微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動(dòng)中的應(yīng)用

1、科技信息高校理科研究微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動(dòng)巾硇應(yīng)用青海大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院旅游公共管理系向菊敏[摘要]微積分作為數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)的必備知識(shí)。本文著重討論了微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基本的一些應(yīng)用，計(jì)算邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn)并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；尋求最小生產(chǎn)成本或制定獲得最大利潤(rùn)的一系列策略。[關(guān)鍵詞]微積分邊際分析彈性成本收入利潤(rùn)最大值最小值一、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1、邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用(1)邊際需求與邊際供給需求函數(shù)Q=f(p)

2、在點(diǎn)p處可導(dǎo)(其中Q為需求量，P為商品價(jià)格)，則其邊際函數(shù)Q’=fp)稱(chēng)為邊際需求函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)邊際需求，f)稱(chēng)為當(dāng)價(jià)格為po時(shí)的邊際需求，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格達(dá)到P。時(shí)，如果價(jià)格上漲一個(gè)單位，則需求將相應(yīng)減少r(po)個(gè)單位。供給函數(shù)Q=QfP)可導(dǎo)(其中Q為供給量，P為商品價(jià)格)，則其邊際函數(shù)QIQ)稱(chēng)為邊際供給函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)邊際供給，Q’(稱(chēng)為當(dāng)價(jià)格為po時(shí)的邊際供給。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格達(dá)到P。時(shí)，如果價(jià)格上漲一個(gè)單位，則供給增加Q’(

3、po)個(gè)單位。(2)邊際成本函數(shù)總成本函數(shù)C=C(Q)=Cnct(Q)；平均成本函數(shù)=c(Q)=C(Q)／Q；c『_c’(Q)稱(chēng)為邊際成本函數(shù)，c’(Q0)稱(chēng)為當(dāng)產(chǎn)量為Q。時(shí)的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q。時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減c’(Q0)個(gè)單位。(3)邊際收益函數(shù)總收益函數(shù)R=R(Q)，平均收益函數(shù)=R(Q)／Q，邊際收益函數(shù)RI_Rt(Q)，簡(jiǎn)稱(chēng)邊際收益，R’(Qo)稱(chēng)為當(dāng)商品銷(xiāo)售量為Q。時(shí)的邊際收益，經(jīng)

4、濟(jì)意義為：當(dāng)銷(xiāo)售量達(dá)到o0時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減R。(Q0)個(gè)單位。(4)邊際利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)L=L(Q)=R(Q)一c(Q)，平均利潤(rùn)函數(shù)=L(Q)=L(Q)／Q，邊際利潤(rùn)函數(shù)=L’(Q)=(Q)一c’(Q)，L’(Q0)稱(chēng)為當(dāng)產(chǎn)量為Qo時(shí)的邊際利潤(rùn)，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q。時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則利潤(rùn)將相應(yīng)增減L。(Q個(gè)單位。例1某企業(yè)每月生產(chǎn)Q(噸)產(chǎn)品的總成本c(千元)是產(chǎn)量Q的函數(shù)，C(Q)=Q2

5、lOQ20，如果每噸產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)格2萬(wàn)元，求每月生產(chǎn)1O噸、15噸、2O噸時(shí)的邊際利潤(rùn)。解：每月生產(chǎn)。噸產(chǎn)品的總收入函數(shù)為：R(Q)=2OQL(Q)=R(Q)一c(Q)=20Q一(Q2lOQ2O)=Q3OQ2OL’(Q)=(一Q3OQ2O)一2Q3O則每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸的邊際利潤(rùn)分別為L(zhǎng)’(10)一2Z1030=10(千元／噸)；L’f15)=一2X1530=0(千元／噸)；L’f2O)：一2X2030=一10(千元／噸)。以

6、上結(jié)果表明：當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)將增加l萬(wàn)元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)則不會(huì)增加；當(dāng)月產(chǎn)量為2O噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)反而減少1萬(wàn)元。顯然企業(yè)不能完全靠增加產(chǎn)量來(lái)提高利潤(rùn)，那么保持怎樣的產(chǎn)量才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)呢2、最大值與最小值在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用最優(yōu)化問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)的核心，各種最優(yōu)化問(wèn)題也是微積分中最關(guān)心的問(wèn)題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤(rùn)最大，費(fèi)用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在

7、經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。(1)最低成本問(wèn)題例2設(shè)某廠(chǎng)每批生產(chǎn)某種產(chǎn)品X個(gè)單位的總成本函數(shù)為c㈤=mx一nxpx(常數(shù)mO，n0，p0)，①問(wèn)每批生產(chǎn)多少單位時(shí)，使平均成本最小②求最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本。解：①平均成本(X)==m)(2_nxp，‘(x)=2mx—nX令‘(x)=0，得x=一，而”(x)=2m0。所以，每批生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)，平均成本最小。②最小平均成本=m(2nXp=一一Pmm／4Inm，又Z斗mc’(x)=3mx

8、E2nxp，C’()=3m(一)L2nP一p，所以，最小mmZlrl4m平均成本等于其相應(yīng)的邊際成本。(2)最大利潤(rùn)問(wèn)題例3設(shè)某廠(chǎng)每批生產(chǎn)某種商品Q(chēng)單位的費(fèi)用為C(Q)=5Q2OO(元)，得到的收益是R(Q))=lOQ一0OlQ(元)，問(wèn)每批生產(chǎn)多少單位時(shí)利潤(rùn)最大最大利潤(rùn)是多少解：產(chǎn)品的費(fèi)用函數(shù)C(Q)=5Q200收益函數(shù)R(Q)=lOQ—OOlQ則利潤(rùn)函數(shù)L(Q)=R(Q)一c(Q)=一OOlQ~5Q2OOL’(Q)=一0O2Q5令L

9、‘(Q)：0得Q=25oLtfQ)一0021，說(shuō)明當(dāng)P=6時(shí)，價(jià)格上漲1％，需求減少12％，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度。3、收益彈性收益R是商品價(jià)格P與銷(xiāo)售量Q的乘積，即R=PQ=Pf(p)，R’=p)(p)=f(p)(1f))=f(p)(1—11)，所以，收益彈性為蓋爭(zhēng)=R’(P)(P／R(P))=(1一)=l一這樣，就推導(dǎo)出收益彈性與需求彈性的關(guān)系是：在任何價(jià)格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。(1)若qo即價(jià)格上漲(或下

10、跌)1％，收益增加(或減rJr少)(1q；(2)若q1，則0簡(jiǎn)寫(xiě)為：maxz=ex使得Axe0葺荀i人ConstrainedMax[z，2x13x2≤100050，X1~23010，x2≤20010，xl，x2)]得z’=2530，XI1=240，x2=190從而do=zI_zo=120將z。，d。，d，d，d，輸人(△)程序ConstrainedMax『，2x13xz50h~100050xl10h~23010，xz10h≤20010，

11、z一120h≥2410，≤1)，xl，X2，l1得上述模糊線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為x~=235X2“=185=O5，因此甲類(lèi)產(chǎn)品235套，乙類(lèi)產(chǎn)品185套時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)z=5x7x=2470(萬(wàn)元1。對(duì)比經(jīng)典線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題f4)，雖然甲類(lèi)產(chǎn)品多生產(chǎn)5套，乙類(lèi)產(chǎn)品多生產(chǎn)5套，總費(fèi)用超出25萬(wàn)元，但利潤(rùn)提高了6O萬(wàn)元。4結(jié)束語(yǔ)用Mathematiea軟件求解模糊線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題使運(yùn)算變得簡(jiǎn)潔。此外，Mathematica軟件在求解多目標(biāo)模糊線(xiàn)性

12、規(guī)劃、有模糊系數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中也能發(fā)揮其超強(qiáng)的計(jì)算功能。因此學(xué)好運(yùn)用好Mathematica軟件，對(duì)處理生產(chǎn)、管理等經(jīng)濟(jì)問(wèn)題有很大幫助。參考文獻(xiàn)[1]胡淑禮模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M]四川大學(xué)出版社，1994年[2]徐安農(nóng)Mathematica數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)電子工業(yè)出版社，2006年(上接第99頁(yè))其固定成本為C。=1000元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)產(chǎn)銷(xiāo)平衡，問(wèn)生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)。解：總成本函數(shù)為c(x)=J0(1002

13、t)dtc(0)=100xx21000總收益函數(shù)為R(x)=500x總利潤(rùn)L(x)=R(x)一c(x1=400x—x1000，L=400—2x，令L『_O，得x=200，因?yàn)長(zhǎng)”(200)0。所以，生產(chǎn)量為200單位時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(200)=400200—2OO2—1O0O=39O0O(元)。在這里我們應(yīng)用了定積分，分析出利潤(rùn)最大，并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤(rùn)，只有合理安排生產(chǎn)量，才能取得最大的利潤(rùn)。綜上所述，對(duì)企業(yè)

14、經(jīng)營(yíng)者來(lái)說(shuō)，對(duì)其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過(guò)程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個(gè)合格的企業(yè)經(jīng)營(yíng)者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為科學(xué)的經(jīng)營(yíng)決策提供可靠依據(jù)。參考文獻(xiàn)[1]趙樹(shù)塬經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(一)微積分中國(guó)人民大學(xué)出版社，2002[2]朱來(lái)義高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等教育出版社2003[3]吳贛