習(xí)題課 定積分的相關(guān)問題解法 - 大學(xué)數(shù)學(xué)

1、,習(xí)題課,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,二、有關(guān)定積分計算和證明的方法,,定積分及其相關(guān)問題,第五章,一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法,1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限,2. 用定積分性質(zhì)估值,3. 與變限積分有關(guān)的問題,例1. 求,解: 因為,時,,所以,利用夾逼準(zhǔn)則得,說明:,此類問題放大或縮小時一般應(yīng)保留含參數(shù)的項 .,如, P265 題4,練習(xí): 1.,求極限,解：,原式,例2. 證明,證: 令,則,令,得,故,例3.,

2、設(shè),在,上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，,試證,都有不等式,證明：顯然,時結(jié)論成立.,(用積分中值定理),當(dāng),時,,故所給不等式成立 .,,明對于任何,例4.,解：,且由方程,確定 y 是 x 的函數(shù) , 求,方程兩端對 x 求導(dǎo), 得,令 x = 1, 得,再對 y 求導(dǎo), 得,,故,例5.,求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足,解: 等式兩邊對 x 求導(dǎo), 得,不妨設(shè) f (x)≠0,,則,,注意 f (0) = 0, 得,,例6. 求多項式 f

3、 (x) 使它滿足方程,解: 令,則,代入原方程得,兩邊求導(dǎo):,可見 f (x) 應(yīng)為二次多項式 ,,設(shè),代入① 式比較同次冪系數(shù) , 得,故,①,,再求導(dǎo):,二、有關(guān)定積分計算和證明的方法,1. 熟練運(yùn)用定積分計算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定積分的計算,,3. 利用各種積分技巧計算定積分,4. 有關(guān)定積分命題的證明方法,,思考: 下列作法是否正確?,,例7. 求,解: 令,則,原式,,例8. 求,解:,,,例9. 選擇一個常

4、數(shù) c , 使,解: 令,則,因為被積函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使,即,可使原式為 0 .,例10. 設(shè),解:,例11. 若,解: 令,試證 :,則,,,,因為,對右端第二個積分令,,綜上所述,例12. 證明恒等式,證: 令,則,,,因此,又,故所證等式成立 .,,,例13.,試證,使,,分析:,要證,即,,故作輔助函數(shù),,至少存在一點(diǎn),證明: 令,在,上連續(xù),,在,至少,使,即,因在,上,連續(xù)且不為0 ,,從而不變號,,因此,故