微分中值定理與導數(shù)的應用習題課

1、第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用習題課 (一),微分中值定理,一、微分中值定理,1．羅爾定理,2．拉格朗日中值定理,3．柯西中值定理,在 上連續(xù), 在 內可導, 且 ,,在 上連續(xù), 在 內可導, 則至少存在一,使,在 上連續(xù), 在 內可導, ，,則至少存在一 使

2、,則至少存在一 使,三、三個定理之間的內在聯(lián)系,拉格朗日中值定理,羅爾定理,,柯西中值定理,二、判別 的方法,,,,,,,,若,，則,,四、典型例題,定理的三個條件。,,,, 所以不能利用零點定理, 考慮利用羅爾定理證明。,的左端函數(shù), 其次 在題設的相應區(qū)間上滿足羅爾,首先構造一個函數(shù) 使 ，其中 是欲證方程,

3、證明: 設,由羅爾定理，存在 使,即,這說明 就是方程,的一個小于 的正根.,零點定理, 考慮利用羅爾定理證明。因此構造函數(shù),范圍內, 不能找到區(qū)間 ，使得 , 所以不能利用,由于要證明方程至少存在根，所以，要在 的范圍內,,的系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn),所以選取,,，因此，對 應用羅爾定理即可證明。,證明 ：令,取區(qū)間,顯然

4、 在 連續(xù)，在 內可導，且,即,構造函數(shù),因此，方程 至少有一個,正根。,,,,,,,,,羅爾定理的條件，且從 中能得出 .,由于結論是兩項和，故 為兩個函數(shù)乘積的形式。將,分析 從結論

5、 看等價于方程,有實根，但若利用零點定理，無法驗證 ，所以,換為 若令 則結論,為,證明: 令,且 , 故由羅爾定理知,,使

6、 即,由已知條件知 在 上連續(xù), 在 內可導，,分析 將所證不等式變形為 , 可見,,此題類型為利用拉格朗日中值定理證明不等式。,只要對 在 上應用拉格朗日中值定理即可.,,,,即,故,或,得,顯然有,,可見，應對 與 在 上應用,柯西