高等數(shù)學定積分提高習題

1、例1求33322321lim(2)nnnnn??????分析將這類問題轉化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較[01]n來找出被積函數(shù)與積分上下限解將區(qū)間等分，則每個小區(qū)間長為，然后把的一個因子[01]n1ixn??2111nnn??乘入和式中各項于是將所求極限轉化為求定積分即1n==33322321lim(2)nnnnn??????333112li

2、m()nnnnnn??????13034xdx??例2=__________________2202xxdx??解法1由定積分的幾何意義知，等于上半圓周()2202xxdx??22(1)1xy???0y?與軸所圍成的圖形的面積故=x2202xxdx??2?解法2本題也可直接用換元法求解令=（），則1x?sint22t?????====2202xxdx??2221sincosttdt?????22021sincosttdt???2202c

3、ostdt??2?例3比較，，12xedx?212xedx?12(1)xdx??分析對于定積分的大小比較，可以先算出定積分的值再比較大小，而在無法求出積分值時則只能利用定積分的性質通過比較被積函數(shù)之間的大小來確定積分值的大小解法1在上，有而令，則當時，[12]2xxee?()(1)xfxex???()1xfxe???0x?，在上單調遞增，從而，可知在上，()0fx??()fx(0)??()(0)fxf?[12]有又1xex??，從而有1

4、221()()fxdxfxdx????2111222(1)xxxdxedxedx??????解法2在上，有由泰勒中值定理得注意到[12]2xxee?212!xeexx????1xex??因此1221()()fxdxfxdx????2111222(1)xxxdxedxedx??????例4估計定積分的值202xxedx??分析要估計定積分的值關鍵在于確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值sinlim0npnnxdxx?????例7求10

5、lim1nnxdxx????解法1由積分中值定理可知()()()()bbaafxgxdxfgxdx????=，101nxdxx??1011nxdx???01???又且，101limlim01nnnxdxn????????11121????故10lim01nnxdxx?????解法2因為，故有01x??01nnxxx???于是可得110001nnxdxxdxx?????又由于1010()1nxdxnn??????因此=10lim1nnxd

6、xx????0例8設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，且證明在()fx[01](01)3414()(0)fxdxf??內存在一點，使(01)c()0fc??分析由條件和結論容易想到應用羅爾定理，只需再找出條件即可()(0)ff??證明由題設在上連續(xù)，由積分中值定理，可得()fx[01]，3413(0)4()4()(1)()4ffxdxff???????其中于是由羅爾定理，存在，使得證畢3[1][01]4???(0)(01)c???()0fc??例