故由定積分定義和牛頓-萊布尼茲公式求得</p>

31、;<p>　　例10： 求極限 ．</p><p><b>　　解 </b></p><p>　?。?）式的和是函數(shù)在區(qū)間的特殊積分和．它是把等分，取為的右端點(diǎn)構(gòu)成的積分和，因?yàn)楹瘮?shù)在可積，由定積分定義，有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　定理2 若函數(shù)

32、，在上連續(xù)，且有</p><p><b>　　，則；</b></p><p>　　證 因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以在上可積，把分成個(gè)小區(qū)間</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　其中 </b></p><p><b

33、>　　令 </b></p><p><b>　　又因?yàn)椋虼?lt;/b></p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　且</b></p><p>　　因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上可積，</p><p><b>

34、　　所以 ．</b></p><p><b>　　例11： 計(jì)算．</b></p><p><b>　　解 令 ，則 </b></p><p>　　把區(qū)間分成小區(qū)間，即</p><p><b>　　由定理2，有</b></p><p>&

35、lt;b>　　又</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　2.2利用積分中值定理求極限的方法</p><p>　　定理3 （推廣的積分第一中值定理）若與都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點(diǎn)，使得</p><p>　　證 不妨設(shè)，.這時(shí)有</p><

36、p><b>　　，，</b></p><p>　　其中M，分別為在上的最大，最小值.由定積分的不等式性質(zhì)，得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　若，則由上式知，從而對任何，（5）式都成立．若 ，則得 .</p><p>　　由連續(xù)函數(shù)的介值性，必至少有一點(diǎn)，使得&l

37、t;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例12: 計(jì)算 ．</p><p>　　解 令 ， ，因知，在上滿足上述定理的條件．所以由推廣的積分第一中值定理，有</p><p><b>　　.</b&g

38、t;</p><p>　　例13： 證明： ．</p><p>　　證明 由推廣的積分第一中值定理，存在，使得</p><p><b>　　故 .</b></p><p>　　2.3利用廣義積分定義求極限的方法</p><p>　　定理3 （廣義積分定義）設(shè)函數(shù)在無限區(qū)間上連續(xù)，取，若極

39、限 存在，則稱這個(gè)極限值為在無限區(qū)間上的廣義積分.記作</p><p><b>　　即 </b></p><p>　　這時(shí)也稱廣義積分是收斂的．若上述極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散．</p><p>　　類似地，函數(shù)在無限區(qū)間上的廣義積分定義為：</p><p>　　函數(shù)在無限區(qū)間上的廣義積分定義為：</p>

40、<p>　　其中是任一有限數(shù)，僅當(dāng)?shù)仁接叶说膬蓚€(gè)廣義積分都收斂時(shí)，左端的廣義積分才收斂；否則發(fā)散.</p><p>　　例14： 討論下列廣義積分的收散性：</p><p><b>　??； ．</b></p><p>　　解 （1）對任意 ，有</p><p><b>　?。?lt;

41、/b></p><p>　　該廣義積分收斂，其值為．</p><p><b>　?。?）對任意 ,有</b></p><p>　　所以該廣義積分發(fā)散．</p><p>　　例15: 求下列廣義積分：</p><p>　?。?） ；（2） ．</p><p>　　解

42、 （1）由廣義積分定義，有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　（2）由廣義積分定義，有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　總之，利用上述方法可以比較簡單地計(jì)算

43、出一些比較復(fù)雜式子的極限，所以這些方法可以看作計(jì)算極限的補(bǔ)充性算法。</p><p>　　在具體計(jì)算極限時(shí)往往很難找準(zhǔn)計(jì)算的方法．要計(jì)算某一初等函數(shù)或非初等函數(shù)的極限時(shí)，可以用一種以上的方法來解決．但又某一初等函數(shù)或非初等函數(shù)的極限只能用一種方法，不適合其他方法．所以要計(jì)算某個(gè)式子的極限時(shí)，我們應(yīng)該善于辨別它所屬于的類型，再講行計(jì)算．</p><p>　　在本文中，介紹了通過和積分中值定理

44、和廣義積分定義來解決被積函數(shù)；通過導(dǎo)數(shù)定義和微分中值定理來解決冪函數(shù)；利用微分中值定理來解決反三角函數(shù)；又利用定積分定義來解決常數(shù)函數(shù)等幾種方法．利用本文中所介紹的上述方法可以使我們在實(shí)際問題中遇到的一些復(fù)雜的初等函數(shù)和非初等函數(shù)的極限計(jì)算變得更加簡單，快捷且使我們很容易理解其內(nèi)涵．所以上述的方法對于求極限起到補(bǔ)充作用．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p>&

45、lt;p>　　[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析，上冊（第三版）.[M].北京：高等教育出版:.88~219頁</p><p>　　[2]劉西坦，李正元，周民強(qiáng)，林源梁.考研2005數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練系列（第三版）.[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社：48頁</p><p>　　[3]趙紅海，李艷.極限的幾種特殊求法.[J]. 張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)：2007.第20卷（第一期）</p&g

46、t;<p>　　[4]毛羽輝.數(shù)學(xué)分析選論.[M].北京：科學(xué)出版社.89~107頁</p><p>　　[5]李承家，胡曉敏.數(shù)學(xué)分析全析精解（第三版）.[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社： 92頁</p><p>　　[6] 苗群.微積分.[M].北京：科學(xué)出版社. 180181頁</p><p>　　[7]宋清岳，王龍波，劉月蘭. 高等數(shù)學(xué).[M

47、].山東大學(xué)出版社.85～86</p><p>　　[8]陳傳璋，金福臨編，數(shù)學(xué)分析（上、下冊）第三版，高等教育出版社.</p><p>　　[9]侯風(fēng)波，蔡謀全．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)［Ｍ］．沈陽：遼寧大學(xué)出版社，2006：23－27頁，75.</p><p>　　[10]馮麗珠，變形法求極限的變法技巧，武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003年3月，35-36.</p>

48、<p><b>　　致謝</b></p><p>　　在喀什師范學(xué)院的教育下經(jīng)過五年的學(xué)習(xí)，使我在做人做事各個(gè)方面得到了提高．</p><p>　　在老師的指導(dǎo)下我的畢業(yè)論文順利通過，他幫我批閱了好多次，提供了這方面的資料和很好的意見，非常感謝他的幫助，在老師耐心的指導(dǎo)下，我學(xué)會(huì)了論文的三步驟：怎么樣開頭，怎么樣繼續(xù)，怎么樣結(jié)束．</p>&l

49、t;p>　　非常感謝指導(dǎo)老師，也非常感謝我系的各位老師，在他們的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，為以后工作打下了良好的基礎(chǔ)．</p><p><b>　　此致</b></p><p><b>　　敬禮 </b></p><p><b>　　瑪依熱姆·圖爾迪</b></p&