3 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié) 微分中值定理

1、第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理教學(xué)內(nèi)容和重點(diǎn)：教學(xué)內(nèi)容和重點(diǎn)：1、掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，2、了解柯西中值定理3、掌握定理的條件、結(jié)論及幾何意義；4、會(huì)用定理討論方程的根或證明不等式等問題一、羅爾定理一、羅爾定理1、羅爾定理：設(shè)函數(shù)同時(shí)滿足以下三條：??fx①、在上連續(xù)；??fx??ab②、在內(nèi)可導(dǎo)；??fx??ab③、????.fafb?則至少存在一個(gè)圖形啟發(fā)：最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為????..0.abstf

2、?????0。2、簡證：??????????1212abxxabs.t.fxMfxm.fx?????在上連續(xù)，、①、????m=Mxmf?若則常數(shù)，????ab0f???此時(shí)可取內(nèi)任意一點(diǎn)，有②、????????12mMxxababff???若，則、至少有一點(diǎn)在內(nèi)部，??????????????????????????1111111xx1111111xabxxxxxlim0xlim0xxxxxxx0xxabs.t.0.xxfffffff

3、ffff??????????????????????????????不妨設(shè)是存在的取則費(fèi)馬引理：最值點(diǎn)???0.f????3、用處：????????abs.t.00abff??????????方程在內(nèi)至少有一個(gè)根。則羅爾定理可討論方程根的存在性（討論方程根的存在性有兩個(gè)：零點(diǎn)定理、羅爾定理）ab1?2?xyo)(xfy?????????2n11n0000aafxaxxx2n101123f0f10??????證：設(shè)=，在上考慮，、連續(xù)，、

4、可導(dǎo)，、==，由羅爾定造函數(shù)理知結(jié)：選區(qū)間：論成立。二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理（解除羅爾定理中（解除羅爾定理中這個(gè)苛刻條件）這個(gè)苛刻條件）????fafb?1、拉格朗日中值定理：①、在上連續(xù)；??fx??ab②、在內(nèi)可導(dǎo)；??fx??ab則，至少存在一個(gè)????????fbfa...baabstf???????2、幾何解釋：在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線平行于弦?AB。3、簡證：用羅爾定理，造函數(shù)，驗(yàn)證端點(diǎn)值相同。?

5、?????????????????????????????????????????????????????????????????????????000y=fxLLxxfxLxab0xfbfaxbafxfbfaLxfaxabafbfaxfxLxxfxfaxaba1xab2xab3ab0fbfa..0.babstf?????????????????????????????????????????曲線弦=造==另：令=點(diǎn)斜式寫出弦軌跡。令=

6、=、在上連續(xù)；、在內(nèi)可導(dǎo)；、=。則即.a?4、幾點(diǎn)應(yīng)注意的問題：①、羅爾定理是拉格朗日定理的特例；②、????????fbfafbaab?????、大小無關(guān)；③、又稱有限增量定理，微分中值定理，精確表達(dá)：????????????????xfxIyfxxfxfxxxxdfxfxxyxx01xxxy=fxxxdydy???????????????AAAAAAAAAAA設(shè)在可導(dǎo)==有限增量定理其中在與之間=若=其中在與之間，微分中值定理。④、