高等數(shù)學 定積分

1、1第六章第六章定積分定積分一、本章學習要求與內(nèi)容提要一、本章學習要求與內(nèi)容提要（一）學習要求（一）學習要求1理解定積分的概念及其性質(zhì)2了解定積分的幾何意義3了解變上限的定積分的性質(zhì)，熟練掌握牛頓萊布尼茨公式4掌握定積分的換元法和分部積分法5了解無窮區(qū)間上的廣義定積分的幾何意義，牛頓–萊布尼茨公式，定各分的換元法和分部積分法重點重點定積分的概念及定積分的幾何意義，牛頓–萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法難點難點變上限的定積分，定積分

2、的換元法和分部積分法（二）內(nèi)容提要（二）內(nèi)容提要1曲邊梯形曲邊梯形所謂曲邊梯形是指由曲線、直線和數(shù)軸所圍成的平面圖形2定積分的概念與定積分的幾何意義定積分的概念與定積分的幾何意義（1）定積分的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點)(xfy?][ba，bxxxxxann????????1210?把區(qū)間分成個小區(qū)間，記為][ban)21]([1nixxii???，??iniiiixnixxx?????????11max)21(??再在每個小區(qū)

3、間上，任取一點，取乘積的和式，即][1iixx?i?iixf?)(?iniixf???1)(?如果時上述極限存在（即這個極限值與的分割及點的取法均無關(guān)），則0??][bai?稱函數(shù)在閉區(qū)間上可積，并且稱此極限值為函數(shù)在上的定積分，記)(xf][ba)(xf][ba做，即?baxxfd)(，????????baniiixfxxf10)(limd)(其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分)(xfxxfd)(x][ba區(qū)間，

4、與分別稱為積分下限與積分上限，符號讀做函數(shù)從到的定ab?baxxfd)()(xfab3（7）（積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至)(xf][ba][ba少存在一點，使得?????baabfxxf))((d)(4變上限的定積分變上限的定積分（1）變上限的定積分當在上變動時，對應(yīng)于每一個值，積分就有一個確定的值，x][bax?xattfd)(因此是變上限的一個函數(shù)，記作?xattfd)(，????xabxattfx)(d)(

5、)(?稱函數(shù)為變上限的定積分)(x?（2）變上限的定積分的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則變上限定積分在閉區(qū)間)(xf][ba??xattfxd)()(?上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即][ba???????xabxaxfttfxxx)()(d)(dd)(dd??5無窮區(qū)間上的廣義積分無窮區(qū)間上的廣義積分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，任取實數(shù)，把極限稱為函數(shù))(xf)[??aab?????babxxfd)(lim在無窮區(qū)間上的廣義積分，記做)(xf

6、，???????baabxxfxxfd)(limd)(若極限存在，則稱廣義積分收斂；若極限不存在，則稱廣義積分???axxfd)(發(fā)散???axxfd)(類似地，可定義函數(shù)在上的廣義積分為)(xf??b??????????babaxxfxxfd)(limd)(函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分為)(xf)(????，?????????????ccxxfxxfxxfd)(d)(d)(其中為任意實數(shù)，當右端兩個廣義積分都收斂時，廣義積分才是收斂的；否c