華中科技大學(xué)-微積分-極限習(xí)題課及答案

1、例1求極限（1），nn2cos2cos2coslim2??????解時，極限為1；0??時（充分大時，），原式。0??n02sin?n?????sin2sin2sinlim????nnn（2）nnnn)111(lim2????解先求，1)11(lim)111ln(lim22?????????nnnnnnnn所以原式=e另法利用111111112???????nnnn（3）????????xxx1lim0解因為，即有1111???????

2、????????xxxxxx1111?????????當時，，由夾擠準則得，0?x111??????????xxx11lim0??????????xxx同理，故原極限為1。11lim0??????????xxx（4）xxxcoslim0??解先求，21)1(cos1limcosln1lim00????????xxxxxx原極限為。21?e（5）.exexexex???lim解原式?exeeexeeexxexeexxex????????1

3、limlimlnln)lnlimlnlnlim(lnlimexexeexxexxeexexxeexexeexe????????????ee2?有下界，極限存在。對兩邊求極限得，從而。1sin??nnxxllsin?0?l（3）時，同理求得。01?x0?l綜上極限為0.例3設(shè)，且babyax?????0011)(2111nnnnnnyxyyxx?????證明。nnx??limnny???lim分析問題中的遞推公式互相關(guān)聯(lián)，且平均值不等式（

4、幾何平均與算術(shù)平均）可用，考慮單調(diào)有界準則。證由于，且00??nnyxxyxyxynnnnnn)(2111??????xxxyxxnnnnnn1????)(21)(211nnnnnnyyyyxy??????可知為單調(diào)增加數(shù)列，為單調(diào)減少數(shù)列，且故數(shù)列??nx??nybyxann?????nx極限都存在，設(shè)極限分別為，對兩邊取極限得??nyBAyxynnn)(211???，故2)(BAB??。BA?注此題變化為：，且babyax?????