高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))教案22-定積分的概念與性質(zhì)

1、第5章定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)【教學(xué)目的】：1.理解曲邊梯形的面積求法的思維方法；2.理解定積分的概念及其性質(zhì)；3.掌握定積分的幾何意義；【教學(xué)重點(diǎn)】：1.定積分的概念及其性質(zhì)；【教學(xué)難點(diǎn)】：1.曲邊梯形面積求法的思維方法；【教學(xué)時(shí)數(shù)】：2學(xué)時(shí)【教學(xué)過(guò)程】：案例研究案例研究引例5.1.1曲邊梯形的面積問(wèn)題所謂曲邊梯形曲邊梯形是指由連續(xù)曲線(設(shè))，直線，和)(xfy?0)(?xfax?bx?(即軸)所圍成的此類(lèi)型的平面圖形（如圖5

2、1所示）下面來(lái)求該曲邊0?yx梯形的面積分析分析由于“矩形面積=底高”，而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高在區(qū)?()fx間上是變動(dòng)的，故它的面積不能按矩形面積公式計(jì)算.[]ab另一方面，由于曲線在上是連續(xù)變化的，所以當(dāng)點(diǎn)在區(qū)間()yfx?[]abx上某處變化很小時(shí)，相應(yīng)的也就變化不大.于是，考慮用一組平行于[]ab()fx軸的直線把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，當(dāng)分割得較細(xì)，每個(gè)小曲邊y梯形很窄時(shí)，其高的變化就很小.這樣，可以在每個(gè)小曲邊梯

3、形上作一個(gè)()fx與它同底、以底上某點(diǎn)函數(shù)值為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進(jìn)而用所有小曲邊梯形的面積之和近似代替整個(gè)曲邊梯形的面積（如圖52所示）.顯然，分割越細(xì)，近似程度越高，當(dāng)無(wú)限細(xì)分時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.根據(jù)以上分析，可按以下四步計(jì)算曲邊梯形的面積.A圖51圖52分下限分下限，稱(chēng)為積分上限積分上限，稱(chēng)為積分區(qū)間積分區(qū)間，符號(hào)讀作函數(shù)b[]ab?badxxf)(()fx從到的定

4、積分.ab按定積分的定義，兩個(gè)引例的結(jié)果可以分別表示為：，，??badxxfA)(??badttPQ)(關(guān)于定積分的定義作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）和式的極限存在（即函數(shù)在上可積）是指????10)(limiiixf??()fx[]ab不論對(duì)區(qū)間怎樣分法，也不論對(duì)點(diǎn)怎樣取法，極限都存[]ab1()iiiixx?????在.（2）和式的極限僅與被積函數(shù)的表達(dá)式及積分區(qū)間有關(guān)，與積()fx[]ab分變量使用什么字母無(wú)關(guān)，即.?????bababa

5、duufdttfdxxf)()()(（3）定義中要求積分限，我們補(bǔ)充如下規(guī)定：ab?當(dāng)時(shí)，ab?()0bafxdx??當(dāng)時(shí)，ab?()()baabfxdxfxdx????（4）函數(shù)可積的兩個(gè)充分條件：若上連續(xù)，則上可積。][)(baxf在][)(baxf在若上有界，且只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則上可][)(baxf在][)(baxf在積。定積分的幾何意義定積分的幾何意義當(dāng)時(shí)，由前述可知，定積分在幾何上0)(?xf?badxxf)(表示由曲

6、線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；)(xfy?bxax??x如果，這時(shí)曲邊梯形位于軸下方，定積分在幾何上表0)(?xfx?badxxf)(示上述曲邊梯形面積的負(fù)值，如圖5－3；當(dāng)在上有正有負(fù)時(shí)，定積分在幾何上表示軸，曲線)(xf[]ab?badxxf)(x及兩直線所圍成的各個(gè)曲邊梯形面積的代數(shù)和（見(jiàn)圖5－)(xfy?bxax??4），即.123()bafxdxAAA?????5.1.25.1.2定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)以下性質(zhì)中函數(shù)