第五章定積分

1、1第五章定積分一、定積分的概念與性質(zhì)1.定積分的定義：定積分定義的四要素：分割；作積；求和；取極限2.可積的兩個(gè)充分條件①設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積)(xf??ba)(xf??ba②設(shè)在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積)(xf??ba)(xf??ba3.幾何意義4定積分的性質(zhì)①反號性：????abbadxxfdxxf)()(②與積分變量無關(guān)性：與積分變量無關(guān)性：?badxxf)(??badssf)(??badttf)(③線性性

2、質(zhì)：???badxxgkxfk)]()([21??badxxfk)(1?badxxgk)(2④對區(qū)間可加性：?badxxf)(???cadxxf)(?bcdxxf)(⑤區(qū)間長：abdxdxbaba?????1⑥保號性：如果在區(qū)間上，，則??ba0)(?xf0)(??badxxf)(ba?⑦單調(diào)性：如果在區(qū)間單調(diào)性：如果在區(qū)間上，上，，則，則??ba)()(xgxf??badxxf)(??badxxg)()(ba?推論：推論：在區(qū)間在區(qū)間

3、上，上，??badxxfdxxfbaba???)()(⑧估值定理：設(shè)和分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，則Mm)(xf??ba?????baabMdxxfabm)()()()(ba?⑨定積分中值定理：如果函數(shù)定積分中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使，使)(xf??ba???ba?成立成立?badxxf)())((abf???注意注意是區(qū)間是區(qū)間上必定存在的某點(diǎn)，個(gè)數(shù)可能為一個(gè)，也可能為兩

4、個(gè)或更多上必定存在的某點(diǎn)，個(gè)數(shù)可能為一個(gè)，也可能為兩個(gè)或更多???ba推廣：若函數(shù)推廣：若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間連續(xù)，函數(shù)連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上可積且不變號，則在上可積且不變號，則在上至上至)(xf??ba)(xg??ba??ba少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)，使，使成立成立c?badxxgxf)()(??badxxgcf)()(⑩奇偶對稱性：若奇偶對稱性：若在上連續(xù)，則上連續(xù)，則)(xf??aa?3當(dāng)在連續(xù)且為奇函數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)，且的所有原函數(shù)均為

5、)(xf[]aa?()()xaxftdt???)(xf偶函數(shù)。注：積分表示自變量為的函數(shù)，因此微分學(xué)中所遇到的關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的研究完全可用()xaftdt?x到該積分中來，如研究有關(guān)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，極值，最值，極限，連續(xù)，凹凸性，拐點(diǎn)，方程等等。典型例題之二例1求，其中是已知的連續(xù)函數(shù)。220()()xdxtftdtdx??()fx例2設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求。)(xf220()xdtfxtdtdx??例3（1）求極限（2）求極限22

6、00lim1xtxxxedte???112[(1)]lim1ln(1)xtxtetdtxx???????易錯(cuò)提醒：在求含有積分上限函數(shù)的極限時(shí)，一定要驗(yàn)證是不是未定式，若不是，不能應(yīng)用洛必達(dá)法則。如。2004coslim011xxxdtt????例4設(shè)可導(dǎo)，且，求()fxlim()1xfx????23limsin()xxxtftdtt?????例5設(shè)，求在內(nèi)的表達(dá)式????????????xxxxxf與00.0sin21)(??xdtt

7、fxF0)()(??????例6設(shè)，試求(1)的極值，(2)曲線的拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，???220)(xtdtexF)(xF)(xFy?(3)之值???322)(dxxFx例7設(shè)是周期為2的連續(xù)函數(shù)，證明也是周期為2的周)(xf200()2()()xGxftdtxftdt????期函數(shù)注：設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，有.)(xfldxxfdxxflaal)()(0????例8.設(shè)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)，使得)(xf()gx??a