微分中值定理的證明題

1、1微分中值定理的證明題1.若在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，，證明：()fx[]ab()ab()()0fafb??，使得：。R???()ab???()()0ff??????證：構(gòu)造函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，()()xFxfxe??()Fx[]ab()ab且，由羅爾中值定理知：，使()()0FaFb??)ab???（()0F???即：，而，故。[()()]0ffe????????0e???()()0ff??????2.設(shè)，證明：，使得。0ab?()

2、ab???(1)()baaebeeab??????證：將上等式變形得：1111111111(1)()baeeebaba??????作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，1()xfxxe?()fx11[]ba11()ba由拉格朗日定理得：，11()()1()11ffbafba?????1?11()ba?即，11111(1)11baeebaeba??????1?11()ba?即：。ae(1)()bebeeab?????()ab??3.設(shè)在內(nèi)有二

3、階導(dǎo)數(shù)，且，有證明：在()fx(01)(1)0f?2()()Fxxfx?內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：。(01)?()0F????證：顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又，故由羅()Fx[01](01)(0)(1)0FF??爾定理知：，使得0(01)x??0()0Fx??又，故，于是在上滿足羅爾2()2()()Fxxfxxfx????(0)0F??()Fx?0[0]x，定理?xiàng)l件，故存在，使得：，而，即證0(0)x??()0F????0(0)x???(01

4、)4.設(shè)函數(shù)在[01]上連續(xù)，在(01)上可導(dǎo)，，.證明：)(xf0)0(?f1)1(?f3證明：證明：存在性構(gòu)造輔助函數(shù)xxfxF??)()(則在上連續(xù)，且有，，)(xF]10[00)0()0(???fF01)1()1(???fF由零點(diǎn)定理可知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即：?)(xF)10(?0)(??F???)(f唯一性：（反證法）假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)，且，使得)10(21???21???0)()(21????FF在上連續(xù)且可導(dǎo)，且?)(x

5、F]10[?][21??]10[在上滿足Rolle定理?xiàng)l件?)(xF][21??必存在一點(diǎn)，使得：?)(21????01)()(???????fF即：，這與已知中矛盾1)(???f1)(??xf假設(shè)不成立，即：在內(nèi)僅有一個(gè)根，?xxfxF??)()()10(綜上所述：在內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得)10(????)(f7.設(shè)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且==0，=1。)(xf)0(f)1(f)21(f試證至少存在一個(gè)(0，1)，使

6、=1。??()fx￠分析：=1=1=x=0令()=)(?f?)(xf?)(xf?xxf?)(Fxxxf?)(證明：證明：令F()=xxxf?)(()在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)x(1)=F)0)1((011)1(?????ff?()=F21)1)21((02121)21(????ff?由介值定理可知，一個(gè)(，1)，使???21()=0又(0)=0=0F?F?)0(f對(duì)()在[0，1]上用Rolle定理，一個(gè)(0，)(0，1