第三章-微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題詳解wang1

1、1第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題311.解：（1）雖然在上連續(xù)，，且在內(nèi)可導(dǎo)。可見，()fx[11]?(1)(1)ff??()fx(11)?在上滿足羅爾中值定理的條件，因此，必存在一點(diǎn)，使得()fx[11]??(11)??()0f???，即：，滿足，；22120(21)?????0??（2）雖然在上連續(xù)，，但在內(nèi)點(diǎn)不可導(dǎo)?？?)fx[11]?(1)(1)ff??()fx(11)?0x?見，在上不滿足羅爾中值定理的條件，且因此不存()

2、fx[11]?101()=0110xfxxx???????????不存在在一點(diǎn)，使得.?(11)??()0f???2.因?yàn)楹瘮?shù)是一初等函數(shù)，易驗(yàn)證滿足條件.3解：令，，化簡(jiǎn)得33arccosarccos(34)yxxx???2232331211(34)xyxxx????????（為常數(shù)），又，故當(dāng)，有。0Cyy????C(0.5)y??0.50.5x???()yx??4證明：顯然都滿足在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)()()fxFx02???????

3、02???????且對(duì)任一，，滿足柯西()cos()1sinfxxFxx?????02x????????()0Fx??()()fxFx?中值定理?xiàng)l件。，而，(0)121(0)22ffFF???????????????????sincos()cos242()1sin1cossin242xxfxxxFxxx???????????????????????????????????????令，即，此時(shí)顯然()1()12fxFx?????tan14

4、22x???????????2arctan142x?????????????????，即，使得02x????????2arctan10422???????????????????????????3，使得：，即，矛盾，假設(shè)不成立，所以方程12()xx???()0f???4510???只有一個(gè)正根。510xx???9證明：（1）因?yàn)樵谏峡蓪?dǎo)，所以由拉格朗日中值定理知：存在使()fx[]ab()ab??得()()()()fbfafba????

5、?又，故，即。()fm???()()()fbfamba???()()()fbfamba???（2）因?yàn)樵谏峡蓪?dǎo)，所以由拉格朗日中值定理知：存在使得()fx[]ab()ab??()()()()fbfabaf?????又，所以。()fM???|()()|M()fbfaba???（3）當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用12xx?12xx?sinx12xx拉格朗日中值定理，得，其中在與之間，因此1212sinsincos()x

6、xxx??????1x2x。121212sinsincosxxxxxx??????10證明：因?yàn)樵趦?nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，所以由羅爾定理，得，()fx()ab112()xx???，使得，又在且滿足羅爾定理的條件，故223()xx???12()()0ff??????()fx????12??由羅爾定理，得：，使得。1213()()xx??????()0f????11證明：設(shè)，由拉格朗日中值定理，得()lnfxx?，使得：即：，又，()ba???()