數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-微分中值定理的證明及應(yīng)用

1、<p><b>　　學(xué) 年 論 文</b></p><p>　　題 目： 微分中值定理的證明及應(yīng)用 </p><p>　　學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p>

2、;<p>　　學(xué)生姓名： *** </p><p>　　學(xué) 號(hào)： ************* </p><p>　　指導(dǎo)教師： *** </p><p>　　微分中值定理的證明及應(yīng)用</p>

3、<p><b>　　***</b></p><p>　　摘要：微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中很重要的基本定理,在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用.它是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)的局部性質(zhì)和在某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要工具.利用微分中值定理可以論證方程的根的存在問題、方程根的個(gè)數(shù)問題以及根的存在區(qū)間問題，也經(jīng)常用于證明一些含有導(dǎo)數(shù)的等式.微分中值定理是羅爾中值定理，拉

4、格朗日中值定理，柯西中值定理的統(tǒng)稱，它是微分中值定理學(xué)中重要的理論基礎(chǔ).拉格朗日中值定理可視為中心定理，以它為中心展開，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特值，而柯西中值定理可視為拉格朗日中值定理在應(yīng)用上的推廣.</p><p>　　關(guān)鍵詞：羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 證明 應(yīng)用</p><p>　　Abstract: the differential mean val

5、ue theorem in mathematical analysis is very important basic theorem in the mathematical analysis, is widely used. It is a communication bridge between a function and its derivative, is the application of derivative of fu

6、nction at a certain point of the local nature and in a certain interval on the overall properties of the important tools. The use of differential mean value theorem can be proved equation for the root of the problem, the

7、 problem of the number of</p><p>　　Key words: Rolle mean value theorem Lagrange mean value theorem </p><p>　　Cauchy mean value theorem Prove Application</p><p>

8、　　微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中很重要的定理，它是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的統(tǒng)稱，微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.一般教科書中都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的.下面我將利用不同于教科書的方法來證明這三個(gè)中值定理，并列舉每個(gè)中值定理的應(yīng)用.</p><p>　　一 羅爾中值定理的證明和應(yīng)用</p><p><b>　　

9、1 羅爾中值定理</b></p><p>　　若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　?。╥）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；</p><p>　　(ii) 在開區(qū)間內(nèi)(a,b)可導(dǎo)；</p><p><b>　　(iii) ，</b></p><p>　　則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

10、得.</p><p>　　2 羅爾中值定理的證明</p><p>　?。?） 預(yù)備知識(shí)和兩個(gè)引理</p><p>　　定義1 　閉區(qū)間[a,b]的閉子區(qū)間族S稱為[a,b]的一個(gè)完全覆蓋,是指對(duì)任意x∈[a,b],存在δx>0,使得[a,b]的每個(gè)含有x且長度小于δx的閉子區(qū)間都屬于S.</p><p>　　引理1 　若S是閉區(qū)間[

11、a,b]的一個(gè)完全覆蓋,則S包含[a,b]的一個(gè)劃分,即存在a=x0<xk<?<xn=b,使每個(gè)閉區(qū)間[xk-1,xk](i=1,2,?,n)都屬于S.</p><p>　　證明:用反證法.設(shè)S不包含[a,b]的任何劃分,則通過對(duì)[a,b]重復(fù)使用二等分法可得[a,b]的閉子區(qū)間列{In},使得InIn+k (n=1,2,?),|In|→0(n→∞),且S不包含任何一個(gè)In的任何一個(gè)劃分,其中|

12、In|代表區(qū)間In的長度.由閉區(qū)間套定理, 存在唯一的x∈In (n=1,2,?)若δx如定義1所述,則因|In|→0(n→∞),故存在自然數(shù)n0 ,使得In0<</p><p>　　δx,從而In0 ∈S,于是,S中含有In0 的一個(gè)劃分,矛盾.</p><p>　　引理2 　若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)可內(nèi)微,且對(duì)x∈(a,b),</p><p>　　

13、f′(x)≠0,則δx>0,使得(x-δx,x +δx)<(a,b),且函數(shù)f(x)在</p><p>　　(x-δx,x+δx)上嚴(yán)格單調(diào).</p><p>　?。?） 羅爾定理的證明</p><p>　　證明: 假設(shè)結(jié)論不成立,即對(duì)x∈(a,b), ,</p><p>　　, 則,令,于是,由假設(shè)對(duì).令S = {I|I是的閉

14、子區(qū)間,且函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I嚴(yán)格單調(diào)}于是S是的一個(gè)完全覆蓋.由假設(shè)引理2知,對(duì),δx>0,使得(x-δx,x+δx)<x,且函數(shù)f(x)在(x-δx,x+δx)上嚴(yán)格單調(diào).設(shè)I是含有x且長度小于δx的的任一閉子區(qū)間,則I<(x-δx,x+δx),所以函數(shù)f(x)在I上的嚴(yán)格單調(diào),即I∈S.</p><p>　　由引理1,在S中必存在的一個(gè)劃分I1,I2,?,Im,不妨設(shè)這些小區(qū)間是按自左到

15、右順序編號(hào)的.于是對(duì)k∈{1 , 2 , ?, m},函數(shù)f(x)在Ik上嚴(yán)格單調(diào).不妨設(shè)函數(shù)f(x)在I1 上嚴(yán)格增加,若I1的右端點(diǎn)為μ1,則μ1為I2的左端點(diǎn),而對(duì)于μ1 ∈,必存在某個(gè)I∈S,使得μ1∈I且(IⅠI1 )-{μ1}與(IⅠI2 )-{μ1}都非空,于是,根據(jù)函數(shù)f(x)在Ⅰ1 嚴(yán)格增加就會(huì)得到函數(shù)f(x)在I2 上也嚴(yán)格增加,依次類推函數(shù)f(x)在I3 、I4 、?、Im 上嚴(yán)格增加,即函數(shù)f(x)在每個(gè)Ik(

16、k = 1 , 2 , ?,m)都嚴(yán)格增加,因此函數(shù)f(x)在上嚴(yán)格增加,對(duì)于γ、η∈,且γ<η,有:</p><p>　　一方面,f(an)<f(γ)<f(η)<f(bn),另一方面,函數(shù)f(x)在x=a右連續(xù),在x =b左連續(xù),故有</p><p><b>　　從而有：</b></p><p>　　即f(a)<

17、f(b),這與已知f(a)=f(b)矛盾,故有∈(a,b),使得.</p><p>　　3 羅爾中值定理的應(yīng)用</p><p>　　例1（根的存在性的證明）設(shè)a,b,c為三個(gè)實(shí)數(shù)，證明：方程的根不超過三個(gè).</p><p>　　證明：令,則，，.用反證法.</p><p>　　設(shè)原方程的根超過3個(gè)，那么F（x）至少有4個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為x1&

18、lt;x2<x3<x4,那么有羅爾定理，存在x1<1<x2<2<x3<3<x4，使.用羅爾定理，存在，使=0.再用羅爾定理，存在,使，因?yàn)?，所?矛盾，所以命題得證！</p><p>　　二 拉格朗日中值定理的證明及應(yīng)用</p><p>　　1 拉格朗日中值定理</p><p>　　若函數(shù)滿足如下條件：</p

19、><p>　?。╥）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；</p><p>　　(ii) 在開區(qū)間內(nèi)(a,b)可導(dǎo)；</p><p>　　則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.</p><p>　　2 拉格朗日中值定理的證明</p><p><b>　?。?） 兩個(gè)引理</b></p><p

20、>　　引理1 設(shè)f(x)在[c,d]上連續(xù)，則在[c,d]上必存在兩點(diǎn)α與β，使得β-d=(d-c)/2, .</p><p>　　證明：設(shè)函數(shù),由Ψ（x）在[c,(c+d)/2]上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)根存在性定理有x＇∈[c,(c+d)/2]使得.取即可.證畢！</p><p><b>　　引理2 設(shè)</b></p><p>　?。╥）f(

21、x)在區(qū)間I的內(nèi)點(diǎn)x可微；</p><p>　?。╥i）數(shù)列{αn}與{βn}滿足：αn≤x≤βn,αn<βn</p><p><b>　　且，則.</b></p><p>　?。?） 拉格朗日中值定理的證明</p><p>　　證明：（平行弦逼近法）不斷地運(yùn)用引理1可得到[a,b]的子區(qū)間序列{[αn,βn]}

22、(α0=a,β0=b),使得（i）βn-αn=(b-a)/2n；</p><p>　　(ii)；（iii）[αn+1,βn+1] [αn,βn],這里說明[α2,β2]的選取規(guī)則；若確定[α1,β1]=[a,(a+b)/2]后，有，則規(guī)定為[α2,β2].從而，顯然{αn}與{βn}有相同的極限ξ，并使得αn≤ξ≤βn（n=1,2…）</p><p>　　再由[α2,β2]的取法知ξ∈（a

23、,b）。從而由引理2推出.證畢！</p><p>　　3 拉格朗日中值定理的應(yīng)用</p><p>　　例1、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a,b,在（0,1）內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ、η使得.</p><p>　　證明：因?yàn)閍>0,b>0,所以0<a/(a+b)&l

24、t;1,根據(jù)介值定理，至少存在一點(diǎn)x0∈(0,1),使得，在（0，x0）上根據(jù)Lagrange中值定理，存在ξ∈（0,x0）,使得。又由于f(0)=0,所以=x0（1）.從而在（x0,1）上，根據(jù)Lagrange中值定理，存在</p><p>　　η∈（x0,1）,使得。又由于f(1)=1,所以（2），（1）式加（2）式得（3）.再將代入（3）式即得.</p><p>　　三 柯西中值定

25、理的證明及應(yīng)用</p><p><b>　　1 柯西中值定理</b></p><p><b>　　設(shè)函數(shù)和g滿足</b></p><p>　?。╥）在[a,b]上都連續(xù)；</p><p>　　(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；</p><p>　?。╥ii）f＇(x)和g＇(x

26、)不同時(shí)為零；</p><p>　?。╥v）g(a)≠g(b).</p><p>　　則存在ξ∈（a,b），使得.</p><p>　　2、柯西中值定理的證明</p><p><b>　?。?） 三個(gè)引理</b></p><p>　　引理1 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且在x0 ∈（a

27、,b）處可導(dǎo)，由{[α2,β2]}為一閉區(qū)間套，且，則.</p><p>　　引理2 設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在[a1,b1] [a,b],且,使得.</p><p>　　引理3（引理2的推廣） 設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù),且g(x)是單射，則存在[a1,b1] [a,b]，且，使.</p><p>　?。?） 柯西中值定理的證明

28、</p><p>　　證明：當(dāng)α，β∈[a,b]，且α≠β時(shí)，有g(shù)(α) ≠g(β).若g(α) =g(β)，由引理2，存在[α1,β1] [α,β]，且，使，從而g(β1) =g(α1).在[α1,β1]上再次應(yīng)用引理2有，存在[α2,β2] [α,β]，且，使，從而又有g(shù)(β2) =g(α2).反復(fù)利用引理2，最終可得一個(gè)閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，且g(βn) =g(αn),由閉區(qū)間套定理，存在ξ∈[

29、α,β] [a,b]，使.</p><p>　　由引理1得：，這與條件g＇(x)≠0 (x∈（a,b）)相矛盾.再根據(jù)引理3有，存在[a1,b1] [a,b]，且，使.反復(fù)利用引理3，類似于前面的證明，可得閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，且.由閉區(qū)間套定理存在c∈[a,b]，使.再由引理1有：.</p><p>　　3 柯西中值定理的應(yīng)用</p><p>

30、;　　例1（用柯西中值定理證明不等式）若0<x1<x2<л/2，求證.</p><p>　　證明：實(shí)際上只需證即可.</p><p>　　設(shè)f(t)=et,g(t)=cost,則f(t)、g(t)在[x1,x2]上，滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以，c∈(x1,x2).即.</p><p>　　例2（用柯西中值定理證明等式）設(shè)函數(shù)f(x)∈c[a,b]

31、且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo), 證明: c∈(a,b), 使得2c[f(b)- f(a)]=(b2- a2)f＇(c)，其中a>0.</p><p>　　證明：只需證.令g(x)=x2, 則f(x)、g(x)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,所以 c∈(a,b)，使，即.</p><p><b>　　四 總結(jié)</b></p><p>　　通過以上內(nèi)容，說

32、明微分中值定理有很多證法并且三個(gè)中值定理之間有內(nèi)在聯(lián)系，而且每個(gè)中值定理都有極其廣泛的應(yīng)用.所以學(xué)好微分中值定理對(duì)數(shù)學(xué)分析及其他學(xué)科的學(xué)習(xí)有很大幫助.</p><p><b>　　五 參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]吳澤禮.Lagrange中值定理的兩個(gè)新證法[J].韓山師專學(xué)報(bào).1991(03).</p><p>　　[2]李國

33、輝.崔媛.Lagrange中值定理的一個(gè)應(yīng)用[J].高等職業(yè)教育—天津職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).2005(06).</p><p>　　[3]李萬軍.Rolle中值定理的一個(gè)新證明[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào).2004(03).</p><p>　　[4]荊天.柯西中值定理及其應(yīng)用[J].高校理科研究.2008.</p><p>　　[5]余后強(qiáng).微分學(xué)中值定理的證明及其應(yīng)用[J].咸

34、寧學(xué)院學(xué)報(bào).2006(06).</p><p>　　[6]黃德麗.用五種方法證明柯西中值定理[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào).2003.</p><p>　　ag an employment tribunal clai Emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. You may need

35、to make a claim to an employment tribunal if: you don't agree with the disciplinary action your employer has taken against you your employer dismisses you and you think that you have been dismissed unfairly. For more