第三章導數(shù)與微分

1、微積分 第三章　導數(shù)與微分,1,§3.1 導數(shù)的概念,§3.2 求導基本公式與求導運算法則,§3.3 微分,§3.4 高階導數(shù)和高階微分,第三章 導數(shù)與微分,§3.5 邊際與彈性,本章計劃課時: 14課時,如果你月薪僅2000元，想在廈門買一套一百多平的房子和一輛奧迪A6，那么你不妨先給自己定個小目標，比如說我先活他個250年，然后向天再借500年。古時候的打劫：“此山是我

2、開，此樹是我栽，要想從此過，留下買路財?！边@語言是多么的粗魯， 經(jīng)過上千年的文明洗禮，到了當今社會，語言變得多么文明貼心：“前方500米收費站，請減速慢行………”我做錯什么要來到這個學校？ 你做錯了題,2,"做題的時候首先要想出題者的意圖" "他想讓我死"“你們夫妻每月掙多少？” “我月收入一萬，加上我老婆，可以到兩千?！?排隊中，一妹子插隊，一大姐怒了：你為什么插

3、隊?。∶米诱f：因為我沒素質。大姐于是大嘴巴子抽了她一耳光，妹子捂著臉說：你為什么抽我？！！ 大姐回答說：因為我有病,3,大學的時候，剛進學校。學校讓我們填一份自我簡介，里面包括體育強項。同桌告訴我不要寫那種運動會用的到的項目，不然以后運動會會強迫你參加。于是我們寫的是高爾夫、網(wǎng)球、滑雪之類的，本想轉過身去提醒后面玩的好的男生，結果一看他寫的體育強項是雙腳踩燈泡、胸口碎大石.....我媽挖了一勺西瓜沒拿穩(wěn)，掉地上了，她撿起來就

4、要往我嘴里塞，看見我很詫異地看著她，突然反應過來笑著說：“不好意思啊，我還以為你還是小時候呢…”?。?！突然感覺胸口有點疼！?。?4,微積分 第三章　導數(shù)與微分,5,§3.1 導數(shù)的概念,引例1、變速直線運動的瞬時速度,一、引例,微積分 第三章　導數(shù)與微分,6,（1）當物體作勻速運動時,（2）當物體作變速運動時,微積分 第三章　導數(shù)與微分,7,引例2 —— 平面曲線切線的斜率,割線 MN 的斜率為：,微

5、積分 第三章　導數(shù)與微分,8,割線 MN 的極限位置 MT 稱為曲線 L 在點 M 處的切線。,切線 MT 的斜率為：,微積分 第三章　導數(shù)與微分,9,二、導數(shù)的定義,微積分 第三章　導數(shù)與微分,10,微積分 第三章　導數(shù)與微分,11,微積分 第三章　導數(shù)與微分,12,微積分 第三章　導數(shù)與微分,13,微積分 第三章　導數(shù)與微分,14,,,,,,,微積分 第三章　導數(shù)與微分

6、,15,三、導數(shù)的幾何意義,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,16,四、單邊（側）導數(shù),微積分 第三章　導數(shù)與微分,17,微積分 第三章　導數(shù)與微分,18,同樣單邊導數(shù)定義式也可簡化為：,微積分 第三章　導數(shù)與微分,19,解,思考,微積分 第三章　導數(shù)與微分,20,五、可導性與連續(xù)性的關系,定理2.1,即,微積分 第三章　導數(shù)與微分,21,解,問題：連續(xù)是否一定可導？,微積分 第三章　

7、導數(shù)與微分,22,,,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,23,微積分 第三章　導數(shù)與微分,24,函數(shù)在其可導的點處一定連續(xù),函數(shù)在其不連續(xù)的點處一定不可導,函數(shù)在其連續(xù)的點處不一定可導,結論,微積分 第三章　導數(shù)與微分,25,六、用定義求導數(shù),同樣單邊導數(shù)定義式也可簡化為：,微積分 第三章　導數(shù)與微分,26,解,常數(shù)的導數(shù)等于零,解,微積分 第三章　導數(shù)與微分,27,,例3. 求指數(shù)函數(shù),的導數(shù).,解

8、,微積分 第三章　導數(shù)與微分,28,解,特別地,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,29,解,正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函數(shù).,類似得,,余弦函數(shù)的導數(shù)等于負的正弦函數(shù).,微積分 第三章　導數(shù)與微分,30,注：分段函數(shù)分段點的導數(shù)必須用定義求,,例6. 設函數(shù),解,因為,微積分 第三章　導數(shù)與微分,31,例7.,解,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,32,方法一：,例8.,解,微積分 第三章　導數(shù)與微分

9、,33,微積分 第三章　導數(shù)與微分,34,方法二：,微積分 第三章　導數(shù)與微分,35,微積分 第三章　導數(shù)與微分,36,解,例9.,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,37,由導數(shù)的幾何意義知,所求切線的斜率為:,解,例11.,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,38,§3.2 求導基本公式與求導運算法則,一、四則運算求導法則,微積分 第三章　導數(shù)與微分,39,證: 設,則有,故結論成立.

10、,推論:,( C為常數(shù) ),微積分 第三章　導數(shù)與微分,40,微積分 第三章　導數(shù)與微分,41,證畢.,微積分 第三章　導數(shù)與微分,42,例1.,解,微積分 第三章　導數(shù)與微分,43,解:,例2.,微積分 第三章　導數(shù)與微分,44,解,例3.,微積分 第三章　導數(shù)與微分,45,例4.,解,微積分 第三章　導數(shù)與微分,46,解,例5.,微積分 第三章　導數(shù)與微分,47,常用公

11、式：,微積分 第三章　導數(shù)與微分,48,二、反函數(shù)的求導法則,微積分 第三章　導數(shù)與微分,49,微積分 第三章　導數(shù)與微分,50,解,例5.,微積分 第三章　導數(shù)與微分,51,解,例6.,微積分 第三章　導數(shù)與微分,52,三、基本導數(shù)的公式,微積分 第三章　導數(shù)與微分,53,微積分 第三章　導數(shù)與微分,54,微積分 第三章　導數(shù)與微分,55,Guess,四、復合函數(shù)求導法則

12、,微積分 第三章　導數(shù)與微分,56,微積分 第三章　導數(shù)與微分,57,微積分 第三章　導數(shù)與微分,58,法則5(鏈法則),外層函數(shù),內層函數(shù),微積分 第三章　導數(shù)與微分,59,證,知,由極限與無窮小關系知,于是,微積分 第三章　導數(shù)與微分,60,即,微積分 第三章　導數(shù)與微分,61,解.,例1,求下列函數(shù)的導數(shù),,微積分 第三章　導數(shù)與微分,62,,,微積分 第三章　導數(shù)與

13、微分,63,解,例2.,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,64,解,例3.,微積分 第三章　導數(shù)與微分,65,例4.,解,,例如,,,,,關鍵: 搞清復合函數(shù)結構, 由外向內逐層求導.,復合函數(shù)的求導法則可以推廣到多重復合的情形.,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,67,解,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,68,微積分 第三章　導數(shù)與微分,69,解,微積分 第三章　導數(shù)與微分,70,解,微積分

14、 第三章　導數(shù)與微分,71,例8,解,微積分 第三章　導數(shù)與微分,72,稱這類函數(shù)為隱函數(shù).,二、隱函數(shù)求導法,,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,73,解,例9,微積分 第三章　導數(shù)與微分,74,解,例10,微積分 第三章　導數(shù)與微分,75,解,例11,微積分 第三章　導數(shù)與微分,76,三、對數(shù)求導法,兩類函數(shù),,有簡便求,微積分 第三章　導數(shù)與微分,77,例13 求,的導數(shù) .,解

15、 兩邊取對數(shù) , 化為隱函數(shù),兩邊對 x 求導,,1) 對冪指函數(shù),可用對數(shù)求導法求導 :,說明:,,,注意:,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,79,解法2 將函數(shù)化為復合函數(shù),微積分 第三章　導數(shù)與微分,80,,對 x 求導,,兩邊取對數(shù),例12,有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便 .,例13,,兩邊取對數(shù),,兩邊對 x 求導,微積分 第三章　導數(shù)與微分,82,微積分 第三章　導數(shù)與微分,83,例

16、15,解 兩邊取對數(shù),微積分 第三章　導數(shù)與微分,84,微積分 第三章　導數(shù)與微分,85,速度,即,加速度,即,引例：變速直線運動,3.4 高階導數(shù),微積分 第三章　導數(shù)與微分,86,記作：,或,即,二階導數(shù)的導數(shù)，叫做三階導數(shù)，,記作：,或,微積分 第三章　導數(shù)與微分,87,三階導數(shù)的導數(shù)，叫做四階導數(shù)，,記作：,或,記作：,或,二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。,,,,證明,所以,2015年1

17、月,江西財經(jīng)大學信息管理學院,88,隱函數(shù)的二階導數(shù),解,2015年1月,江西財經(jīng)大學信息管理學院,89,微積分 第三章　導數(shù)與微分,90,隱函數(shù)的二階導數(shù),微積分 第三章　導數(shù)與微分,91,微積分 第三章　導數(shù)與微分,92,微積分 第三章　導數(shù)與微分,93,幾個初等函數(shù)的 階導數(shù),解,2015年1月,江西財經(jīng)大學信息管理學院,94,微積分 第三章　導數(shù)與微分,95,微積分 第三章　

18、導數(shù)與微分,96,微積分 第三章　導數(shù)與微分,97,解,函數(shù)可轉化為,思考,2015年1月,江西財經(jīng)大學信息管理學院,98,微積分 第三章　導數(shù)與微分,99,微積分 第三章　導數(shù)與微分,100,由上面各階導數(shù)可以得到,微積分 第三章　導數(shù)與微分,101,二、高階導數(shù)的運算法則,都有 n 階導數(shù) , 則,(C為常數(shù)),萊布尼茲(Leibniz) 公式,微積分 第三章　導數(shù)與微分,102,例7.,求,

19、解: 設,則,代入萊布尼茲公式 , 得,微積分 第三章　導數(shù)與微分,103,小結,高階導數(shù)的求法,(1) 逐階求導法,(2) 利用歸納法,(3) 間接法,—— 利用已知的高階導數(shù)公式,如：,(4) 利用萊布尼茲公式,104,練一練,2015年1月,江西財經(jīng)大學信息管理學院,105,解答,106,107,微積分 第三章　導數(shù)與微分,108,面積的改變量：,一、微分的引進,§3.5 微分,,微積分

20、 第三章　導數(shù)與微分,109,,微積分 第三章　導數(shù)與微分,110,二、微分的定義,微積分 第三章　導數(shù)與微分,111,微積分 第三章　導數(shù)與微分,112,(充分性),即,微積分 第三章　導數(shù)與微分,113,說明:,微積分 第三章　導數(shù)與微分,114,注意：,微積分 第三章　導數(shù)與微分,115,三、基本微分公式與微分法則,微積分 第三章　導數(shù)與微分,116,微分法則：,則,微積分

21、 第三章　導數(shù)與微分,117,微分法則：,設,都可微，,則,微積分 第三章　導數(shù)與微分,118,復合函數(shù)的微分法則：,所以,即微分形式的不變性,微積分 第三章　導數(shù)與微分,119,微積分 第三章　導數(shù)與微分,120,微積分 第三章　導數(shù)與微分,121,微積分 第三章　導數(shù)與微分,122,微積分 第三章　導數(shù)與微分,123,四、微分在近似計算中的應用,由微分定義知,,(1),即,微積分

22、 第三章　導數(shù)與微分,124,解: 設,取,則,微積分 第三章　導數(shù)與微分,125,微積分 第三章　導數(shù)與微分,126,即在生產(chǎn)100單位產(chǎn)品的基礎上再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本會增加2.96,微積分 第三章　導數(shù)與微分,127,可證,當,很小時,有近似公式:,(4),微積分 第三章　導數(shù)與微分,128,微積分 第三章　導數(shù)與微分,129,解:,微積分 第三章　導數(shù)與微分,130,&

23、#167;3.6 邊際與彈性,一、邊際的概念,微積分 第三章　導數(shù)與微分,131,微積分 第三章　導數(shù)與微分,132,微積分 第三章　導數(shù)與微分,133,微積分 第三章　導數(shù)與微分,134,微積分 第三章　導數(shù)與微分,135,微積分 第三章　導數(shù)與微分,136,微積分 第三章　導數(shù)與微分,137,二、彈性函數(shù),1、彈性的概念,彈性的意義：,微積分 第三章　導數(shù)與微分,13

24、8,微積分 第三章　導數(shù)與微分,139,冪函數(shù)在任意點的彈性不變稱為不變彈性函數(shù),微積分 第三章　導數(shù)與微分,140,2、彈性的經(jīng)濟應用,(1) 需求價格彈性,注意,微積分 第三章　導數(shù)與微分,141,微積分 第三章　導數(shù)與微分,142,微積分 第三章　導數(shù)與微分,143,(2)供給價格彈性,微積分 第三章　導數(shù)與微分,144,(3) 收益價格彈性,微積分 第三章　導數(shù)與微分,1