習(xí)題課 中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 - 大學(xué)數(shù)學(xué)網(wǎng)-我們致力于廣大學(xué)生

1、,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,,習(xí)題課,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第三章,,一、 微分中值定理及其應(yīng)用,1. 微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,,,,柯西中值定理,,,,2. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論,3. 有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法,利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,,(2) 若結(jié)論

2、中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,,可考慮用,柯西中值定理 .,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .,例1. 設(shè)函數(shù),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明,在,內(nèi)有界.,證: 取點(diǎn),再取異于,的點(diǎn),對(duì),為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值

3、定理,,得,(定數(shù)),可見(jiàn)對(duì)任意,即得所證 .,例2. 設(shè),在,內(nèi)可導(dǎo), 且,證明至少存在一點(diǎn),使,上連續(xù), 在,證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,設(shè)輔助函數(shù),顯然,在 [ 0 , 1 ] 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,,故至,使,即有,少存在一點(diǎn),例3.,且,試證存在,證: 欲證,因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,,故有,將①代入② , 化簡(jiǎn)得,故有,①,②,即要證,例4. 設(shè)實(shí)數(shù),滿足下述等式,證明方程,在 ( 0 ,

4、 1) 內(nèi)至少有一,個(gè)實(shí)根 .,證: 令,則可設(shè),且,由羅爾定理知存在一點(diǎn),使,即,例5.,設(shè)函數(shù) f (x) 在[0, 3] 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且,分析: 所給條件可寫(xiě)為,試證必存在,想到找一點(diǎn) c , 使,,證: 因 f (x) 在[0, 3]上連續(xù),,所以在[0, 2]上連續(xù), 且在,[0, 2]上有最大值 M 與最小值 m,,故,,由介值定理, 至少存在一點(diǎn),,由羅爾定理知, 必存在,例6. 設(shè)函數(shù),在,上二

5、階可導(dǎo),,且,證明,證:,由泰勒公式得,兩式相減得,,二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,,極值 ,,凹凸 ,,拐點(diǎn) ,,漸近線 ,,曲率,2. 解決最值問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化,最值的判別問(wèn)題,3. 其他應(yīng)用 :,求不定式極限 ;,幾何應(yīng)用 ;,相關(guān)變化率;,證明不等式 ;,研究方程實(shí)根等.,的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù),例7. 填空題,(1) 設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,,單調(diào)減區(qū)間為

6、 ;,極小值點(diǎn)為 ;,極大值點(diǎn)為 .,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,單調(diào)增區(qū)間為 ;,.,在區(qū)間 上是凸弧 ;,拐點(diǎn)為,提示:,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,形在區(qū)間

7、 上是凹弧;,則函數(shù) f (x) 的圖,(2) 設(shè)函數(shù),的圖形如圖所示,,,,,例8. 證明,在,上單調(diào)增加.,證:,令,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理,,,,故當(dāng) x > 0 時(shí),,從而,在,上單調(diào)增.,得,例9. 設(shè),在,上可導(dǎo), 且,證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) .,證: 設(shè),則,故,在,上連續(xù)單調(diào)遞增,,從而至多只有,一個(gè)零點(diǎn) .,又因,因此,也至多只有一個(gè)零點(diǎn)

8、 .,思考: 若題中,改為,其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)?,,,,例10. 求數(shù)列,的最大項(xiàng) .,證: 設(shè),用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得,令,得,,,因?yàn)?在,只有唯一的極大點(diǎn),因此在,處,也取最大值 .,又因,中的最大項(xiàng) .,極大值,,,列表判別:,例11. 證明,證: 設(shè),, 則,故,時(shí),,單調(diào)增加 ,,從而,即,思考: 證明,時(shí), 如何設(shè)輔助,函數(shù)更好 ?,提示:,例12. 設(shè),且在,上,存在 , 且單調(diào),遞減 , 證明對(duì)一切,有,證: