微分中值定理及其應(yīng)用習(xí)題課

1、1微分中值定理及其應(yīng)用習(xí)題課微分中值定理及其應(yīng)用習(xí)題課一基本定理基本定理1）羅爾中值定理羅爾中值定理若函數(shù)滿足如下條件：f（?。┰陂]區(qū)間上連續(xù)；f??ba（ⅱ）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；f??ab（ⅲ）)()(bfaf?則在內(nèi)至少存在一點使得)(ba?0)(???f注羅爾中值定理主要用于說明有根，關(guān)鍵是要找兩點使這兩點函??0fx??數(shù)值相等注介值定理主要用于說明有根，關(guān)鍵是要找兩點使這兩點函數(shù)值??0fx?異號（1）證有根??0fx??????

2、???????????100fxfxgxgxgxfxgxgx???????????????????????法用介值定理（若此時易找兩點使函數(shù)值異號）.法2將轉(zhuǎn)化為對用羅爾定理若很容易求出，使，且對很容易找兩點使函數(shù)值相等.（2）證有根??0fx????1.?????法費馬定理（易找極值點或內(nèi)部最值點）法2羅爾定理易找兩點使函數(shù)值相等（3）證根唯一的方法1???法單調(diào)性法2反證法羅爾定理.（4）證有根，經(jīng)常對用羅爾定理????0nfx??

3、???1nfx?（5）證至少存在一點，使含的代數(shù)式??3??()200000000()()()()()()()()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxoxxn?????????????若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)f][ban)(ba)1(?n函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點，使得][0baxx?)(ba???????????200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf10)1(00)(

4、)()!1()()(!)(???????nnnnxxnfxxnxf?注看到有二階以上導(dǎo)數(shù)，經(jīng)常要考慮泰勒中值定理注對中值定理為了幫助讀者記憶，給出以下口訣對中值定理為了幫助讀者記憶，給出以下口訣一階有界用拉格，二階以上想泰勒；中值等式羅拉柯，輔助函數(shù)逃不脫；函數(shù)增量想拉柯，易積結(jié)論用阿羅；多個中值多次用，把握特征心自得二疑難解答疑難解答1極值與最值有什么區(qū)別與聯(lián)系？答1）極值是一個局部概念因為是函數(shù)的極值是與的某鄰域0()fx()fx0

5、x上的函數(shù)值比較而言的；而最值是對整個區(qū)間而言的是一個整體概??0Ux()fx念2）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值且最大值和最小值各有一個最大值??ab大于最小值（常函數(shù)除外）但可能無極值（因為極值點必在區(qū)間的內(nèi)部，不能0x是區(qū)間的端點，而最值有可能在端點取）即使有極值也可能不止一個極小值也可能大于極大值因此若(是函數(shù)的最值則不可能是極值若（??fa??fa0()fx）是函數(shù)的最值則一定是極值即（最值不一定是極值，反之極值也0()xab?不