3(91-134)微分中值定理及其應(yīng)用

1、91第三章第三章微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用1.11.1微分中值定理及其應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)圖微分中值定理及其應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)圖1.21.2內(nèi)容提要與釋疑解難內(nèi)容提要與釋疑解難定義定義若存在若存在x0的某鄰域的某鄰域，使得對一切，使得對一切，都有，都有???0xU???0xUx?))()(()()(00xfxfxfxf??則稱則稱為極大值（極小值）為極大值（極小值），稱，稱x0為極大（?。┲迭c(diǎn)。極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值為極大（?。┲迭c(diǎn)。

2、極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值)(0xf點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。費(fèi)馬（費(fèi)馬（Femat）定理（取到極值的必要條件））定理（取到極值的必要條件）設(shè)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處取到極值，且處取到極值，且存在，則存在，則)(0xf.0)(0?xf反之不真，例如反之不真，例如但f(0)不是極值。不是極值。0)0(3)()(23???fxxfxxf費(fèi)馬定理常用于證明費(fèi)馬定理常用于證明f(x)=0有一個(gè)根，找一個(gè)有一個(gè)根，找

3、一個(gè)F(x)，使，使證明證明F（x）在某點(diǎn)）在某點(diǎn)x0).()(xfxF?導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理微分中值定理費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理羅爾定理羅爾定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理泰勒公式泰勒公式中值定理應(yīng)用中值定理應(yīng)用方程根的存在性方程根的存在性適合某種條件適合某種條件的存在性的存在性?不等式不等式函數(shù)性態(tài)研究函數(shù)性態(tài)研究最大值與最小值最大值與最小值曲線的局部性質(zhì)曲線的局部性質(zhì)單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間極值極值凹向與拐點(diǎn)凹向與拐點(diǎn)漸近

4、線漸近線函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪曲率曲率曲率圓曲率圓中心中心——漸屈線漸屈線半徑半徑93推論推論若f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間X內(nèi)部可導(dǎo)，當(dāng)內(nèi)部可導(dǎo)，當(dāng)內(nèi)部，內(nèi)部，且f(x)在??x)0(0)(??xfX的任何于區(qū)間上，的任何于區(qū)間上，則f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上嚴(yán)格遞增（減）上嚴(yán)格遞增（減）。0)(?xf證由，知，知f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上遞增，假設(shè)上遞增，假設(shè)f(x)在X上不是嚴(yán)格遞增，即存在上不是嚴(yán)格遞增，

5、即存在0)(?xf上遞增，所以任給上遞增，所以任給，有，有][)()()(21212121xxxfxfxfxxxx在由有且????][21xxx?從而從而)()()()(121xfxfxfxf???][)()(211xxxxfxf??所以所以與條件矛盾，故與條件矛盾，故f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上嚴(yán)格遞增，對于上嚴(yán)格遞增，對于，同理，同理][0)(21xxxxf??0)(?xf可證可證f(x)在X上嚴(yán)格遞減。上嚴(yán)格遞減。單調(diào)性定理及推論是證

6、明函數(shù)在某區(qū)間上（嚴(yán)格）單調(diào)或是常值函數(shù)和求函數(shù)（嚴(yán)格）單調(diào)區(qū)單調(diào)性定理及推論是證明函數(shù)在某區(qū)間上（嚴(yán)格）單調(diào)或是常值函數(shù)和求函數(shù)（嚴(yán)格）單調(diào)區(qū)間的重要方法。間的重要方法?？挛鳎挛鳎–auchy）定理）定理設(shè)f(x)g(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間[ab]上滿足下列條件：上滿足下列條件：（1）f(x)g(x)在[ab]上連續(xù)上連續(xù)（2）f(x)g(x)在(ab)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)（3），則至少，則至少)(0)(baxxg??存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)使)(b

7、a??)()()()()()(??gfagbgafbf???證明與拉格朗日證明類似，只要把拉格朗日定理證明過程中證明與拉格朗日證明類似，只要把拉格朗日定理證明過程中b換成換成g(b)，a換成換成g(a)，x換成換成g(x)即可，讀者可自證。即可，讀者可自證。典型錯(cuò)誤典型錯(cuò)誤:對f(x)g(x)在[ab]上分別應(yīng)用拉格朗日定理有上分別應(yīng)用拉格朗日定理有。bagfabgabfagbgafbf?????????????其中)()())(())

8、(()()()()(實(shí)際上分子、分母中的兩個(gè)實(shí)際上分子、分母中的兩個(gè)是不一樣。是不一樣。?柯西定理也可以用來證明不等式及適合某種條件柯西定理也可以用來證明不等式及適合某種條件的存在性，但沒有拉格朗日定理和羅爾定理的存在性，但沒有拉格朗日定理和羅爾定理?用得多。用得多。泰勒（泰勒（Tayl）定理）定理設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間X上存在上存在n1階導(dǎo)數(shù)，對每一個(gè)階導(dǎo)數(shù)，對每一個(gè)任給任給0??x，有，有0xxx???且)()!1()()(!)()