數(shù)學畢業(yè)論文-微分中值定理的證明及應用

1、<p><b>　　學 年 論 文</b></p><p>　　題 目： 微分中值定理的證明及應用 </p><p>　　學 院： 數(shù)學與信息科學學院 </p><p>　　專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 </p>

2、;<p>　　學生姓名： *** </p><p>　　學 號： ************* </p><p>　　指導教師： *** </p><p>　　微分中值定理的證明及應用</p>

3、<p><b>　　***</b></p><p>　　摘要：微分中值定理是數(shù)學分析中很重要的基本定理,在數(shù)學分析中有著廣泛的應用.它是溝通函數(shù)及其導數(shù)之間的橋梁，是應用導數(shù)研究函數(shù)在某點的局部性質(zhì)和在某個區(qū)間上的整體性質(zhì)的重要工具.利用微分中值定理可以論證方程的根的存在問題、方程根的個數(shù)問題以及根的存在區(qū)間問題，也經(jīng)常用于證明一些含有導數(shù)的等式.微分中值定理是羅爾中值定理，拉

4、格朗日中值定理，柯西中值定理的統(tǒng)稱，它是微分中值定理學中重要的理論基礎.拉格朗日中值定理可視為中心定理，以它為中心展開，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特值，而柯西中值定理可視為拉格朗日中值定理在應用上的推廣.</p><p>　　關鍵詞：羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 證明 應用</p><p>　　Abstract: the differential mean val

5、ue theorem in mathematical analysis is very important basic theorem in the mathematical analysis, is widely used. It is a communication bridge between a function and its derivative, is the application of derivative of fu

6、nction at a certain point of the local nature and in a certain interval on the overall properties of the important tools. The use of differential mean value theorem can be proved equation for the root of the problem, the

7、 problem of the number of</p><p>　　Key words: Rolle mean value theorem Lagrange mean value theorem </p><p>　　Cauchy mean value theorem Prove Application</p><p>

8、　　微分中值定理是數(shù)學分析中很重要的定理，它是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的統(tǒng)稱，微分中值定理在數(shù)學分析中有廣泛的應用.一般教科書中都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的.下面我將利用不同于教科書的方法來證明這三個中值定理，并列舉每個中值定理的應用.</p><p>　　一 羅爾中值定理的證明和應用</p><p><b>　　

9、1 羅爾中值定理</b></p><p>　　若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　?。╥）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；</p><p>　　(ii) 在開區(qū)間內(nèi)(a,b)可導；</p><p><b>　　(iii) ，</b></p><p>　　則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使

10、得.</p><p>　　2 羅爾中值定理的證明</p><p>　?。?） 預備知識和兩個引理</p><p>　　定義1 　閉區(qū)間[a,b]的閉子區(qū)間族S稱為[a,b]的一個完全覆蓋,是指對任意x∈[a,b],存在δx>0,使得[a,b]的每個含有x且長度小于δx的閉子區(qū)間都屬于S.</p><p>　　引理1 　若S是閉區(qū)間[

11、a,b]的一個完全覆蓋,則S包含[a,b]的一個劃分,即存在a=x0<xk<?<xn=b,使每個閉區(qū)間[xk-1,xk](i=1,2,?,n)都屬于S.</p><p>　　證明:用反證法.設S不包含[a,b]的任何劃分,則通過對[a,b]重復使用二等分法可得[a,b]的閉子區(qū)間列{In},使得InIn+k (n=1,2,?),|In|→0(n→∞),且S不包含任何一個In的任何一個劃分,其中|

12、In|代表區(qū)間In的長度.由閉區(qū)間套定理, 存在唯一的x∈In (n=1,2,?)若δx如定義1所述,則因|In|→0(n→∞),故存在自然數(shù)n0 ,使得In0<</p><p>　　δx,從而In0 ∈S,于是,S中含有In0 的一個劃分,矛盾.</p><p>　　引理2 　若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)可內(nèi)微,且對x∈(a,b),</p><p>　　

13、f′(x)≠0,則δx>0,使得(x-δx,x +δx)<(a,b),且函數(shù)f(x)在</p><p>　　(x-δx,x+δx)上嚴格單調(diào).</p><p>　?。?） 羅爾定理的證明</p><p>　　證明: 假設結(jié)論不成立,即對x∈(a,b), ,</p><p>　　, 則,令,于是,由假設對.令S = {I|I是的閉

14、子區(qū)間,且函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I嚴格單調(diào)}于是S是的一個完全覆蓋.由假設引理2知,對,δx>0,使得(x-δx,x+δx)<x,且函數(shù)f(x)在(x-δx,x+δx)上嚴格單調(diào).設I是含有x且長度小于δx的的任一閉子區(qū)間,則I<(x-δx,x+δx),所以函數(shù)f(x)在I上的嚴格單調(diào),即I∈S.</p><p>　　由引理1,在S中必存在的一個劃分I1,I2,?,Im,不妨設這些小區(qū)間是按自左到

15、右順序編號的.于是對k∈{1 , 2 , ?, m},函數(shù)f(x)在Ik上嚴格單調(diào).不妨設函數(shù)f(x)在I1 上嚴格增加,若I1的右端點為μ1,則μ1為I2的左端點,而對于μ1 ∈,必存在某個I∈S,使得μ1∈I且(IⅠI1 )-{μ1}與(IⅠI2 )-{μ1}都非空,于是,根據(jù)函數(shù)f(x)在Ⅰ1 嚴格增加就會得到函數(shù)f(x)在I2 上也嚴格增加,依次類推函數(shù)f(x)在I3 、I4 、?、Im 上嚴格增加,即函數(shù)f(x)在每個Ik(

16、k = 1 , 2 , ?,m)都嚴格增加,因此函數(shù)f(x)在上嚴格增加,對于γ、η∈,且γ<η,有:</p><p>　　一方面,f(an)<f(γ)<f(η)<f(bn),另一方面,函數(shù)f(x)在x=a右連續(xù),在x =b左連續(xù),故有</p><p><b>　　從而有：</b></p><p>　　即f(a)<

17、f(b),這與已知f(a)=f(b)矛盾,故有∈(a,b),使得.</p><p>　　3 羅爾中值定理的應用</p><p>　　例1（根的存在性的證明）設a,b,c為三個實數(shù)，證明：方程的根不超過三個.</p><p>　　證明：令,則，，.用反證法.</p><p>　　設原方程的根超過3個，那么F（x）至少有4個零點，不妨設為x1&

18、lt;x2<x3<x4,那么有羅爾定理，存在x1<1<x2<2<x3<3<x4，使.用羅爾定理，存在，使=0.再用羅爾定理，存在,使，因為，所以.矛盾，所以命題得證！</p><p>　　二 拉格朗日中值定理的證明及應用</p><p>　　1 拉格朗日中值定理</p><p>　　若函數(shù)滿足如下條件：</p

19、><p>　?。╥）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；</p><p>　　(ii) 在開區(qū)間內(nèi)(a,b)可導；</p><p>　　則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使得.</p><p>　　2 拉格朗日中值定理的證明</p><p><b>　?。?） 兩個引理</b></p><p

20、>　　引理1 設f(x)在[c,d]上連續(xù)，則在[c,d]上必存在兩點α與β，使得β-d=(d-c)/2, .</p><p>　　證明：設函數(shù),由Ψ（x）在[c,(c+d)/2]上應用連續(xù)函數(shù)根存在性定理有x＇∈[c,(c+d)/2]使得.取即可.證畢！</p><p><b>　　引理2 設</b></p><p>　?。╥）f(

21、x)在區(qū)間I的內(nèi)點x可微；</p><p>　?。╥i）數(shù)列{αn}與{βn}滿足：αn≤x≤βn,αn<βn</p><p><b>　　且，則.</b></p><p>　?。?） 拉格朗日中值定理的證明</p><p>　　證明：（平行弦逼近法）不斷地運用引理1可得到[a,b]的子區(qū)間序列{[αn,βn]}

22、(α0=a,β0=b),使得（i）βn-αn=(b-a)/2n；</p><p>　　(ii)；（iii）[αn+1,βn+1] [αn,βn],這里說明[α2,β2]的選取規(guī)則；若確定[α1,β1]=[a,(a+b)/2]后，有，則規(guī)定為[α2,β2].從而，顯然{αn}與{βn}有相同的極限ξ，并使得αn≤ξ≤βn（n=1,2…）</p><p>　　再由[α2,β2]的取法知ξ∈（a

23、,b）。從而由引理2推出.證畢！</p><p>　　3 拉格朗日中值定理的應用</p><p>　　例1、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導，且f(0)=0,f(1)=1.證明：對任意的正實數(shù)a,b,在（0,1）內(nèi)存在兩個不同的點ξ、η使得.</p><p>　　證明：因為a>0,b>0,所以0<a/(a+b)&l

24、t;1,根據(jù)介值定理，至少存在一點x0∈(0,1),使得，在（0，x0）上根據(jù)Lagrange中值定理，存在ξ∈（0,x0）,使得。又由于f(0)=0,所以=x0（1）.從而在（x0,1）上，根據(jù)Lagrange中值定理，存在</p><p>　　η∈（x0,1）,使得。又由于f(1)=1,所以（2），（1）式加（2）式得（3）.再將代入（3）式即得.</p><p>　　三 柯西中值定

25、理的證明及應用</p><p><b>　　1 柯西中值定理</b></p><p><b>　　設函數(shù)和g滿足</b></p><p>　?。╥）在[a,b]上都連續(xù)；</p><p>　　(ii)在(a,b)內(nèi)都可導；</p><p>　?。╥ii）f＇(x)和g＇(x

26、)不同時為零；</p><p>　?。╥v）g(a)≠g(b).</p><p>　　則存在ξ∈（a,b），使得.</p><p>　　2、柯西中值定理的證明</p><p><b>　?。?） 三個引理</b></p><p>　　引理1 設函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且在x0 ∈（a

27、,b）處可導，由{[α2,β2]}為一閉區(qū)間套，且，則.</p><p>　　引理2 設函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則存在[a1,b1] [a,b],且,使得.</p><p>　　引理3（引理2的推廣） 設函數(shù)f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù),且g(x)是單射，則存在[a1,b1] [a,b]，且，使.</p><p>　?。?） 柯西中值定理的證明

28、</p><p>　　證明：當α，β∈[a,b]，且α≠β時，有g(α) ≠g(β).若g(α) =g(β)，由引理2，存在[α1,β1] [α,β]，且，使，從而g(β1) =g(α1).在[α1,β1]上再次應用引理2有，存在[α2,β2] [α,β]，且，使，從而又有g(β2) =g(α2).反復利用引理2，最終可得一個閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，且g(βn) =g(αn),由閉區(qū)間套定理，存在ξ∈[

29、α,β] [a,b]，使.</p><p>　　由引理1得：，這與條件g＇(x)≠0 (x∈（a,b）)相矛盾.再根據(jù)引理3有，存在[a1,b1] [a,b]，且，使.反復利用引理3，類似于前面的證明，可得閉區(qū)間套{[αn,βn]},滿足，且.由閉區(qū)間套定理存在c∈[a,b]，使.再由引理1有：.</p><p>　　3 柯西中值定理的應用</p><p>

30、;　　例1（用柯西中值定理證明不等式）若0<x1<x2<л/2，求證.</p><p>　　證明：實際上只需證即可.</p><p>　　設f(t)=et,g(t)=cost,則f(t)、g(t)在[x1,x2]上，滿足柯西中值定理條件，所以，c∈(x1,x2).即.</p><p>　　例2（用柯西中值定理證明等式）設函數(shù)f(x)∈c[a,b]

31、且在(a,b)內(nèi)可導, 證明: c∈(a,b), 使得2c[f(b)- f(a)]=(b2- a2)f＇(c)，其中a>0.</p><p>　　證明：只需證.令g(x)=x2, 則f(x)、g(x)滿足柯西中值定理條件,所以 c∈(a,b)，使，即.</p><p><b>　　四 總結(jié)</b></p><p>　　通過以上內(nèi)容，說

32、明微分中值定理有很多證法并且三個中值定理之間有內(nèi)在聯(lián)系，而且每個中值定理都有極其廣泛的應用.所以學好微分中值定理對數(shù)學分析及其他學科的學習有很大幫助.</p><p><b>　　五 參考文獻</b></p><p>　　[1]吳澤禮.Lagrange中值定理的兩個新證法[J].韓山師專學報.1991(03).</p><p>　　[2]李國

33、輝.崔媛.Lagrange中值定理的一個應用[J].高等職業(yè)教育—天津職業(yè)大學學報.2005(06).</p><p>　　[3]李萬軍.Rolle中值定理的一個新證明[J].宜賓學院學報.2004(03).</p><p>　　[4]荊天.柯西中值定理及其應用[J].高校理科研究.2008.</p><p>　　[5]余后強.微分學中值定理的證明及其應用[J].咸

34、寧學院學報.2006(06).</p><p>　　[6]黃德麗.用五種方法證明柯西中值定理[J].湖州師范學院學報.2003.</p><p>　　ag an employment tribunal clai Emloyment tribunals sort out disagreements between employers and employees. You may need

35、to make a claim to an employment tribunal if: you don't agree with the disciplinary action your employer has taken against you your employer dismisses you and you think that you have been dismissed unfairly. For more