第三章 中值定理與導數(shù)的應用

1、1第三章微分中值定理與導數(shù)的應用在第二章中我們介紹了微分學的兩個基本概念—導數(shù)與微分及其計算方法.本章以微分學基本定理—微分中值定理為基礎(chǔ)進一步介紹利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)例如判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性求函數(shù)的極限、極值、最大(小)值以及函數(shù)作圖的方法最后還討論了導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用.第一節(jié)微分中值定理中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點的導數(shù)之間的關(guān)系因而稱為中值定理.中值定理既是用微分學知識解決應用問題的理論基礎(chǔ)又是解

2、決微分學自身發(fā)展的一種理論性模型因而稱為微分中值定理.一、一、費馬引理：費馬引理：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導，如果對()fx0x0()Ux0x任意的，有（或），那么。0()xUx?0()()fxfx?0()()fxfx?0()0fx??證：證：不妨設(shè)時，，對于，有0()xUx?0()()fxfx?00()xxUx???，故當時，；00()()fxxfx???0x??00()()0fxxfxx?????當時，，0x??00(

3、)()0fxxfxx?????由保號性，00000()()()()lim0xfxxfxfxfxx?????????????，故。??00000()()()lim0xfxxfxfxfxx????????????0()0fx??羅爾定理（羅爾定理（Rolle）：）：如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可()fx[]ab()ab導，（3），則至少存在一點，使得在該點的導數(shù)()()fafb?()ab????()fx等于零：=0()

4、f??證明：證明：由于在上連續(xù)，故在上有最大值和最小值。()fx[]ab[]ab()fxMm①時，則時，，故，，Mm?[]xab?()fxmM??()0fx??()xab?3例2：證明方程有且僅有一個小于1的正實根.5510xx???證:1)存在性.設(shè)則在[01]連續(xù)5()51fxxx???()fx(0)1(1)3.ff???由介值定理知存在使即方程有小于1的正根0(01)x?0()0fx?2)唯一性.假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿110(01

5、)xxx??1()0fx?使()fx?在以01xx足羅爾定理條件至少存在一點01xx?在之間()0.f???使但矛4()5(1)fxx???0(01)x??故假設(shè)不真!二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理1）Lagrange中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）：如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，（2）在開區(qū)間內(nèi)可導。()fx[]ab()ab則至少存在一點，使()ab??()()()()f

6、bfafba?????證明：證明：構(gòu)造輔助函數(shù)()()()()()()fbfaxfxfaxaba???????則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且()x?[]ab()ab()()0ab????所以至少存在一點，使，即()ab??()0????，所以()()()()0fbfafba??????????()()()()fbfafba?????顯然時，此公式也成立，此公式稱為Lagrange公式。ba?注1：拉格朗日中值公式反映了可導函數(shù)在上整體平均變化