微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課

1、第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課 (一),微分中值定理,一、微分中值定理,1．羅爾定理,2．拉格朗日中值定理,3．柯西中值定理,在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且 ,,在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則至少存在一,使,在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), ，,則至少存在一 使

2、,則至少存在一 使,三、三個(gè)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系,拉格朗日中值定理,羅爾定理,,柯西中值定理,二、判別 的方法,,,,,,,,若,，則,,四、典型例題,定理的三個(gè)條件。,,,, 所以不能利用零點(diǎn)定理, 考慮利用羅爾定理證明。,的左端函數(shù), 其次 在題設(shè)的相應(yīng)區(qū)間上滿足羅爾,首先構(gòu)造一個(gè)函數(shù) 使 ，其中 是欲證方程,

3、證明: 設(shè),由羅爾定理，存在 使,即,這說(shuō)明 就是方程,的一個(gè)小于 的正根.,零點(diǎn)定理, 考慮利用羅爾定理證明。因此構(gòu)造函數(shù),范圍內(nèi), 不能找到區(qū)間 ，使得 , 所以不能利用,由于要證明方程至少存在根，所以，要在 的范圍內(nèi),,的系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn),所以選取,,，因此，對(duì) 應(yīng)用羅爾定理即可證明。,證明 ：令,取區(qū)間,顯然

4、 在 連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且,即,構(gòu)造函數(shù),因此，方程 至少有一個(gè),正根。,,,,,,,,,羅爾定理的條件，且從 中能得出 .,由于結(jié)論是兩項(xiàng)和，故 為兩個(gè)函數(shù)乘積的形式。將,分析 從結(jié)論

5、 看等價(jià)于方程,有實(shí)根，但若利用零點(diǎn)定理，無(wú)法驗(yàn)證 ，所以,換為 若令 則結(jié)論,為,證明: 令,且 , 故由羅爾定理知,,使

6、 即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo)，,分析 將所證不等式變形為 , 可見(jiàn),,此題類型為利用拉格朗日中值定理證明不等式。,只要對(duì) 在 上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.,,,,即,故,或,得,顯然有,,可見(jiàn)，應(yīng)對(duì) 與 在 上應(yīng)用,柯西