第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.1中值定理定理定理4.1.1(羅爾定理羅爾定理)如果滿足：（1）在閉區(qū)間上[]上連續(xù)（2）在開)(xfy?ba區(qū)間()內(nèi)可導(dǎo)（3）.則在開區(qū)間(上至少存在一點ba)()(bfaf?)ba)(bcac??使得0)(?cf羅爾定理的幾何意義是:在連續(xù)高度相同的兩點的一段曲線上如果每一點都有不垂直于軸的切線那么至少有x一點上的切線是平行于軸的切線那么至少有一點的切線是平行于軸的(圖41).xx關(guān)于羅爾定理需注意如下

2、幾點:(1)羅爾定理的三個前提條件缺一不可當(dāng)缺少其中一個條件時羅爾定理將不一定成立這一點讀者可以舉例說明.(2)羅爾定理的結(jié)論只強(qiáng)調(diào)點的存在性至于該點究竟在區(qū)間內(nèi)的什么位置c)(ba有時并不需要研究(3)羅爾定理結(jié)論中滿足的點并不是唯一的.這一點通過圖41可以清0)(?cfc晰的看到.例1設(shè)物體作直線運(yùn)動其運(yùn)動方程為如果物體在兩個不同時刻和)(tfy?1tt?時處于同一位置即并且物體的運(yùn)動方程連續(xù)可導(dǎo)那么根據(jù)2tt?)()(21tftf

3、?)(tf羅爾定理在時刻和之間必定有某一時刻在該時刻物體的運(yùn)動速度1tt?2tt?tt?為0即上拋運(yùn)動、彈簧的振動等問題中都有這個結(jié)果.0)(?tf定理定理4.1.24.1.2(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)如果滿足:)(xfy?(1)在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).][ba)(ba則在內(nèi)至少存在一點使得:)(bacabafbfcf???)()()(拉格朗日中值定理的幾何意義:如圖42顯然點的坐標(biāo)是點的坐標(biāo)是因此連接、A))((

4、afaB))((bfbA兩點的直線斜率為:。Babafbf??)()(拉格朗日中值定理告訴我們在連接、兩點的一條連續(xù)的切線上如果過每一AB點曲線都有不垂直于軸的切線則曲線上至少有一點過該點的切線平行于x))((cfc（2），（3）???)(lim0xfxx???)(lim0xgxx.)()(lim0Axgxfxx??則有.)()()()(limlim00Axgxfxgxfxxxx????運(yùn)用洛必達(dá)法則求解極限問題時需注意以下幾點:(1)

5、當(dāng)將法則中的均換為時法則成立(見例3)A?(2)當(dāng)仍然是未定式時可繼續(xù)運(yùn)用洛必達(dá)法則(見例4)lim)()(xgxf(3)當(dāng)不存在時不能得出也不存在的結(jié)論(見例5)lim)()(xgxflim)()(xgxf(4)有的極限問題雖屬未定式但用洛必達(dá)法則可能無法解出(見例6)或即便能解出也太過繁瑣這時我們通常選擇其他方法.二、型未定式的計算00??例1.例2.例3.11461lim????xxxxxxlnlim???xexxlim???例4

6、.例5例6201limxxexx???xxxxxsinsinlim????xxxxxeeee???????lim三、其他類型未定式的計算三、其他類型未定式的計算除了和兩種未定式外我們經(jīng)常遇到的未定式還有等這些00???????0000??1未定式的計算通常先化為型未定式然后再利用洛必達(dá)法則求解.下面我們通過例題來00??說明這幾種未定式的處理方法.例7.例8.例9.)tan(seclim2xxx???xxxlnlim0??xxxsin0