微分中值定理的證明及應用

1、1微分中值定理的證明及應用黃敏（井岡山大學數(shù)理學院江西吉安343009）指導老師：顏昌元[摘要摘要]本文從不同的方面對此定理加以證明使得抽象的定理靈活化從而更易理解并在此基礎上去解決關于“微分中值定理”的應用的問題.[關鍵詞鍵詞]輔助函數(shù)中值定理介值定理引言引言微分中值定理不僅是微分學的基本定理，而且它也是微分學的理論核心.又因為導數(shù)的許多重要應用都是建立在中值定理基礎上的，所以微分中值定理是微分學應用的理論基礎.微分中值定理通常指:羅

2、爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.在常見教材中以羅爾中值定理為基礎通過構(gòu)造輔助函數(shù)來實現(xiàn)后兩個定理的證明.證明的關鍵是做出輔助函數(shù).現(xiàn)行教材中傳統(tǒng)形式的輔助函數(shù)表達式冗長.以下通過:1、分析推理法2、“K”值法3、積分法三種方法構(gòu)造出形式簡單的輔助函數(shù)而且構(gòu)造的過程是水到渠成自然而有邏輯.并提出一種新穎地“逆序統(tǒng)一證明”法證明這三個定理.最后通過一類證明題和一些巧用來說明“微分中值定理”的應用.1微分中值定理的證明微分中值定理的證

3、明定理定理1羅爾（Rolle）中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)()fx??ab可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即，那么在內(nèi)至少存在一點??ab()()fafb???ab使得成立.ξ(aξb)()0f??ξ定理定理2拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)()fx??ab間內(nèi)內(nèi)可導，那么在內(nèi)至少存在一點使得??ab??abξ(aξb)()()()()fbfafba????ξ成立.定理定理3柯西(Cauc

4、hy)中值定理如果函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)()fx()gx??ab間內(nèi)可導，且在內(nèi)每一點均不為零，那么在內(nèi)至少存在一點??ab()gx???ab??ab，使得ξ(aξb)3其中因此可以作為所需要的輔助函數(shù).()()fbfaKba???()()()()fbfaFxfxxba????而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣因此只需將上述方法推而廣之即可證得柯西中值定理.令由已知對中任意，可推得()()()()fbfaKgbga?????a

5、bx()0gx??（根據(jù)羅爾中值定理可證得）.此時有()()0gbga????()()()()fbfaKgbga???即()()()()faKgafbKgb???不難發(fā)現(xiàn)可以取作為輔助函數(shù)它在上均滿足羅爾中值定()()()FxfxKgx????ab理的條件故有又所以()()()FxfxKgx?????ξ(aξb)()0F??ξ()()fKF???ξξ即()()()()fbfagbga???()()fg??ξξ此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的過程相當

6、巧妙，而且所得輔助函數(shù)簡單明朗，但邏輯關系并非十分嚴密，帶有一定的偶然性，不易理解沒有上種“分析推理法”邏輯性強.1.1.31.1.3積分法積分法定理2拉格朗日中值定理的證明把需證之式變?yōu)閷膶懗?()())()()0fbfabaf?????ξ（把換成）(()())()()0fbfabafx?????ξx證明上述方程在內(nèi)存在根，將上式左邊對積分，有??abx??()()()()(()())()()fbfabafxdxfbfaxbafx