第6章 定積分及其應(yīng)用

1、第六章第六章定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用6.16.1定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容提要教學(xué)內(nèi)容提要1.定積分的幾何與物理模型；2.定積分的定義；3.定積分的基本性質(zhì).教學(xué)目的與要求教學(xué)目的與要求1.理解定積分的幾何與物理模型；2.理解定積分的極限定義；3.了解定積分的基本性質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)定積分幾何與物理模型的極限過程理解，平面圖形面積的定積分表達(dá).教學(xué)時(shí)數(shù)2教學(xué)過程：一、定積分的幾何與物理模型一、定積分的

2、幾何與物理模型1.1.求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積1).曲邊梯形的定義：曲邊梯形的定義：由三條直線與軸和一條曲線圍成的平面bxax??x)0)((??xyy圖形，稱為曲邊梯形。如下圖（1.1）（1.2）（1.3），其中（1.2）（1.3）是特殊情形。2).利用極限計(jì)算曲邊梯形面積利用極限計(jì)算曲邊梯形面積的步驟的步驟A第一步：分割將曲邊梯形分成許多細(xì)長(zhǎng)條。在區(qū)間[ab]中任取若干分點(diǎn)：，把曲邊梯形的底[ab]分成n個(gè)小bxxxxxxx

3、annii????????????11210??區(qū)間；，并記；過分點(diǎn)分別][][][][112110nniixxxxxxxx????1????iiixxxix作軸的垂線，將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，記第個(gè)曲邊梯形的面積為xni；)21(niAi???第二步：近似，將這些細(xì)長(zhǎng)條近似地看作一個(gè)個(gè)小矩形。（如下圖）圖（1.1）y=f(x)ba0yxy=f(x)圖（1.2）ba0yx圖（1.3）y=f(x)ba0yx定義定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，

4、在中任插入若干個(gè)分點(diǎn))(xf][ba][ba，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間；bxxxxxxxannii????????????11210??][ban，各小區(qū)間長(zhǎng)記為][][][][112110nniixxxxxxxx????)21(1nixxxiii??????任取，作和式，記，如果不論對(duì)怎樣][1iiixx???????niiixfS1)(?max1inix?????][ba劃分，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣選取，只要時(shí)，和式總趨于確定的極][1i

5、ixx?i?0??S限，這時(shí)則稱極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，定積分，記作，即II)(xf][ba?badxxf)(iniibaxfdxxfI???????10)(lim)(??其中：叫做被積函數(shù)被積函數(shù)；叫做被積表達(dá)式被積表達(dá)式；x叫做積分變量積分變量；a叫做積分下限積分下限，)(xfdxxf)(b叫做積分上限積分上限；[ab]叫做積分區(qū)間。積分區(qū)間。如果在[a，b]上的定積分存在，也稱在[a，b]上可積可積。否則，便稱)(xf)(xf

6、在)(xf[a，b]上不可積不可積。2幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)注意(1)定積分上一個(gè)常數(shù)，而不定積分是的原函數(shù)的全體。?badxxf)(?dxxf)()(xf(2)定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)。即?????bababaduufdttfdxxf)()()((3)若時(shí)，我們規(guī)定。ba?0)(??badxxf(4)若時(shí)，規(guī)定。ba?????abbadxxfdxxf)()(3定積分的存在性定積分的存在性（1）若在[a，b]