定積分在幾何上的應(yīng)用

1、,定積分的元素法,一、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ?,二 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?,,表示為,一、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ?,1) 所求量 U 是與區(qū)間[a , b]上的某函數(shù) f (x) 有關(guān)的,2) U 對(duì)區(qū)間 [a , b] 具有可加性 ,,即可通過(guò),“分割, 近似, 求和, 取極限”,定積分定義,一個(gè)整體量 ;,,二 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?,第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的,,微分表達(dá)式,第二步 利

2、用“ 積零為整 , 無(wú)限累加 ” 求出整體量的,,積分表達(dá)式,這種分析方法成為元素法 (或微元法),近似值,精確值,,四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積,,一、 平面圖形的面積,二、 平面曲線的弧長(zhǎng),,,,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,,,邊梯形面積為 A ,,右圖所示圖形面積為,例1. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積 .,解:

3、由,,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,,則有,,,,,,,,,例2. 求橢圓,解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式,,例3. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,,,2. 極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,,,,,,,,,,,,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇

4、形的面積為,,對(duì)應(yīng) ? 從 0 變,例4. 計(jì)算阿基米德螺線,解:,,,,,,,到 2? 所圍圖形面積 .,,,例5. 計(jì)算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對(duì)稱(chēng)性 ,,所求面積,,,,二、平面曲線的弧長(zhǎng),,當(dāng)折線段的最大,邊長(zhǎng) ?→0 時(shí),,折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,,即,并稱(chēng)此曲線弧為可求長(zhǎng)的.,定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.,則稱(chēng),(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:,,弧長(zhǎng)元素(弧微分) :,,,因此所求

5、弧長(zhǎng),,,(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長(zhǎng)元素(弧微分) :,因此所求弧長(zhǎng),(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:,因此所求弧長(zhǎng),則得,弧長(zhǎng)元素(弧微分) :,例6. 求連續(xù)曲線段,解:,的弧長(zhǎng).,例7. 計(jì)算擺線,一拱,的弧長(zhǎng) .,解:,三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),,則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),,特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),,有

6、,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),,有,,,,柱殼體積,說(shuō)明:,,柱面面積,,（以擺線為例）,,例8. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,,并,與底面交成 ? 角,,,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,,其面積為,利用對(duì)稱(chēng)性,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面

7、積 .,取側(cè)面積元素:,,側(cè)面積元素,,的線性主部 .,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,不是薄片側(cè)面積△S 的,,注意:,側(cè)面積為,例9. 計(jì)算圓,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .,解: 對(duì)曲線弧,應(yīng)用公式得,當(dāng)球臺(tái)高 h＝2R 時(shí), 得球的表面積公式,,例10. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .,解: 利用對(duì)稱(chēng)性,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,