第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、《高等數(shù)學(xué)》（微積分）教案第1頁共24頁【教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容】3.1微分中值定理洛必塔法則【教學(xué)目的教學(xué)目的】通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解羅爾定理、拉格朗日中值定理，使學(xué)生掌握洛必塔法則【教學(xué)重點教學(xué)重點】微分中值定理洛必塔法則及其應(yīng)用【教學(xué)難點教學(xué)難點】定理的應(yīng)用洛必達法則的應(yīng)用【教學(xué)時數(shù)教學(xué)時數(shù)】4學(xué)時【教學(xué)過程教學(xué)過程】一、組織教學(xué)，引入新課本章將在導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上建立微分學(xué)中一些基本定理——中值定理，利用這些定理使我們可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函

2、數(shù)以及曲線的某些性態(tài)，并應(yīng)用這些知識解決一些實際問題。如果當(dāng)時和都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存0xx?)(xf()gx0()lim()xxxfxgx???在，也可能不存在，通常稱這類極限為待定型，并分別簡記為型或型.下面我們將00??討論一種求待定型極限的方法——洛必塔法則.二、講授新課（一）羅爾定理1、定理、定理：若函數(shù)滿足下列條件：)(xf（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；][ba（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；)(ba（3）)()(bfaf?則

3、在內(nèi)至少存在一點使得)(ba)(ba????0)(???f2、定理的幾何意義、定理的幾何意義如果連續(xù)曲線除端點外處處都具有不垂直于軸的切線，且兩端點處的縱坐標(biāo)相等，Ox那么其上至少有一條平行于軸的切線。Ox《高等數(shù)學(xué)》（微積分）教案第3頁共24頁【例1】驗證函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的三個條件，并求出滿足21)(xxf??]11[?的點。0)(???f?解：由于在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，21)(xxf??)(????故它在上連續(xù)，]11[?在內(nèi)可導(dǎo)

4、，)11(?，即0)1(0)1(???ff)1()1(ff??因此，滿足羅爾定理的三個條件。)(xf而，令得。xxf2)(???0)(??xf)11(0???x即時0??0)(???f（二）拉格朗日中值定理（二）拉格朗日中值定理1、定理、定理如果函數(shù)滿足)(xf（1）在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?（2）在開區(qū)間(a?b)內(nèi)可導(dǎo)?那么在(a?b)內(nèi)至少有一點(a?b)?使得()()()fbfafba?????證明：作一個輔助函數(shù)：)()()(

5、)()(axabafbfxfxF?????顯然，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，)(xF][ba)(ba又，)()()()()()(afaaabafbfafaF??????)()()()()()(afababafbfbfbF??????所以()()FaFb?由羅爾中值定理，在內(nèi)至少存在一點使得。)(ba?0)(???F又abafbfxfxF??????)()()()(所以或。0)()()(?????abafbff?abafbff????)()()(