積分號外求極限

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文第1頁共12頁積分號外求極限問題探討積分號外求極限問題探討摘要對于含有積分式的函數(shù)特別是積分麻煩或原函數(shù)求不出來的函數(shù)用通常的方法不易求出其極限文章介紹了求含有積分式函數(shù)極限的方法即利用積分中值定理、Riemam引理和含參積分的連續(xù)性定理以及上下極限、夾逼準(zhǔn)則和洛必達(dá)法則來求解還運(yùn)用到了擬合法、隔離法等等.掌握相關(guān)的定義及性質(zhì)并能運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ň湍芎茌p松的解決積分的極限問題.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞積

2、分與極限交換次序極限一致收斂1引言引言在數(shù)學(xué)分析中極限的概念占有突出的地位計(jì)算函數(shù)的極限也成為教學(xué)的一個重點(diǎn).通常人們利用極限的分析定義、“兩邊夾”定理、無窮小量替換、初等函數(shù)的連續(xù)性、極限的四則運(yùn)算性質(zhì)等方法求函數(shù)的極限但這些方法都是針對一般函數(shù)的對于含有積分式的函數(shù)特別是對積分麻煩或原函數(shù)求不出來的函數(shù)這些方法就不適用了還可以探討積分號與極限號交換的條件及其運(yùn)用.2一些相關(guān)概念一些相關(guān)概念定義定義1設(shè)｛｝為數(shù)列為定數(shù).若對任給的正數(shù)

3、總存在正整數(shù)使得當(dāng)時naa?NnN?有則稱數(shù)列｛｝收斂于定數(shù)稱為數(shù)列｛｝的極限并記作naa???naaana或讀作“當(dāng)趨于無限大時｛｝的極限等于或趨于limnnaa???naa???n??nnaana”.a若數(shù)列｛｝沒有極限則稱｛｝不收斂或稱｛｝為發(fā)散數(shù)列.nanana定義定義2（定積分）（定積分）設(shè)閉區(qū)間上有個點(diǎn)依次為它??ab1n?01naxxxb??????們把分成個小區(qū)間…….這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對??abn??1iiix

4、x???12i?n的一個分割記為或.小區(qū)間的長度為??ab??01nTxxx????12n????i?并記稱為分割的模.1iiixxx??????1maxiinTx????T設(shè)函數(shù)在上有定義為某一實(shí)數(shù).若對的任意分割??fx??abJ00????????ab只要有則稱??::112iiiTinin?????????T????1niiifxJ?????????fx在上的定積分或黎曼積分.記為??ab.????01limnbiiaTiJfx

5、dxfx????????安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文第3頁共12頁積分區(qū)間無限的反常積分——無窮積分①在上有定義且對均有若極限??fx??a??:AaA??????.fRaA?存在則稱在上的反常積分收斂（或存在）且記其極限值為??limAaAfxdx??????fx??a??此時也稱在上是可積的.若原式中的極限不存????limAaaAfxdxfxdx???????@??fx??a??在（包括極限為無窮的情形）則稱在

6、上的（反常）積分發(fā)散也即??fx??a??發(fā)散.類似的可定義的發(fā)散.??afxdx?????bfxdx???②設(shè)是定義在上的函數(shù)對有若存在極限??fx??????AB?????fRBA?其中為某個實(shí)數(shù)則稱在上的（反常）積????limlimCABCBAfxdxfxdx????????C??fx??????分存在或收斂且記極限值為若式中的極限有??????limlimCABCBAfxdxfxdxfxdx??????????????@一個不

7、存在（包括極限為無窮的情形）則稱在上的（反常）積分??fx??????發(fā)散.??fxdx?????注斂散性極其數(shù)值與式中所取的點(diǎn)無關(guān).??fxdx?????C⑵無界函數(shù)的積分——瑕積分約定約定在點(diǎn)若對有定義且是無界的則稱0xx???????00000fxxxxx???????在或0x為的瑕點(diǎn)也稱在處無窮間斷.??fx??fx0xx?①設(shè)在上有定義且對在點(diǎn)為的瑕點(diǎn)??fx??ab????0fRab??????xb???fx若極限存在則稱在

8、上（關(guān)于）的瑕積分收斂或存在其極限??0limbafxdx????????fx??abb值為此瑕積分的值并記為；否則稱反常積分發(fā)散或????0limbbaafxdxfxdx???????@??fxdx?????不存在.類似地可定義瑕點(diǎn)為時的瑕積分.a②設(shè)且積分均為瑕積分其中為的瑕acb??????bdacfxdxfxdx??xab???fx點(diǎn)；或?yàn)榈蔫c(diǎn).若式中兩個積分均收斂則稱在上的瑕積分收斂或xc???fx??fx??ab存在且記；