定積分及應(yīng)用習(xí)題課

1、1第五章定積分本章知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖定積分定積分的概念與意義定積分的性質(zhì)定積分的計(jì)算定積分的應(yīng)用平面區(qū)域的面積經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式換元積分法分部積分法數(shù)學(xué)家的故事:萊布尼茲簡(jiǎn)介萊布尼茲(G.W.Leibniz16461716)是德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家一個(gè)舉世罕見的科學(xué)天才和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人.生于萊比錫卒于漢諾威.萊布尼茲的父親在萊比錫大學(xué)教授倫理學(xué)在他六歲時(shí)就過(guò)世留下大量的人文書籍早慧的他自習(xí)拉丁文與希臘

2、文廣泛閱讀.1661年進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何1666年在紐倫堡阿爾多夫大學(xué)通過(guò)論文《論組合的藝術(shù)》獲法學(xué)博士并成為教授該論文及后來(lái)的一系列工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人1667年他投身外交界游歷歐洲各國(guó)接觸了許多數(shù)學(xué)界的名流并保持聯(lián)系在巴黎受惠更斯的影響決心鉆研數(shù)學(xué)他的主要目標(biāo)是尋求可獲得知識(shí)和創(chuàng)造發(fā)明的一般方法這導(dǎo)致了他一生中的許多發(fā)明其中最突出的是微積分與牛頓不同他主要是從代數(shù)的角度把微積分作為一種運(yùn)算的過(guò)程與方

3、法而牛頓則主要從幾何和物理的角度來(lái)思考和推理把微積分作為研究力學(xué)的工具萊布尼茨于1684年發(fā)表了第一篇微分學(xué)的論文《一種求極大極小和切線的新方法》是世界上最早的關(guān)于微積分的文獻(xiàn)雖僅6頁(yè)推理也不清晰卻含有現(xiàn)代的微分學(xué)的記號(hào)與法則1686年他又發(fā)表了他的第一篇積分論文由3本章小結(jié)本章主要掌握定積分的概念、意義、性質(zhì)以及會(huì)用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算定積分.一、定積分的概念、意義與性質(zhì)1.概念:定積分源自于求曲邊梯形的面積它的計(jì)算形式為:結(jié)果是一

4、01()lim()nbkkakfxdxfx????????個(gè)數(shù)值其值的大小取決于兩個(gè)因素（被積函數(shù)與積分限）2.幾何意義:是曲線之間與軸所圍的面積的代數(shù)和??()yfxab?介于x3.經(jīng)濟(jì)意義:若是某經(jīng)濟(jì)量關(guān)于的變化率（邊際問題）則是在區(qū)間中的()fxx()bafxdx?x??ab該經(jīng)濟(jì)總量4.性質(zhì):本章共列了定積分的八條性質(zhì)其中以下幾條在計(jì)算定積分中經(jīng)常用到.（1）()()baabfxdxfxdx????（2）??()()()()bb

5、baaafxgxdxfxdxgxdx??????（3）()()bbaakfxdxkfxdx???（4）()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx?????（5）.00()2()aaafxfxdxfxdxfx?????????為奇函數(shù)時(shí)（）（）為偶函數(shù)時(shí)二、定積分的計(jì)算1牛頓—萊布尼茲公式:若在上連續(xù)是的一個(gè)原函數(shù)則()fx??ab()Fx()fx.()()()bafxdxFbFa???2換元法:若在連續(xù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且單調(diào)則有(