微積分在生活中的應用-畢業(yè)論文

1、<p><b>　　合肥學院</b></p><p>　　課 程 論 文</p><p>　　專 業(yè) 酒店管理 </p><p>　　班 級 </p><p>

2、;　　學生姓名 </p><p>　　學 號 </p><p>　　論文題目 微積分在生活中的應用 </p><p>　　教 師

3、 </p><p>　　微積分在生活中的應用</p><p>　　摘要：我們學習了微積分，然而只學習不行的，學了的目的是為了應用，本篇論文主要講微積分在生活中的應用，有哪些應用，怎么應用的。主要集中幾何，經濟以及我們在生活中的應用</p><p>　　關鍵詞：微積分，幾何，經濟學，物理學，極限，求導</p><p><

4、;b>　　緒論</b></p><p>　　作為一個剛剛上大學的新生，高等數(shù)學是大學學習中十分重要的一部分，但在學習的過程中，我不禁慢慢產生了一個問題，老師都說微積分就是高等數(shù)學的精髓，那么微積分的意義又是什么呢？它對人類的生活造成的影響又是什么呢？存在必合理，微積分的應用一定很廣，帶著這個思想，我查找了一點資料，我想從幾何，經濟，物理三個角度來闡述關于微積分在我們生活中的應用，下面可能有些我在

5、網上查找的題目，基本上都是直接摘錄的，在此特向老師說明。</p><p>　　我了解到微積分是從生產技術和理論科學的需要中產生，又反過來廣泛影響著生產技術和科學的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學工作者以及技術人員不可缺少的工具。如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。</p><p>　　從

6、17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。通過研究微積分能夠在幾何，物理，經濟等方面的具體應用，得到微積分在現(xiàn)實生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學工具科學地解決問題。</p><p>　　希望通過本文的介紹能使人們意識到微積分與其他各學科的密切關系，讓大家能意識到理論與實際結

7、合的重要性。</p><p>　　一、微積分在幾何中的應用</p><p>　　微積分在我看來在幾何中主要是為了研究函數(shù)的圖像，面積，體積，近似值等問題，對工程制圖以及設計有不可替代的作用。很高興我在網上找到了一些內容與現(xiàn)在我們學的定積分恰巧聯(lián)系上了。頓覺微積分應用真的很廣！</p><p>　　1.1求平面圖形的面積</p><p>　　(

8、1)求平面圖形的面積</p><p>　　由定積分的定義和幾何意義可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于由函數(shù)y=f(x)，x=a，x=b 和軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和。由此可知通過求函數(shù)的定積分就可求出曲邊梯形的面積。 </p><p>　　例如：求曲線和直線x=l，x=2及x軸所圍成的圖形的面積。 </p><p>　　分析：由定積分的定義和幾何

9、意義可知，函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于由曲線和直線，及軸所圍成的圖形的面積。 </p><p>　　所以該曲邊梯形的面積為 </p><p>　　(2)求旋轉體的體積 </p><p>　　(I)由連續(xù)曲線y=f(x)與直線x=a、x=b(a<b) 及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為。</p><p>　　(Ⅱ)由連續(xù)曲

10、線y=g(y)與直線y=c、y=d(c<d)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為。</p><p>　　(III)由連續(xù)曲線y=f(x)( )與直線x=a、x=b( <b)及y軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為。</p><p>　　例如：求橢圓所圍成的圖形分別繞x軸和y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積。 </p><p>

11、　　分析：橢圓繞x軸旋轉時，旋轉體可以看作是上半橢圓，與x軸所圍成的圖形繞軸旋轉一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為</p><p>　　橢圓繞y軸旋轉時，旋轉體可以看作是右半橢圓，與y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周而成的，因此橢圓所圍成的圖形繞y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為</p><p>　　二、在幾何中的應用 </p><p>　

12、　2.1微積分在幾何學中的應用</p><p>　　(1)求曲線切線的斜率 </p><p>　　由導數(shù)的幾何意義可知，曲線y=( x)在點處的切線等于過該點切線的斜率。即，由此可以求出曲線的切線方程和法線方程。 </p><p>　　例如：求曲線在點(1，1)處的切線方程和法線方程。 </p><p>　　分析：由導數(shù)的幾何意義知，所求切線

13、的斜率為：</p><p>　　，所以，所求切線的方程為y-l=2(x一1)，化解得切線方程為2x-y-1=0。又因為法線的斜率為切線斜率的負倒數(shù)，所以，所求法線方程為，化解得法線方程為2y+x-3=0。</p><p>　　(2)求函數(shù)值增量的近似值 </p><p>　　由微分的定義可知，函數(shù)的微分是函數(shù)值增量的近似值，所以通過求函數(shù)的微分可求出函數(shù)值增量的近似

14、值。 </p><p>　　例如：計算的近似值。 </p><p>　　分析：令f(x)=sin(x)，則f(x)=cosx，取，，則由微機分的定義可知</p><p>　　三、微積分在經濟學的應用</p><p>　　在我所查找到的關于微積分在經濟學領域的應用中，我發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學在經濟學中運用十分基礎和廣泛，是學好經濟學 剖析現(xiàn)實經濟現(xiàn)象的基

15、本工具。經濟學與數(shù)學是密不可分息息相關的。高等數(shù)學方法在經濟學中的運用增強了經濟學的嚴密性和說理性，將經濟問題轉化為數(shù)學問題，用數(shù)學方法對經濟學問題進行分析，將數(shù)學中的極限，導數(shù)、微分方程知識在經濟中的運用。</p><p>　　尤其我看到在經濟管理中，由邊際函數(shù)求總函數(shù)（即原函數(shù)），一般采用不定積分來解決，或求一個變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量，則采用定積分來解決。這個對一個企業(yè)的發(fā)展至關重要！

16、</p><p><b>　　1關于最值問題</b></p><p>　　例　設：生產x個產品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C（0）=1000元，產品單價規(guī)定為500元。假設生產出的產品能完全銷售，問生產量為多少時利潤最大？并求最大利潤</p><p>　　解:總成本函數(shù)為C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+

17、x 2+1000 總收益函數(shù)為R(x)=500x總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因為L’’(200)<0。所以，生產量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）</p><p>　　在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產量就必定增加

18、利潤,只有合理安排生產量,才能取得總大的利潤。</p><p><b>　　2關于增長率問題</b></p><p><b>　　例：</b></p><p>　　設變量y是時間t的函數(shù)y = f (t)，則比值為函數(shù)f (t)在時間區(qū)間上的相對改變量；如果f (t)可微，則定義極限為函數(shù)f (t)在時間點t的瞬時增長率。

19、</p><p>　　對指數(shù)函數(shù)而言，由于，因此，該函數(shù)在任何時間點t上都以常數(shù)比率r增長。</p><p>　　這樣，關系式 （*）就不僅可作為復利公式，在經濟學中還有廣泛的應用。如企業(yè)的資金、投資、國民收入、人口、勞動力等這些變量都是時間t的函數(shù)，若這些變量在一個較長的時間內以常數(shù)比率增長，都可以用（*）式來描述。因此，指數(shù)函數(shù)中的“r”在經濟學中就一般的解釋為在任意時刻點t的增長率。

20、如果當函數(shù)中的r取負值時，也認為是瞬時增長率，這是負增長，這時也稱r為衰減率。貼現(xiàn)問題就是負增長。</p><p><b>　　3.彈性函數(shù) </b></p><p>　　設函數(shù)y=f(x)在點x處可導，函數(shù)的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比，當Δx→0時的極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x處的相對變化率，或稱為彈性函數(shù)。記為E

21、yEx?EyEx=limδx→0 </p><p>　　ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x) </p><p>　　在點x=x0處，彈性函數(shù)值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱為f（x）在點x=x0處的彈性值，簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處，當x產生1%的改變時，f（x）近似地改變EExf(x

22、0)%。 </p><p>　　經濟學中，把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。 </p><p>　　對于需求函數(shù)Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價格上漲時，商品的需求函數(shù)Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調減少函數(shù)，ΔP與ΔQ異號，所以特殊地定義，需求對價格的彈性函數(shù)為η(p)=-f’(p)pf(p) </p><p>　　例 設某商品的需求函數(shù)為Q

23、=e-p5，求(1)需求彈性函數(shù)；(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。 </p><p>　　解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5； </p><p>　　(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2 </p><p>　　η(3)=0.6<1，說明當P=3

24、時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度。 </p><p>　　η(5)=1，說明當P=5時，價格上漲1%，需求也減少1%，價格與需求變動的幅度相同。</p><p>　　除了上述幾個例子之外，還有“規(guī)模報酬、等無數(shù)的經濟概念和原理是在充分運用導數(shù)、積分、全微分等各種微積分知識構建的。他們極大的豐富了經濟學內涵，為政府的宏觀調控提供了重要幫助</p

25、><p><b>　　四、總結與展望</b></p><p>　　數(shù)學學習是一種培養(yǎng)學生綜合素質的有效手段,在教學實踐中給學生樹立建模的思想對學生的綜合素質發(fā)展有很大的幫助,也有助于提高我們的學習積極性，因此，我們當代大學生學習高等數(shù)學的重要性就顯而以見的了，我們要想在21世紀的社會有一個立足之地就需要全面的發(fā)展自己，而我們學習的高等數(shù)學又是這里面的重中重！我們只有認清當

26、今社會的人才培養(yǎng)目標，深入的學習高等數(shù)學，使高等數(shù)學在我們的人生中其到應有的作用，為社會做到最大的效益!</p><p>　　參考文獻 (5號宋體) </p><p>　　[1] 同濟大學數(shù)學教研室．高等數(shù)學（第六版）【M】.北京：高等教育出版社.2007</p><p>　　[2] 張麗玲.導數(shù)在微觀經濟學中的應用【J】.河池學院學報,2007,(27).<

27、/p><p>　　[3]百度文庫http://wenku.baidu.com/search?word=%CE%A2%BB%FD%B7%D6%BC%B8%BA%CE%D3%A6%D3%C3&lm=1&od=0&fr=top_home</p><p>　　http://wenku.baidu.com/search?word=%CE%A2%BB%FD%B7%D6%D4%DA%