第-四-章-微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、考核要求Ⅰ知道羅爾定理成立的條件和結(jié)論，知道拉格朗日中值定理成立的條件和結(jié)論。Ⅱ能識(shí)別各種類型的未定式，并會(huì)用洛必達(dá)法則求它們的極限。Ⅲ會(huì)判別函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)用單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。Ⅳ會(huì)求函數(shù)的極值。Ⅴ會(huì)求出數(shù)在閉區(qū)間上的最值，并會(huì)求簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的最值。Ⅵ會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。Ⅶ會(huì)求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。二、基本概念、主要定理和公式

2、、典型例題Ⅰ微分中值定理今后，如果函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值=0，就說(shuō)這一點(diǎn)是駐點(diǎn)，因此羅爾中值定理的結(jié)論也可以說(shuō)f(x)在（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)駐點(diǎn)。從y=f(x)的幾何圖形（見(jiàn)下圖）可以看出，若y=f(x)滿足羅爾中值的條件，則它在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，其切線是水平的，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，該點(diǎn)的斜率=k=0。從函數(shù)y=f(x)的圖形看（見(jiàn)下圖），連接y=f(x)在[a，b]上的圖形的端點(diǎn)A與B，則線段AB的斜率為：∴a

3、rctanb－arctana＜ba在第三章我們?cè)?shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即反過(guò)來(lái)會(huì)問(wèn)：導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)是否一定是常數(shù)，下面我們證明證：在（a，b）任取兩數(shù)x1，x2，假定x2＞x1，證明這兩個(gè)函數(shù)值相等的。由于函數(shù)在a，b內(nèi)處處可導(dǎo)，因此根據(jù)拉格朗中值定理知道在區(qū)間內(nèi)部處處連續(xù)。因此函數(shù)在開區(qū)間x1，x2內(nèi)部只少存在一點(diǎn)c使，使在端點(diǎn)的函數(shù)值f(x1)f(x2)=(x2x1)由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的導(dǎo)數(shù)值永遠(yuǎn)等于0，所以＝0∴f(x2)f(x1)=

4、0∴f(x2)＝f(x1)證畢。證：令Ｆ(x)=f(x)g(x)∴在（a，b）內(nèi)==0∴在（a，b）內(nèi)Ｆ(x)=c，即在（a，b）內(nèi)f(x)g(x)=c∴在（a，b）內(nèi)f(x)=g(x)cⅡ洛必達(dá)法則當(dāng)limf(x)=0且limg(x)=0時(shí)，或limf(x)=∞且limg(x)=∞時(shí)，分式的極限不能用除法公式計(jì)算，上面的分式的極限可能存在，也可能是∞，還可能沒(méi)有極限，因此叫未定式，對(duì)于未定式的極限有下面的計(jì)算方法，叫洛必達(dá)法則，我們不