4.3定積分的應用

1、,,,,4.3 定積分的應用(92),3,1、微元法,引例 曲邊梯形面積,4.3.1 定積分的幾何應用,4.3 定積分的應用(92),4,面積表示為定積分的步驟如下,（3） 求和，得A的近似值,4.3 定積分的應用(92),5,（4） 求極限，得A的精確值,提示,4.3 定積分的應用(92),6,4.3 定積分的應用(92),7,微元法的一般步驟：,4.3 定積分的應用(92),8,這個方法通常叫做微元法或元素法．,應用

2、方向：,平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．,4.3 定積分的應用(92),9,,,,,曲邊梯形的面積,,曲邊梯形的面積,2、直角坐標系情形,4.3 定積分的應用(92),10,解,兩曲線的交點,面積元素,選 為積分變量,,,4.3 定積分的應用(92),11,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,,,4.3 定積分的應用(92),12,于是所求面積,說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．,

3、問題：,積分變量只能選 嗎？,4.3 定積分的應用(92),13,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,,,,4.3 定積分的應用(92),14,設(shè)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程：,則曲邊梯形的面積,3、參數(shù)方程情形,4.3 定積分的應用(92),15,解,橢圓的參數(shù)方程,由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．,,4.3 定積分的應用(92),16,,,,,,面積元素,曲邊扇形的面積,4、極坐標系情形,4.3 定積分的應用

4、(92),17,解,由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積,,4.3 定積分的應用(92),18,解,利用對稱性知,4.3 定積分的應用(92),19,求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積.,（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）,4.3.3 小結(jié)與思考題1,4.3 定積分的應用(92),20,思考題,4.3 定積分的應用(92),21,思考題解答,,兩邊同時對 求導,4.3 定積分的應用

5、(92),22,積分得,所以，所求曲線為：,4.3 定積分的應用(92),23,課堂練習題,4.3 定積分的應用(92),24,課堂練習題答案,4.3 定積分的應用(92),25,,,,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．,,,,圓柱,圓錐,圓臺,5、旋轉(zhuǎn)體的體積,4.3 定積分的應用(92),26,,,,旋轉(zhuǎn)體的體積為,4.3 定積分的應用(92),27,,,解,,,,,,直線

6、 方程為,4.3 定積分的應用(92),28,4.3 定積分的應用(92),29,解,4.3 定積分的應用(92),30,,4.3 定積分的應用(92),31,解,4.3 定積分的應用(92),32,4.3 定積分的應用(92),33,補充:,利用這個公式，可知上例中,4.3 定積分的應用(92),34,解,,體積元素為,,,4.3 定積分的應用(92),35,6、平行截面面積為已知的立體體積,,,如果一個立體不

7、是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,4.3 定積分的應用(92),36,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,4.3 定積分的應用(92),37,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,4.3 定積分的應用(92),38,旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積為已知的立體的體積,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周,4.3.3

8、小結(jié)與思考題1,4.3 定積分的應用(92),39,思考題,4.3 定積分的應用(92),40,思考題解答,,,交點,立體體積,,,4.3 定積分的應用(92),41,課堂練習題,4.3 定積分的應用(92),42,4.3 定積分的應用(92),43,課堂練習題答案,4.3 定積分的應用(92),44,,,,,,,,,7、平面曲線的弧長,4.3 定積分的應用(92),45,,,弧長元素,弧長,4.3 定積分的應用(92)

9、,46,解,所求弧長為,4.3 定積分的應用(92),47,解,4.3 定積分的應用(92),48,設(shè)曲線弧為,弧長:,4.3 定積分的應用(92),49,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對稱性,第一象限部分的弧長,4.3 定積分的應用(92),50,證,4.3 定積分的應用(92),51,根據(jù)橢圓的對稱性知,故原結(jié)論成立.,4.3 定積分的應用(92),52,設(shè)曲線弧為,弧長:,4.3 定積分的應用(92),53,解,4.3

10、 定積分的應用(92),54,解,4.3 定積分的應用(92),55,平面曲線弧長的概念,直角坐標系下,參數(shù)方程情形下,極坐標系下,弧微分的概念,求弧長的公式,4.3.3 小結(jié)與思考題1,4.3 定積分的應用(92),56,思考題,4.3 定積分的應用(92),57,思考題解答,不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長．,,4.3 定積分的應用(92),58,課堂練習題,4.3 定積分的應用(92),59,課

11、堂練習題答案,4.3 定積分的應用(92),60,4.3.2 定積分的物理應用,1、變力做功,4.3 定積分的應用(92),61,4.3 定積分的應用(92),62,解,,功元素,所求功為,如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處,4.3 定積分的應用(92),63,解,建立坐標系如圖,,,4.3 定積分的應用(92),64,這一薄層水的重力為,功元素為,(千焦)．,4.3 定積分的應用(92),65,解,設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇?第

12、一次錘擊時所作的功為,4.3 定積分的應用(92),66,依題意知，每次錘擊所作的功相等，所以,4.3 定積分的應用(92),67,第 次擊入的深度為,4.3 定積分的應用(92),68,2、水壓力,4.3 定積分的應用(92),69,解,在端面建立坐標系如圖,,,4.3 定積分的應用(92),70,4.3 定積分的應用(92),71,解,建立坐標系如圖,,,,,面積微元,4.3 定積分的應用(92),72,3、引力,

13、4.3 定積分的應用(92),73,解,建立坐標系如圖,將典型小段近似看成質(zhì)點,小段的質(zhì)量為,,,4.3 定積分的應用(92),74,小段與質(zhì)點的距離為,引力元素,水平方向的分力元素,由對稱性知，引力在鉛直方向分力為,4.3 定積分的應用(92),75,利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題．,（注意熟悉相關(guān)的物理知識）,4.3.3 小結(jié)與思考題2,4.3 定積分的應用(92),76,思考題,一個球被完全浸沒水中

14、，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？ 它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？,4.3 定積分的應用(92),77,思考題解答,該球面所受的總壓力方向向上,其大小為它在水中所受到的浮力。 在水中該球的下半球面所受的壓力大于上半球面，其差值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力。 因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關(guān)。,4.3 定積分的應用(92),7

15、8,課堂練習題,4.3 定積分的應用(92),79,課堂練習題答案,4.3 定積分的應用(92),80,實例：用某班所有學生的考試成績的算術(shù)平均值來描述這個班的成績的概貌.,,算術(shù)平均值公式,,只適用于有限個數(shù)值,問題：求氣溫在一晝夜間的平均溫度.,入手點：連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值.,討論思想：分割、求和、取極限.,4、函數(shù)的平均值,4.3 定積分的應用(92),81,（1）分割：,每個小區(qū)間的長

16、度,設(shè)各分點處的函數(shù)值為,函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值近似為,每個小區(qū)間的長度趨于零.,（2）求和：,（3）取極限：,4.3 定積分的應用(92),82,,,,函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值為,,幾何平均值公式,區(qū)間長度,4.3 定積分的應用(92),83,解,設(shè)電阻為　，,則電路中的電壓為,功率,一個周期區(qū)間,平均功率,4.3 定積分的應用(92),84,結(jié)論：純電阻電路中正弦交

17、流電的平均功率等于電流、電壓峰值的乘積(即功率峰值)之半．,4.3 定積分的應用(92),85,通常交流電器上標明的功率就是平均功率．交流電器上標明的電流值都是一種特定的平均值，習慣上稱為有效值．,5、均方根,4.3 定積分的應用(92),86,按定義有,有效值計算公式的推導,即,4.3 定積分的應用(92),87,結(jié)論：正弦交流電的有效值等于電流峰值的,4.3 定積分的應用(92),88,函數(shù)的平均值,函數(shù)的有效值或均方根,（